Kapitel A. Konstruktion und Eigenschaften von Integralen

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1 Kapitel A Konstruktion und Eigenschaften von Integralen

2 Inhalt dieses Kapitels A000 Wie misst man Flächen- und Rauminhalt? Absolut integrierbare Funktionen

3 Integration: Theorie und Anwendung A001 Bildquelle: wikipedia.org Bildquelle: wikipedia.org Bernhard Riemann ( ) Henri Lebesgue ( ) 1 Konstruktion: Was sind und was sollen Integrale? 2 Werkzeugkasten: Welche Rechenregeln gelten? 3 Training: Wie berechnet man konkrete Beispiele?

4 Eindimensionale Integration und Flächeninhalt A006 #Grundidee: Sei = [a, b] ein Intervall und f : [a, b] R stetig. Das Integral b a f(x) dx misst die Fläche unter dem Graphen von f. f a b #Verallgemeinerung: Sei R n ein Quader und f : R stetig. Das Integral f(x) dx misst das Volumen unter dem Graphen von f.

5 Höherdimensionale Integration und Volumen A007 #Beispiel: Wir integrieren f(x 1, x 2 ) = 1 + x 2 1 x2 2 über = [ 1, 1] x 2 x

6 Intervalle und ihre Länge A008 Definition A0A Für a b haben wir die #endlichen Intervalle [a, b] := { x R a x b }, ]a, b[ := { x R a < x < b }, [a, b[ := { x R a x < b }, ]a, b] := { x R a < x b }, sowie die #unendlichen Intervalle wie ], + [ = R und [a, + [ := { x R } { } a x, ]a, + [ := x R a < x, ], b] := { x R } { } x b, ], b[ := x R x < b. Jedem Intervall I ordnen wir die #Länge vol 1 (I) := sup I inf I zu.

7 Rechtecke und ihr Flächeninhalt A009 J R I Zwei Intervalle I, J R bilden ein achsenparalleles #Rechteck (Quader) R = I J = { (x, y) R 2 x I, y J }. Es hat den #Flächeninhalt vol 2 (R) := vol 1 (I) vol 1 (J).

8 Quader und ihr Rauminhalt A011 K J Q I Je drei Intervalle I, J, K R definieren einen achsenparallelen #Quader Q = I J K = { (x, y, z) R 3 x I, y J, z K }. Er hat den #Rauminhalt vol 3 (Q) := vol 1 (I) vol 1 (J) vol 1 (K).

9 Quader in beliebiger Dimension A012 Definition A0B Eine Teilmenge Q R n heißt achsenparalleler #Quader, falls Q = I 1 I 2 I n mit Intervallen I 1, I 2,..., I n R. Sein n dimensionales #Volumen ist vol n (Q) := vol 1 (I 1 ) vol 1 (I 2 ) vol 1 (I n ). Satz A0C (Streckung und Verschiebung) Für a R und v R n gilt: vol n (aq + v) = a n vol n (Q).

10 Wie misst man Flächen- und Rauminhalt? A013 Teilmengen A R 2 wollen wir ihren Flächeninhalt vol 2 (A) [0, ] zuweisen. #Problem: Welche Mengen sind messbar? Wie? Ebenso für den Rauminhalt vol 3 (A) von Teilmengen A R 3, und allgemein für das n dim. Volumen vol n (A) von Teilmengen A R n.

11 Definierende Eigenschaften des Volumens A014 Messbare Mengen A R n und ihr n dimensionales Volumen vol(a) [0, + ] definiert man nach den folgenden Grundregeln: #Normierung: Das Volumen vol(a) eines n dimensionalen Quaders A R n ist das Produkt seiner Seitenlängen. #Additivität: Es gilt vol(a) + vol(b) = vol(a B) + vol(a B). #Monotonie: Aus A B folgt aus der Additivität vol(a) vol(b). #Einschachtelung: Gilt A 0 A 1... C... B 1 B 0 mit vol(b k A k ) 0, so auch vol(a k ) vol(c) vol(b k ) (folgt aus der Monotonie). #Ausschöpfung: Insbesondere gilt für A 0 A 1 A 2... mit Vereinigung A = A 0 A 1 A 2..., dass vol(a k ) vol(a).

12 Grundlegende Eigenschaften A016 Satz A0D (Lebesgue 1901) Mit diesen fünf Regeln können wir jeder messbaren Teilmenge A R n eindeutig ihr Volumen vol(a) [0, ] zuweisen und ausrechnen. Das Ergebnis ist eindeutig und insbesondere unabhängig vom Rechenweg. Nichtmessbare Mengen existieren! Alle in der Praxis betrachteten Mengen sind messbar. Alle offenen und alle abgeschlossenen Mengen in R n sind messbar. Ist eine Menge A R n messbar, so auch ihr Komplement R n A. Sind A 0, A 1, A 2,... messbar, so auch k N A k und k N A k.

13 Grundidee: Das Integral misst das Volumen. A018 Wir wollen nun das Integral erklären. Grundidee: Das Integral f soll das Volumen unter dem Funktionsgraphen messen. Dies lässt sich besonders leicht für Treppenfunktionen wie auf diesem Bild ausrechnen: Die Dachfläche können wir uns als Funktion f : R 0 vorstellen.

14 Indikatorfunktionen A019 Zunächst definieren wir die #Indikatorfunktion einer Teilmenge A durch { 1 für x A, I A : R, I A (x) := 0 für x / A. A Das Integral misst das Volumen unter dem Funktionsgraphen, hier also I A (x) dx = vol n (A) und daher a I A (x) dx = a vol n (A).

15 Treppenfunktionen A021 Zu Quadern Q k und a k R definieren wir die #Treppenfunktion l f(x) = a k I Qk (x). k=1 Das Integral misst das Volumen unter dem Funktionsgraphen, hier also f(x) dx = ( l a k I Qk )(x) dx = k=1 k=1 l a k vol n (Q k ).

16 Definition: messbare Funktionen und ihr Integral A023 Sei R n ein Quader. Messbare Funktionen f : [0, ] und ihr Integral f [0, ] definieren wir nach folgenden fünf Grundregeln: (1) #Normierung: Für jeden endlichen Quader A gilt I A = vol n (A). (2) #Linearität: Für alle a, b R 0 gilt (af + bg) = a (3) #Monotonie: Aus f g folgt f + b g. f g (wegen Linearität). (4) #Einschachtelung: Gilt f 0 f 1... h... g 1 g 0 und (g k f k ) 0, so gilt wegen Monotonie f k h g k. (5) #Ausschöpfung: Gilt f 0 f 1 f 2... mit f k f, dann f k f.

17 Bedingungen (1 3) lassen sich erfüllen. A025 Satz A0E (Treppenfunktionen und ihr Integral) Bedingungen (1 3) lassen sich erfüllen. Die kleinste Funktionenmenge, für die dies möglich ist, sind die #Treppenfunktionen f : [0, [, l f = c k I Qk mit c k R 0 und Q k R n endliche Quader. k=1 Hierauf ist das Integral eindeutig durch (1 3) bestimmt, denn es gilt [ l ] l l f = c k I Qk = c k I Qk = c k vol n (Q k ). k=1 k=1 k=1

18 Bedingungen (1 4) lassen sich erfüllen. A027 Satz A0F (Riemann 1854, Darboux 1875) Bedingungen (1 4) lassen sich erfüllen. Die kleinste Funktionenmenge, für die dies möglich ist, sind die #Riemann integrierbaren Funktionen f : [0, [. Hierauf ist das Integral eindeutig durch (1 4) bestimmt. Die Konstruktion über Riemann Summen kennen Sie aus der HM2. Diese Menge enthält alle Treppenfunktionen und noch viel mehr, z.b. stetige Funktionen f : R 0 auf kompakten Quadern R n. Viele für uns wichtige Funktionen sind nicht Riemann integrierbar. Satz A0G (Charakterisierung R-integrierbarer Funktionen) Genau dann ist f Riemann integrierbar, wenn f beschränkten Träger und beschränkten Wertebereich hat und zudem fast überall stetig ist.

19 Bedingungen (1 5) lassen sich erfüllen. A030 Satz A0H (Lebesgue 1901) Bedingungen (1 5) lassen sich erfüllen. Die kleinste Funktionenmenge, für die dies möglich ist, sind die #Lebesgue messbaren Funktionen f : [0, ]. Hierauf ist das Integral eindeutig durch (1 5) bestimmt. Ganz einfach: Alle für uns wichtigen Funktionen sind messbar! Satz A0I Alle Treppenfunktionen und alle stetigen Funktionen sind messbar. Mit f, g sind f + g und f g sowie min(f, g) und max(f, g) messbar. Konvergiert f k f und sind alle f k messbar, so ist auch f messbar. Die nächsten Kapitel entwickeln praktische Rechenmethoden.

20 Integration über beliebige Bereiche A031 Definition A0J Zu jeder Funktion f : A [0, ] definieren wir ihre #Fortsetzung { f(x) für x A, f : [0, ] durch f(x) := 0 für x / A, Wir nennen die Funktion f #messbar, wenn ihre Fortsetzung f auf messbar ist. In diesem Falle definieren wir ihr #Integral durch f(x) dx := f(x) dx. A

21 Positive und negative Beiträge zum Integral A033 f f + f Wir zerlegen f = f + f in #Positivteil f + und #Negativteil f gemäß { { f + f(x) falls f(x) > 0, (x) = f f(x) falls f(x) < 0, (x) = 0 sonst, 0 sonst. Beim Integral soll f negativ zählen, also f := f + f. Diese Differenz ist nur sinnvoll, wenn beide Integrale endlich sind.

22 Absolut integrierbare Funktionen und ihr Integral A034 Definition A0L Für jede Funktion f : R gilt f = f + f und f = f + + f. Genau dann ist f #messbar, wenn f ± : [0, ] messbar sind. In diesem Falle ist auch f = f + + f messbar, und somit gilt f(x) dx = f + (x) dx + f (x) dx. Ist dieser Wert endlich, so nennen wir f #(absolut) integrierbar. In diesem Falle können wir das Integral von f definieren durch f(x) dx := f + (x) dx f (x) dx.

23 Schreibweisen für Integrale A035 Das Integral einer Funktion f : [, + ] schreiben wir wahlweise f = f dx = f(x) dx. Die Bezeichnung der Integrationsvariablen ist dabei willkürlich: f = f(t) dt = f(u) du = f(θ) dθ =... Speziell für = [a, b] R schreibt man auch b b f = f = f(x) dx.... [a,b] Für R 2 schreibt man auch f = f(x, y) d(x, y) = A a a f(x, y) d(x, y).... Für R 3 schreibt man auch f = f(x, y, z) d(x, y, z) = f(x, y, z) d(x, y, z)....

24 Absolut integrierbare Funktionen und ihr Integral A036 Satz A0M (absolut integrierbare Funktionen und ihr Integral) Die Menge aller absolut integrierbaren Funktionen L 1 () = { f : R } f(x) dx < + ist ein R Vektorraum. Hierauf ist das Integral eine R lineare Abbildung L 1 () R, f f(x) dx. Sie ist normiert, monoton, erfüllt Einschachtelung und Ausschöpfung. Durch diese fünf Eigenschaften ist das Integral eindeutig bestimmt. Schränkt man das Lebesgue Integral auf Riemann-integrierbare Funktionen ein, so erhält man das Riemann Integral.

25 Konstruktion und Eigenschaften von Integralen A037 Sei R n und f : [0, + ] eine nicht-negative integrierbare Funktion, z.b. f stetig. Solchen Funktionen ordnen wir nach folgenden Grundregeln ihr #Integral f [0, + ] zu: (1) #Normierung: Für alle endlichen Quader A gilt I A = vol n (A). (2) #Linearität: Für alle a, b R 0 gilt (af + bg) = a f + b g. (3) #Monotonie: Aus f g folgt f g dank Additivität. (4) #Einschachtelung: Gilt f 0 f 1... h... g 1 g 0 und (g k f k ) 0, so gilt dank Monotonie f k h g k. (5) #Ausschöpfung: Gilt f 0 f 1 f 2... mit f k f (punktweise Konvergenz), dann f k f. #Daumenregel: Das Integral ist sinnvoll definiert, wenn f Werte in [0, + ] annimmt oder f < + für f : [, + ] gilt!