Partielle Differentialgleichungen Kapitel 7

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1 Partielle Differentialgleichungen Kapitel 7 Intermezzo zu Distributionen Die Physik hat der Mathematik die Dirac-δ-Funktion gebracht. Diese δ-funktion soll folgende Eigenschaften haben: n δ (x ϕ (x dx = ϕ ( für jedes ϕ C ( n. Wenn δ eine integrierbare Funktion wäre, folgt aus dem Satz von Lusin, dass δ stetig ist auf jedem beschränkten Gebiet mit Ausnahme einer beliebig kleinen Menge. Wenn δ stetig ist in x, folgt mit dem Hauptlemma der Variationsrechnung (Lemma.5, dass δ(x =. Es gilt also δ = fast überall. Dann folgt aber, dass n δ (x ϕ (x dx =, und das ist ein Widerspruch. Das bedeutet nicht, dass es diese Dirac-δ-Funktion nicht gibt, sondern, dass wir etwas mehr Sorgfalt walten lassen müssen, wenn wir dieses δ definieren. Dazu brauchen wir Objekte, die den Begriff der Funktion erweitern. Diese Erweiterung hat den Namen Distribution bekommen. 7. Testfunktionen Die Dirac-δ-Funktion ist etwas, das sich nur definieren lässt durch seine Wirkung auf Testfunktionen ϕ. Man betrachtet im Wesentlichen nur zwei Sorten von Testfunktionen: Definition 7. C ( n ist der Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen mit kompakten Träger. Beispiel 7. Die Funktion ϕ : n, definiert durch { ϕ (x = e x für x < für x (7. ist eine Funktion in C ( n. Definition 7.3 C s.f. (n := { u C ( n ; lim x x α D β u (x = für alle Multiindizes α, β } ist der Vektorraum der sogenannten schnell fallenden, beliebig oft differenzierbaren Funktionen. Paul Adrien Maurice Dirac, 9 Bristol (GB 984 Tallahassee (USA, Nobel Preis in Physik 933 8

2 8 6. Juni 6 Kapitel 7, Intermezzo zu Distributionen Abbildung 7.: Laurent Schwartz, 95 -, Französischer Mathematiker. Bemerkung 7.3. Für α, β N n und x n setzt man x α = x α ( β ( β ( β x x... x Beispiel 7.4 Die Funktion ϕ : n, definiert durch ist eine Funktion in C s.f. (n. ϕ (x = e x x α... x αn n und D β = Sowohl für C ( n als auch für Cs.f. (n wollen wir Folgenkonvergenz festlegen. Wenn eine passende Norm zur Verfügung steht, wäre das einfach. Man könnte zwar zum Beispiel die -Norm verwenden, doch die gibt nicht genügend Struktur. Stattdessen verwenden wir die folgende Konvergenz. Definition 7.5 Sei {ϕ l } l N eine Folge in C ( n und ϕ C ( n. Dann sagen wir wenn: ϕ l ϕ in D,. es eine kompakte Menge K n gibt derart, dass für alle Träger supp (ϕ l gilt supp (ϕ l K,. und für alle β N n gilt D β ϕ l D β ϕ, wenn l. Bemerkung 7.5. Schwartz nannte den Vektorraum C ( n versehen mit dieser Konvergenz D ( n oder nur D. Der Buchstabe D wurde von Schwartz verwendet wegen Differenzieren. Für u C s.f. (n definieren wir die folgende Normen: u m,k := a k β m sup x α D β u (x. (7. x n

3 7. Distributionen 6. Juni 6 83 Definition 7.6 Sei {ϕ l } l N eine Folge in C s.f. (n und sei ϕ C s.f. (n. Dann sagen wir ϕ l ϕ in S, wenn für alle m, k N gilt ϕ l ϕ m,k wenn l. Bemerkung 7.6. Um Schwartz zu ehren nannte man den Vektorraum C s.f. (n, versehen mit dieser Konvergenz, S ( n oder nur S. Bemerkung 7.6. Um die Konvergenz in S zu definieren verwendet man (abzählbar unendlich viele Normen. Wenn man endlich viele Normen hätte, dann wurde man S ( n als einen normierten Vektorraum darstellen können. Dies gelingt leider nicht. Man sieht direkt, dass C ( n C s.f. (n und dass C s.f. (n echt größer als C ( n ist. Wie verhalten sich die beiden Konvergenzdefinitionen? Lemma 7.7 Sei {ϕ l } l N eine Folge in C ( n und ϕ C ( n.. Wenn ϕ l ϕ in D, dann gilt auch ϕ l ϕ in S.. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Beweis. Wir dürfen annehmen, dass supp (ϕ l B ( mit. Dann gilt ϕ l m,k k ϕ l C m (K für l. Für die Umkehrung nehmen wir ein nichttriviales ϕ C ( n und betrachten ϕ l (x = l ϕ ( l x. Dann gilt ϕ l in S aber die Folge konvergiert nicht in D, denn die Träger supp (ϕ l liegen nicht innerhalb eines gemeinsamen Kompaktums. Wenn man nicht mag, dass die Folge gegen konvergiert, dann kann man stattdessen auch ϕ l (x = l ϕ (l x + ϕ (x betrachten. 7. Distributionen Für einen normierten aum X definiert man den Dualraum X als den aum der stetigen linearen Abbildungen. Um den Dualraum zu definieren, muss der aum nicht unbedingt einen Norm haben, sondern es reicht, die Konvergenz definiert zu haben. Definition 7.8 (Schwartz-Distributionen Die Schwartz-Distributionen D ( n sind die stetigen linearen Abbildungen von D ( n nach. Das heißt, F D ( n, wenn. F ist linear: F (c ϕ + c ϕ = c F (ϕ +c F (ϕ für alle c i und ϕ i C ( n ;. F : D ( n ist stetig: ϕ n ϕ in D ( n impliziert F (ϕ n F (ϕ in. Bemerkung 7.8. Wenn F linear ist, dann reicht Stetigkeit in, um die Stetigkeit auf ganz D ( n zu zeigen, denn ϕ n ϕ in D impliziert ϕ n ϕ in D. Die Linearität liefert F (ϕ n F (ϕ = F (ϕ n ϕ.

4 84 6. Juni 6 Kapitel 7, Intermezzo zu Distributionen Definition 7.9 (Temperierte Distributionen Die temperierten Distributionen S ( n sind die stetigen linearen Abbildungen von S ( n nach. Linearität und Stetigkeit sind ähnlich definiert wie in Definition 7.8. Weil C ( n Cs.f. (n gilt und wegen Lemma 7.7 kann man sagen D ( n S ( n. Stetigkeit in S ( n ist also etwas, das für eine größere Menge Funktionen gelten soll als die Stetigkeit in D ( n. Dies bedeutet, dass S ( n D ( n. Jede lokal Lebesgue-integrierbare Funktion f auf n liefert durch F f (ϕ = f(xϕ(xdx. (7.3 n eine Abbildung F f D ( n. Eine solche Distribution nennt man regulär. Die Linearität von F f folgt sofort. Für Stetigkeit betrachte man für ϕ C ( n mit Träger in K die folgende Abschätzung: F f (ϕ f(x ϕ(x dx ϕ L ( Ω f(x dx = f L (K ϕ L ( K. K Wenn ϕ n in D ( n, findet man ein K n N suppϕ n und ϕ n L ( K. Es folgt, dass F f (ϕ n f L (K ϕ n L ( K für n. Wenn die Funktion f höchstens polynomiales Wachstum hat, dann definiert (7.3 auch ein F f S ( n. Nimmt man jedoch eine Funktion wie f (x = e x, dann findet man, dass F f D ( n jedoch auch, dass F f S ( n. Lemma 7. Wenn F D ( n, dann ist F definiert durch K F (ϕ := F (ϕ, auch in D ( n. Das ähnliche Ergebnis gilt für F S ( n. Bemerkung 7.. Ähnliches gilt in höheren Dimensionen mit partiellen Ableitungen. Beweis. Die Linearität von F folgt aus der Linearität von F. Für die Stetigkeit von F verwendet man die von F. Denn, wenn ϕ n ϕ in D ( n oder S ( n gilt, dann gilt auch ϕ n ϕ in D ( n oder S ( n. Weil folgt das Ergebnis. F (ϕ n = F (ϕ n F (ϕ = F (ϕ Beispiel 7. Betrachtet man f :, definiert durch f(x = sign (x, dann ist die zugehörige Abbildung F auf C [, ] definiert als F (ϕ = f (x ϕ (x dx = Es gilt für F auf C [, ] C [, ], dass F (ϕ = F (ϕ = ϕ (xdx ϕ(xdx + ϕ(xdx. ϕ (xdx = = ϕ( ϕ( ϕ( + ϕ( = ϕ( = δ (ϕ.

5 7. Distributionen 6. Juni 6 85 Abbildung 7.: Darstellung einer Funktion aus D(. Eine solche Funktion ist unendlich oft differenzierbar und hat einen kompakten Träger. Abbildung 7.3: Darstellung einer Funktion aus S(. Eine solche Funktion ist unendlich oft differenzierbar und schnell fallend. Bemerkung 7.. Die Dirac-δ-Function liegt sowohl in S ( n als auch in D ( n, denn für ϕ C ( n Cs.f. (n gilt δ (ϕ = ϕ ( ϕ C ( n = ϕ,. eguläre Distributionen sind Distributionen aus D ( n oder S ( n, welche sich wie in (7.3 mit Hilfe einer Funktion definieren lassen. Wir betrachten nochmals ϕ ε aus (.8: ϕ ε (x = { e x ε für x < ε, für x ε, (7.4 und setzen ψ ε (x = ϕ ε (x n ϕ ε (x dx. (7.5 Ein Bild zu diesen Funktionen findet man in Abbildung.3. Setze Ψ ε (u (y = ψ ε (y x u (x dx für u C B ( n. (7.6 n Für ε > ist die Abbildung Ψ ε : C B ( n C B ( n wohldefiniert, und es gilt u C B ( n = Ψ ε (u C ( n C B ( n. Definition 7. Der Operator Ψ ε : C B ( n C B ( n aus (7.6 nennt man den Friedrichs schen Glätter oder Mollifier. Lemma 7.3 Sei u C B ( n. Es gilt Für u C B (n gilt sogar lim Ψ ε (u (y = u(y. (7.7 ε Ψ ε (u (y δ y u u C B ( n ε. (7.8 Kurt Otto Friedrichs, (9 Kiel 98 New ochelle, New York war ein deutsch-amerikanischer Mathematiker

6 86 6. Juni 6 Kapitel 7, Intermezzo zu Distributionen Bemerkung 7.3. Man kann dieses Ergebnis wie folgt lesen: {Ψ ε ( (y} ε> sind reguläre Distributionen, die die Dirac-δ-Funktion an der Stelle y approximieren, wenn ε. Bemerkung 7.3. Weil (7.7 gilt, sind Ψ ε (u für ε > unendlich oft differenzierbare Funktionen, die u C B ( n punktweise approximieren. Wenn u C B (n ist diese Approximation wegen (7.8 sogar gleichmäßig. Beweis. Da n ψ ε (xdx = gilt und u stetig ist, folgt Ψ ε (u (y u(y = ψ ε (y x (u (x u (y dx n n ψ ε (y x sup z B ε(y u (z u (y dx = sup u (z u (y für ε. z B ε(y Wenn u CB (n, hat man u (z u (y u C B ( n z y, und es folgt die letzte Ungleichung. 7.3 Distributionen und Differentialgleichungen Beispiel 7.4 Man könnte versuchen Distributionen als Anfangswerte zuzulassen. Wir betrachten u tt (x, t c u xx (x, t = f (x, t für t > und x, u(x, = u (x für x, (7.9 u t (x, = v (x für x, und nehmen hier statt die Funktion u die δ-distribution δ y und setzen v = f =. Man bekäme formell eine distributionelle Lösung u (, t = δ y ct + δ y+ct D ( ( S ( Hätte man u = i δ y i, würde man durch die Linearität u (, t = i (δ y i ct + δ yi +ct als Lösung haben. Für eine allgemeine Anfangsbedingung u ( kann man formell schreiben (wir tun mal so, als ob δ y eine Funktion wäre: u (x = δ y (x u (y dy. Die Lösung wäre = y u(x, t = y y ( δ y ct (x + δ y+ct (x u (y dy ( δ y (x + ct + δ y (x ct u (y dy = u (x + ct + u (x ct. (7. Wenn auch dies alles mathematisch erst noch mal zwielichtig ist, kann man leicht kontrollieren, dass das Endergebnis vernünftig ist. Für u C ( ist (7. tatsächlich die klassische Lösung, die wir schon vorher sahen. Beispiel 7.5 Man betrachte f (x = x. Dann ist f und f nicht überall definiert. Definiert man F f D ( oder S ( durch F f (ϕ = f (x ϕ (x dx,

7 7.3 Distributionen und Differentialgleichungen 6. Juni 6 87 dann folgt F f (ϕ = F f (ϕ = ϕ(. sign (x ϕ (x dx, Man bemerke, dass f (x = sign (x für x. Man zeigt diese Behauptungen durch partielle Integration: und F f (ϕ = F f (ϕ = ( [ = lim xϕ (x] m m = F f (ϕ = F f (ϕ = x ϕ (x dx = m ϕ (x dx + ϕ (x dx lim m ϕ (x dx = sign (x ϕ (x dx = xϕ (x dx ( [ m xϕ (x] m [ = lim ϕ (x] lim [ ϕ (x] m m m m sign (x ϕ (x dx, xϕ (x dx = ϕ (x dx = ϕ (x dx ϕ (x dx = = ϕ( = δ (ϕ. Im Sinne von Distributionen gilt also: ( = sign ( und ( sign ( = δ (. Beispiel 7.6 Sei f L lokal (n mit n 3 definiert durch f(x = x n. Dann ist F f (ϕ = x n ϕ (x dx n wohldefiniert für ϕ D ( oder S (. Es folgt ( F f (ϕ = F f ( ϕ = x n ϕ (x dx = lim ( n ( = lim x n ϕ (x x n ϕ (x νdσ x + ε x =ε = lim ε ε x >ε x >ε x n ϕ (x dx = ( ε n O ( ε n ( n x n x ϕ (x x x =ε x dσ x + x n ϕ (x dx = = lim ( n x ε x =ε n x ϕ (x x x dσ x = ( n ω n ϕ(. = Wir nehmen ω n = B dσ wie auf Seite 34. Dann gilt im Sinne von Distributionen: ( ( n = δ (. (n ω n Hier ist δ das n-dimensionale Dirac-Funktional in : δ (ϕ = ϕ( für ϕ D ( oder S (.

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