Singuläre Integrale 1 Grundideen der harmonischen Analysis

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1 Singuläre Integrale Grundideen der harmonischen Analsis Jens Hinrichsen und Annina Saluz November 2007 Motivation Ein tpisches Beispiel für ein singuläres Integral ist die Hilbert-Transformation, welche für eine Funktion f folgendermassen deniert ist T f(x) = π + f(x ) d. Dabei muss man das Integral durch einen geeigneten Grenzprozess interpretieren, da es oensichtlich nicht absolut konvergent ist. Ein Hindernis für die Konvergenz ist die Singularität des Integranden im Nullpunkt. Ausserdem wissen wir nicht ob die Funktion schnell genug abfällt. Das zweite Problem (welches wir bei der Betrachtung von Fourier-Reihen behandelt haben) vereinfachen wir hier, in dem wir f L p für ein p > voraussetzen. Wir werden sehen, dass man das singuläre Integral dann unter gewissen zusätzlichen Bedingungen durch einen geeigneten Grenzprozess interpretieren kann. Für f L p, p > zerlegen wir das Integral folgendermassen: π + f(x ) d = π >ɛ f(x ) d + π +ɛ ɛ f(x ) d

2 Da wir im ersten Integral keine Singularitäten mehr haben, können wir mit Hölder die folgende Abschätzung machen: /p /q f(x ) π d f(x ) p d π d q >ɛ >ɛ π f p C (ɛ) >ɛ } {{ } =:C (ɛ)< Das zweite Integral kann man im Allgemeinen nicht abschätzen. Wir setzen deshalb voraus, dass f lokal Lipschitz-stetig ist und benutzen dann den Hauptwert P des Integrals über dem Intervall [ ɛ, ɛ]. Wir xieren ein x mit f Lipschitz-stetig in x mit Konstante C. Es gilt: P ɛ ɛ f(x ) d := lim δ δ 0 + ɛ ɛ = lim δ 0 + lim δ 0 + δ ɛ δ lim δ 0 + C = 2Cɛ. ɛ f(x ) f(x ) d + d δ f(x ) f(x + ) d f(x ) f(x + ) d ɛ Insbesondere existiert also der Grenzwert für δ 0. Mit diesem Beispiel wollten wir zeigen, dass es intuitiv sinnvoll ist, einem singulären Integral einen Wert durch einen Grenzprozess zuzuordnen. M. Riesz hat bewiesen, dass die Hilbert Transformation ein beschränkter Operator auf L p, < p < ist und nicht beschränkt auf L, jedoch vom Tp w (, ). Wir möchten nun allgemeine Ausdrücke der Form K(x ) f()d betrachten und zeigen, dass diese unter geeigneten Bedingungen wohldeniert sind. 2 Singuläre Integrale: Ein nützliches Theorem Wir haben bereits einige Eigenschaften von translationsinvarianten Transformationen, die auf L oder L 2 beschränkt sind, kennengelernt. Das Studium translationsinvarianter Operatoren, die auf einem L p, p / {, 2}, beschränkt sind, ist im Allgemeinen schwieriger. Eine Ausnahme bildet die Klasse von δ 2 2d

3 Faltungsoperatoren mit singulärem Kern, die ihre einzigen Singularitäten jeweils im Ursprung und im Unendlichen haben. Diese Klasse möchten wir im Folgenden betrachten. Theorem: Sei K L 2 ( ) und es gelten die folgenden Annahmen: (a) Die Fourier Transformierte von K sei fast überall beschränkt ˆK(x) B. () (b) K sei von der Klasse C ausserhalb des Ursprungs und Für f L L p setze K(x) (T f)(x) = Dann existiert eine Konstante A p, so dass B. (2) x n+ K(x )f()d. (3) T (f) p A p f p, < p <. (4) Folglich kann man, da L L p dicht in L p ist, mit Stetigkeit T auf ganz L p fortsetzen. Die Konstante A p ist nur abhängig von p, B und der Dimension n, also insbesondere unabhängig von der L 2 Norm von K. Bemerkung : Die Annahme, dass K L 2, machen wir nur um eine direkte Denition von T f auf einer dichten Teilmenge von L p zu haben (hier auf L L p ). Es gilt nämlich: f L, K L 2 K f = T f L 2, also müssen wir uns keine Gedanken über den Sinn des Integrals in (3) machen. Die Annahme könnte auch durch eine andere ersetzt werden, wie zum Beispiel K L + L 2. Wir wählen hier K L 2, da wir dann das Theorem von Plancherel verwenden können. In den Anwendungen ist die Annahme K L 2 nicht von Bedeutung, da man durch einen geeigneten Grenzwertprozess darauf verzichten könnte (siehe Vortrag über Singuläre Integrale 2). Dies wiederum gilt, da die Schranke in (4) unabhängig von der L 2 Norm von K ist. Bemerkung 2: Anstelle von (2) kann man auch die folgende Bedingung (2') verlangen K(x ) K(x) dx B, für alle > 0. x 2 3

4 Der Beweis der Behauptung 2 wird dann etwas anders geführt. Wir werden unten auf die entsprechenden Stellen hinweisen. Beweis des Theorems: Wir führen den Beweis in drei Schritten. Behauptung : T ist vom Tp (2, 2). Beweis von Beh.: Wenn wir die Fourier Transformation verwenden, sehen wir, dass ( T ˆ f)() = ˆK() ˆf(), für f L L 2, somit gilt mit Annahme (a) und Plancherel: T (f) 2 = T (f) ˆ 2 = ˆK ˆf 2 ˆK L ˆf 2 B ˆf 2 = B f 2 (5) Wegen (5) besitzt T eine eindeutige Erweiterung auf ganz L 2, wo (5) noch gilt. T ist also vom Tp (2,2). Bemerkung 3: Insbesondere ist T deshalb auch w (2, 2), das heisst Beh. m{x; T f(x) > α} B2 α 2 f 2 2, f L 2 ( ). (6) Behauptung 2: T ist w (, ). Beweis von Beh. 2: Die Idee ist f in f = g + b zu zerlegen, wobei g der gute Teil von f ist, das heisst f = g auf der Menge wo f klein ist und b ist der schlechte Teil mit Träger auf der Menge wo f eher gross ist. Wir werden sehen, dass der gute Teil g in L 2 ( ) ist.damit können wir dann mit (6) eine passende Abschätzung für T (g) nden. Für die Abschätzung von T (b) möchten wir die Annahme (2) aus dem Theorem verwenden. Um aus T (b) = K(x ) b()d einen Ausdruck mit Ω dem Gradienten zu erhalten, wäre es praktisch eine Zerlegung von Ω in Würfel Q zu nden, so dass b()d = 0, da wir dann einen Term K(x Q ), Q wobei Q ein beliebiger Punkt in Q ist, einfügen könnten: T b(x) = K(x ) b()d = (K(x ) K(x Q ))b()d Q Q Den letzten Term könnten wir dann mit dem Gradienten abschätzen. Wir führen nun die Details vom Beweis aus: 4

5 Zu zeigen ist, dass eine positive Konstante C existiert, so dass m{x; (T f)(x) > α} C f(x) dx, f L ( ) (7) α Bemerkung 4: Um die Notation zu vereinfachen, verwenden wir C im Folgenden als eine allgemeine Konstante (nicht notwendigerweise die gleiche an verschiedenen Stellen), die nur abhängig von der Konstanten B und der Dimension n ist. Wir xieren nun α. Nach einem Korollar aus dem 2. Vortrag können wir folgendermassen zerlegen: = F Ω, mit F abgeschlossen, F Ω = ; f(x) α, x F ; Ω = j wobei die Inneren der disjunkt sind, und m(ω) C α f(x) dx (8) und f(x) dx Cα. (9) m( ) Weiter können wir voraussetzen (vgl. Beweis vom Korollar auf Seite 8 im Buch Singular Integrals and dierentiabilit properties of functions von E.M. Stein), dass diam( ) dist(, F ) 4 diam( ). (0) Wir setzen also gemäss unserer Idee { f(x), falls x F g(x) := m( f(x)dx, für x Q ) j () Dies deniert g fast überall. Wegen der ersten Gleichung ist g = f auf der Menge wo f klein ist. Mit f(x) = g(x) + b(x) folgt wie gewünscht: b(x) = 0, x F (2) b(x)dx = 0 für alle Würfel. (3) 5

6 Da T f = T g + T b folgt dann, dass m{x; T f(x) > α} m{x; T g(x) > α 2 } + m{x; T b(x) > α 2 } und wir können die Terme auf der rechten Seite einzeln abschätzen. Abschätzung für T g: T g ist in L 2 ( ), da mit (), (9) und (8) gilt: g 2 2 = g(x) 2 dx = g(x) 2 dx + g(x) 2 dx F Ω f(x) 2 dx + f() d m(q F j j ) α f(x) dx + C 2 α 2 m( ) j F α f + C 2 α 2 m(ω) (C 2 A + ) α f <. Durch Anwendung der Ungleichung (6) des L 2 -Falls folgt: Abschätzung für T b: Deniere: m{x; T g(x) > α 2 } B2 α 2 g 2 2 C α f. (4) 2 dx Dann gilt b(x) = j { b(x), x Qj b j (x) := 0, x / b j (x) und (T b)(x) = (T b j )(x) mit j T b j (x) = K(x )b j ()d. Da b j ()d = b()d = 0 gilt: T b j (x) = (K(x ) K(x j ))b j ()d, (5) 6

7 wobei j der Mittelpunkt des Würfels ist. Da nach Annahme K B x (n+) folgt mit dem Mittelwertsatz: K(x ) K(x j ) C diam( ) x ŷ j n+, wobei ŷ j ein Punkt auf der Geraden, die j mit verbindet, ist (also insbesondere von abhängig). Wir erhalten also b() T b j (x) C diam( ) d. (6) x ŷ j n+ Wir möchten nun die Eigenschaft (0) benutzen, um beliebige Distanzen x für x in F und in vergleichen zu können. Diese Eigenschaft ist sehr nützlich, da wir dann variable Distanzen x in den Integralen durch konstante Distanzen x j (also für feste j ), abschätzen können.diese konstanten Faktoren können wir dann aus dem Integral nehmen. Dadurch können wir die Integrale einfacher abschätzen. Am Schluss können wir die konstanten Distanzen wieder durch die variablen Distanzen ersetzen. Die gewünschte Abschätzung erhalten wir folgendermassen: Mit (0) folgt für festes x F und, z beliebig: x dist(, F ) diam( ) z z x x, also z x 2 x. Nach Vertauschung von und z folgt: Wir erhalten insbesondere x 2 x z 4 x. (7) x ŷ j 2 x j. Mit (6) gilt also T b j (x) C diam( ) b() d. x j n+ Dieses Integral lässt sich nun aber abschätzen. Mit f = g + b folgt b f + g, und mit den Abschätzungen (8) und (9) 7

8 erhalten wir b() d f() d + g() d m( ) Cα + f(x) dxd m( ) Somit folgt 2Cα m( ). T b j (x) Cαm( ) diam( ) x j n+. Wenn wir mit δ() die Distanz von zu F bezeichnen, können wir die folgende Abschätzung machen diam( ) dist(, F ) = min δ() δ()d. m( ) Setzen wir dies in die obige Ungleichung ein, so erhalten wir für x F δ() T b j (x) Cαm( ) d. m( ) x j n+ Wir können nun x j in der letzten Ungleichung mit (7) wieder durch ein Vielfaches einer variablen Distanz x abschätzen und erhalten δ() T b j (x) Cα d, x F. x n+ Dies ist eine Majorisierung von T durch das Marcinkiewicz Integral. Um eine Abschätzung für dieses Intergral zu erhalten, verwenden wir folgendes Lemma: δ(x+) n+ d. Lemma : Sei F abgeschlossen mit m(f c ) < und sei I (x) := Dann gilt I (x) < für fast alle x F und weiter I (x)dx C m(f c ). F Einen Beweis ndet man zum Beispiel im Buch Singular Integrals and dierentiabilit properties of functions von E.M. Stein auf Seite 5. 8

9 Mit dem Lemma und (8) folgt T b(x) dx Cα m(ω) C f. (8) F Aus dieser Ungleichung erhalten wir mit Tschebchev m{x F ; T b(x) > α 2 } 2C α f. (9) Da m(f c ) = m(ω) C α f erhalten wir die gewünschte Abschätzung für T b m{x; T b(x) > α 2 } m{x F ; T b(x) > α 2 } + m(ω) C α f. Mit der analogen Abschätzung für T g, (4), folgt also m{x; T f(x) > α} m{x; T g(x) > α 2 } + m{x; T b(x) > α 2 } C α f, das heisst T ist w (, ). Beh.2 Bemerkung 5: Im alternativen Beweis mit der Annahme (2') anstelle von (2), schätzt man die Distanzen x j ab, ohne die Proportionalität der Durchmesser der und deren Distanzen zu F benutzen. Man betrachtet dazu Würfel Q j, die den gleichen Mittelpunkt j haben, jedoch 2 n 2 mal grösser sind. Eine Abschätzung für x j erhält man dann durch eine einfache geometrische Überlegung. Weiter kann man das Integral (5) abschätzen ohne den Umweg über das Marcinkiewicz Integral zu machen. Letzter Schritt: Die L p Ungleichungen (a) Den Fall p = 2 haben wir in (5) bewiesen. (b) Den Fall < p < 2 zeigen wir mit der vereinfachten Version des Marcinkiewicz Interpolationssatzes (aus dem 3. Vortrag): Interpolationstheorem: Sei < r. Falls T eine subadditive Abbildung von L ( ) + L r ( ) in den Raum der messbaren Funktionen ist, die w (, ) und w (r, r) ist, dann ist T auch vom Tp (p, p) für alle p mit < p < r. 9

10 Wir prüfen also die Bedingungen für r = 2: T ist wohldeniert auf L ( ) + L 2 ( ), da L L 2 in L und in L 2 dicht ist. T ist oensichtlich auch linear und subadditiv. Weiter gilt nach Beh. 2, dass T w (, ) und nach Beh., dass T w (2, 2) ist, mit Schranken, die nur von B und n abhängig sind. Nach dem Interpolationstheorem gilt also T (f) p A p f p, < p < 2, f L p, wobei A p nur von B, p und n abhängig ist. (c) Für 2 < p < möchten wir die Dualität zwischen L p und L q, p + q = ausnützen. Dabei können wir verwenden, dass das Theorem für L q bewiesen ist. Wir benötigen noch das folgende Lemma: Lemma 2: Sei ψ lokal integrierbar und sup ψφdx = A <. Dann φ Cc o, φ q ist ψ L p und ψ p = A. Dieses Lemma möchten wir hier nicht beweisen (siehe zum Beispiel Mass und Integral SS07, Serie 9). Wir wählen nun f L L p und φ stetig mit kompaktem Träger und φ q. Behauptung: K(x ) f() φ(x) dxd konvergiert absolut. Beweis: Nach Tonelli reicht es, die Existenz eines der iterierten Integrale zu zeigen. Da φ stetig mit kompaktem Träger ist, liegt φ in jedem L p, also insbesondere in L 2. Betrachte φ(x) K(x ) f() ddx = φ(x) ( K f )(x) dx }{{} L 2 φ 2 K f 2 φ 2 K 2 f < Beh. 0

11 Mit Fubini und K(x) := K( x) folgt für den zugehörigen Operator T I := T (f)(x)φ(x)dx = φ(x) K(x )f()d dx R n = f() φ(x)k(x )dx d = f() φ(x) K( x)dx d = f() T (φ)(x)d. } {{ } T (φ)(x) Da das Theorem für < q < 2 gilt, ist T (φ) L q mit T (φ) q A q φ q A q. Mit Hölder erhalten wir I A q f p. Wenn wir das Supremum auf beiden Seiten nehmen, liefert Lemma 2 die gesuchte Ungleichung für 2 < p < : T f p = sup (T f)φdx A q f p φ Cc o, φ Theorem Im zweiten Vortrag über Singuläre Integrale werden wir sehen, dass sich das Theorem auch auf Kerne, die weniger starke Voraussetzungen erfüllen, erweitern lässt. Ein Beispiel bildet der Kern der zur Hilbert-Transformation gehört.