Klausur Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik

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1 Karlsruher Institut für Technologie (KIT Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning WS / Klausur Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik Aufgabe ((4+3+3 Punkte a Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche nicht? Geben Sie entweder eine kurze Begründung oder ein Gegenbeispiel. i Ist f : R R stetig, so ist F : R R, F (x = x f(t dt stetig differenzierbar. ii Ist f : (, R stetig, so ist f beschränkt. iii Für f : R R, f(x = e x ( (x gilt sup{f(x : x R} >. iv Ist f : R (, stetig, so ist F : R R, F (x = x f(t dt streng monoton wachsend. b Sei g : [, ] R zweimal differenzierbar und g ( =. Entscheiden Sie wieder, welche der folgenden Aussagen wahr und welche nicht wahr sind, und geben Sie eine kurze Begründung oder ein Gegenbeispiel. i g ( g hat im Nullpunkt ein lokales Maximum. ii g ( > g( = min x [,] g(x. iii g( = min x (, g(x g (. c Schreiben Sie folgende komplexe Zahlen in der Form re iφ mit r, φ R, r, φ<π: +i i 3 3i ii ( 3 + i 3 ( (Hinweis: Es gilt cos π 6 = 3. a i Die Aussage ist wahr: Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist F differenzierbar und es gilt F = f. Da f stetig ist, ist F also stetig differenzierbar. ii Die Aussage ist falsch: Die Abbildung f(x = x ist stetig, jedoch nicht beschränkt. iii Die Aussage ist wahr: Es gilt f( =, also sup{f(x : x R} >. iv Die Aussage ist wahr: Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt F (x = f(x > für alle x R. Damit ist F streng monoton wachsend. b i Die Aussage ist falsch: Für g(x = x 3 gilt g ( =, g ( =, jedoch hat g im Nullpunkt kein lokales Extremum. ii Die Aussage ist falsch: Für g(x = x 3 + x gilt g (x = 6x + x, g (x = x +, also g ( =, g ( = >. Jedoch gilt g( =, g( = min g(x. x [,] iii Die Aussage ist wahr: Aus g( = min g(x folgt, dass g in ein lokales Minimum x (, hat. Nach Vorlesung sind g ( = und g ( notwendige Voraussetzungen für das Vorliegen eines lokalen Minimums. c i + i 3 3i = ( + i 3 ( i( + i = 3 i = 3 ei π.

2 ii ( i = ( ( π ( π 3 cos + i sin 6 6 = e i π 6 3 = e i(67 π+ 3 π = e i 3 π Aufgabe ((+3+5 Punkte a Bestimmen Sie die Menge aller x ( π, π, für die die Reihe (sin x n konvergiert. b Untersuchen Sie die Reihe k= n= auf Konvergenz und auf absolute Konvergenz. ( ( k k + 3 cos(kπ k + c i Seien x, y >. Zeigen Sie die Ungleichung x y + y x. ii Für alle k N sei >. Zeigen Sie für alle n N die Ungleichung ( ( n. k= a Für x ( π, π setze q := sin x. Damit ist (sin x n = n= k= eine geometrische Reihe, die genau für q <, also für < sin x < konvergiert. Mit der letzten Ungleichung ist die Reihe also genau für x ( π, π \ { π, π } konvergent. b Es gilt also cos(kπ = ( k. Damit erhalten wir und damit n= q n { für k gerade, cos(kπ = für k ungerade, ( k k + 3 cos(kπ k + ( = ( k k + 3 k + k k + (k + 3 = ( (k + 3(k + = ( k (k + 3(k +, ( k k + 3 cos(kπ k + = (k + 3(k + k. Die Reihe k= ist nach Vorlesung konvergent. Nach dem Majorantenkriterium ist damit die Reihe ( k ( k k= k+3 cos(kπ k+ absolut konvergent. Da aus absoluter Konvergenz die gewöhnliche Konvergenz folgt, ist die Reihe also auch konvergent.

3 c i Es gilt x xy + y = (x y, also x + y xy. Wir teilen diese Ungleichung durch xy > und erhalten x y + y x. ii Wir zeigen die Ungleichung mittels Induktion über n. Für n = gilt k= k= a a =. Sei die Ungleichung für ein n N bereits gezeigt. Dann gilt ( n+ ( n+ ( ( = a n+ + + a n+ = + IV k= + k= k= a n+ i + n + n = (n +, womit der Induktionsbeweis beendet ist. + k= ( an+ + a n+ a n+ + + n k= ( ( k= k= Aufgabe 3 ((4+6 Punkte a Berechnen Sie in i und ii jeweils die Ableitung von f für x (, : i f(x = e sin x ii f(x = x α log x (α R fest b Berechnen Sie die folgenden Integrale: i ii a i 3x x x dx cos(log x dx (a > f (x = e sin x cos( x x ii f (x = α x α log x + xα x ( x = α x α log x xα ( = x α (α log x b i Die Substitution y = log x führt auf dy dx = x = e y und damit auf cos(log x dx = Zweimalige partielle Integration liefert e y cos y dy. e y cos y dy = [e y cos y] log a + e y sin y dy = [e y cos y] log a + [e y sin y] log a e y cos y dy,

4 also e y cos y dy = ( [e y cos y] log a + [e y sin y] log a = (a cos(log a + a sin(log a. Insgesamt erhalten wir cos(log x dx = a(cos(log a + sin(log a. ii Die Gleichung x x = führt auf die Lösungen x =, x =. Wir führen eine Partialbruchzerlegung durch mit dem Ansatz 3x x x = = A x + + B x (A + Bx + (B A x. x Das lineare Gleichungssystem A + B = 3, B A = liefert A =, B =. Damit erhalten wir 3x x x dx = x + dx + x dx = [log(x + ] + [log( x ] = log + ( log = log. Aufgabe 4 ((3+4+3 Punkte a Seien a, b R mit < a < b. Untersuchen Sie die Folge x n = n a n + b n auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. b Für n N sei f n : R R, f n (x = nxe nx. i Für a < b sei [a, b] ein Intervall, das den Nullpunkt nicht enthält. Zeigen Sie, dass die Folge (f n n N auf [a, b] gleichmäßig konvergiert. ii Für c < d sei [c, d] ein Intervall mit [c, d]. Zeigen Sie, dass (f n n N auf [c, d] nicht gleichmäßig konvergiert. c Es sei f : [, ] R, f(x = 4 x + 4 cos x. Zeigen Sie: Es gibt genau ein x [, ] mit f(x = x. a Wegen < a < b gilt b n a n + b n b n, also b x n n b. Nach Vorlesung gilt n für n. Damit liegt x n zwischen zwei konvergenten Folgen mit demselben Grenzwert b. Es folgt, dass auch (x n n N konvergiert mit x n b für n.

5 b i Wir zeigen, dass (f n n N auf [a, b] gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert. Gelte zunächst < a < b. Dann gilt sup f n (x = sup nxe nx nbe na = b a (na e na für n. Dabei wurde lim y ye y = verwendet. Gilt a < b <, schätzt man analog ab sup nxe nx n a e nb = a b (nb e nb ii und folgert wie oben die gleichmäßige Konvergenz gegen die Nullfunktion. Wegen f n ( = und dem Ergebnis aus i konvergiert (f n n N punktweise gegen die Nullfunktion. Es gilt d > oder c <. Gelte zunächst d >. Sei ε :=. Dann gilt n < d für n hinreichend groß und ( f n n = e n > für n hinreichend groß (wähle beispielsweise n > log. Folglich gibt es für ε = für jedes N N ein n N und ein x [c, d] mit f n (x > ε und (f n n N konvergiert nicht gleichmäßig auf [c, d]. Gilt c <, so betrachte f n ( n und argumentiere analog. c Es gilt f(x = x genau dann, wenn g(x := x 4 x 4 cos x =. Weiterhin ist g( = 4 4 cos( <, g( = 4 4 cos 4 4 = >. Da g als Summe stetiger Funktionen stetig ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein x (, mit g(x =, also mit f(x = x. Um die Eindeutigkeit zu zeigen, beachten wir, dass g auf (, differenzierbar und auf [, ] stetig ist. Es gilt g (x = x + 4 sin x 4 = 4 >. Also ist g auf [, ] streng monoton wachsend und es gibt damit höchstens ein x mit g(x =, also mit f(x = x.