Karlsruher Institut für Technologie (KIT) WS 2012/13 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning

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1 Karlsruher Institut für Technologie (KIT) WS 212/13 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning Aufgabe 1 Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik 12. Übungsblatt Sei V ein K-Vektorraum und seien W 1, W 2 V Untervektorräume von V, so dass W 1 W 2 V auch ein Untervektorraum von V ist. Zeigen Sie, dass dies W 1 W 2 oder W 2 W 1 impliziert. Angenommen es gilt nicht W 1 W 2. Zu zeigen ist dann W 2 W 1. Sei w 2 W 2 beliebig und w 1 W 1 \ W 2 w 1, w 2 W 1 W 2. W 1 W 2 Untervektorraum w 1 + w 2 W 1 W 2. Angenommen es gilt w 1 + w 2 W 2. Dann gilt w 1 = (w 1 + w 2 ) w 2 W 2, ein Widerspruch. Es folgt w 1 + w 2 W 1, also w 2 = (w 1 + w 2 ) w 1 W 1, also W 2 W 1. Aufgabe 2 Sei V = C (R) der R-Vektorraum der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen f : R R. Zeigen Sie: Die Funktionen f 1, f 2 und f 3, wobei f 1 (x) = 1, f 2 (x) = cos x und f 3 (x) = sin x für alle x R, sind linear unabhängig. Es gelte λ 1 f 1 + λ 2 f 2 + λ 3 f 3 =. Dies impliziert λ 1 + λ 2 cos x + λ 3 sin x = x R. Indem wir der Reihe nach x =, x = π 2 drei Gleichungen λ 1 + λ 2 =, λ 1 + λ 3 =, λ 1 λ 2 =. und x = π einsetzen, erhalten wir die Dies liefert λ 1 = λ 2 = λ 3 =. Also sind f 1, f 2, f 3 linear unabhängig.

2 Aufgabe 3 Sei n N und sei V wie in Aufgabe 2. Weiter seien β 1,..., β n R paarweise verschiedene Zahlen (d.h. β i β j für alle i, j {1,..., n}, i j). Zeigen Sie: Die Funktionen f 1,..., f n, f i (x) = e β ix für alle 1 i n und alle x R, sind linear unabhängig. Wir zeigen die Aussage mittels Induktion über n. n = 1: Sei λ 1 e β 1x = für alle x R. Da e β 1x >, folgt λ 1 =. Sei die Aussage für n 1 bereits gezeigt. Seien λ 1,..., λ n R mit λ 1 e β 1x λ n e β nx = x R. ( ) Wir multiplizieren diese Gleichung mit e β nx und erhalten λ 1 e (β 1 β n )x λ n e (β n β n )x + λ n = x R. Wir differenzieren die letzte Gleichung und erhalten λ 1 (β 1 β n )e (β 1 β n )x λ n (β n β n )e (β n β n )x = x R. Da β 1 β n,..., β n β n auch paarweise verschieden sind, folgt aus der Induktionsvoraussetzung λ 1 (β 1 β n ) =... = λ n (β n β n ) =. Da β i β n für 1 i n 1, folgt (β i β n ) für 1 i n 1 und damit λ 1 =... = λ n =. Aus ( ) folgt λ n e β nx = x R λ n =. Also sind f 1,..., f n linear unabhängig. Aufgabe 4 a) Im R 4 sind die Vektoren v 1 = Zeigen Sie: 8 4, v 2 = i) Die Vektoren v 1, v 2 und v 3 sind linear abhängig., v 3 = 4 1 gegeben. ii) Es gibt keine Zahlen α 1, α 3 R mit v 2 = α 1 v 1 + α 3 v 3. b) Bestimmen Sie alle a R, so dass die Vektoren v 1 1 =, v 2 = 1, 1 a v 3 = 1 des R 3 linear abhängig sind. 1

3 a) Im R 4 sind die Vektoren v 1 = 8 4, v 2 = 3 6 2, v 3 = 4 1 gegeben. i) Offenbar ist v 1 = v 3. Daher gilt v 1 + v 2 + 2v 3 =, d.h. es gibt eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors. Also sind die Vektoren v 1, v 2, v 3 linear abhängig. Im allgemeinen erkennt man nicht sofort, ob gegebene Vektoren linear unabhängig sind oder nicht. Um die Vektoren v 1, v 2, v 3 auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen, können wir v 1, v 2, v 3 als Zeilen in eine Matrix schreiben und diese durch Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform bringen: [vertausche erste und zweite Zeile] [multipliziere die dritte Zeile mit 2] [ersetze die dritte Zeile durch die Summe der zweiten und dritten Zeile] Da die Zeilen der letzten Matrix linear abhängig sind, sind es v 1, v 2, v 3 auch. ii) Wäre v 2 = α 1 v 1 + α 3 v 3 für α 1, α 3 R, so müsste für die erste Komponente gelten: 3 = α 1 + α 3 =. Dies ist nicht möglich. Deshalb gibt es keine α 1, α 3 R mit v 2 = α 1 v 1 + α 3 v 3. b) Seien λ 1, λ 2, λ 3 R mit λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 =, also mit λ 1 + λ 3 a = λ 2 + λ 3 = λ 1 λ 2 + λ 3 =

4 bzw. äquivalent hierzu λ 1 = aλ 3 λ 2 = λ 3 λ 1 = λ 3 Nur für a = 2 gibt es eine Lösung, die sich von λ 1 = λ 2 = λ 3 = unterscheidet (z.b. λ 1 = 2, λ 2 = 1, λ 3 =, dann gilt 2v 1 + v 2 v 3 = ). Also sind die Vektoren v 1, v 2, v 3 nur für a = 2 linear abhängig. Aufgabe 5 Gegeben seien im R 5 die Vektoren v 1 = (4, 1, 1,, ), v 2 = (, 1, 4,, 2), v 3 = (4, 3, 9,, 2), v 4 = (1, 1, 1, 1, 1), v 5 = (,, 8, 2, 4). a) Bestimmen Sie eine Basis von V = span(v 1,..., v 5 ). b) Wählen Sie alle möglichen Basen von V aus den Vektoren v 1,..., v 5 aus, und kombinieren Sie jeweils v 1,..., v 5 daraus linear. a) Mit der Methode aus Aufgabe 4 a) i) prüft man, dass {v 1, v 2, v 4 } linear unabhängig ist: Aus den Vektoren v 1, v 2, v 4 erstellen wir die zugehörige Matrix Vertauscht man die erste mit der dritten Zeile, erhält man Von der dritten Zeile subtrahieren wir 4 die erste Zeile: Zur dritten Zeile addieren wir 3 die zweite Zeile: Die Zeilenstufenform zeigt, dass sich keine Nullzeile produzieren lässt, also keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellbar ist. Damit ist {v 1, v 2, v 4 } linear unabhängig. Ferner gilt offensichtlich v 5 = v 2, sowie v 3 = v 1 + 2v 2 Es folgt dim V = 3 und {v 1, v 2, v 4 } ist eine Basis von V.

5 b) Jede Basis hat genau 3 Elemente. Da {v 1, v 2, v 4 } eine Basis ist und v 3 = v 1 + v 2, v 5 = v 2, muss v 4 in der Basis enthalten sein (v 4 lässt sich nicht aus den anderen Vektoren linear kombinieren). Aus {v 1, v 2, v 3, v 5 } sind also noch genau zwei Vektoren in der Basis enthalten, wobei wegen v 5 = v 2 nur maximal einer der Vektoren v 2, v 5 in der Basis enthalten ist. Es kommen also nur folgende Mengen als Basen in Betracht: {v 1, v 3, v 4 }, {v 1, v 2, v 4 }, {v 2, v 3, v 4 }, {v 1, v 4, v 5 }, {v 3, v 4, v 5 }. Wir stellen im Folgenden jeden der Vektoren v 1,..., v 5 als Linearkombination aus Vektoren der einzelnen Mengen dar; dies zeigt, dass jede der gerade genannten Mengen tatsächlich eine Basis ist. Darstellung der Vektoren v 1,..., v 5 als Linearkombination aus {v 1, v 3, v 4 }: v 1 = 1 v 1, v 2 = 1 2 v v 3, v 3 = 1 v 3, v 4 = 1 v 4, v 5 = v 1 v 3. Darstellung der Vektoren v 1,..., v 5 als Linearkombination aus {v 1, v 2, v 4 }: v 1 = 1 v 1, v 2 = 1 v 2, v 3 = v 1 + 2v 2, v 4 = 1 v 4, v 5 = v 2. Darstellung der Vektoren v 1,..., v 5 als Linearkombination aus {v 2, v 3, v 4 }: v 1 = v 2 + v 3, v 2 = 1 v 2, v 3 = 1 v 3, v 4 = 1 v 4, v 5 = v 2. Darstellung der Vektoren v 1,..., v 5 als Linearkombination aus {v 1, v 4, v 5 }: v 1 = 1 v 1, v 2 = 1 2 v 5, v 3 = v 1 v 5, v 4 = 1 v 4, v 5 = 1 v 5. Darstellung der Vektoren v 1,..., v 5 als Linearkombination aus {v 3, v 4, v 5 }: v 1 = v 3 + v 5, v 2 = 1 2 v 5, v 3 = 1 v 3, v 4 = 1 v 4, v 5 = 1 v 5. Aufgabe 6 Geben Sie für folgende Vektorräume jeweils eine Basis an: a) {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 1 = x 3 } b) {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 + 3x 2 + 2x 4 =, 2x 1 + x 2 + x 3 = } c) span(x 2, x 2 + x, x 2 + 1, x 2 + x + 1, x 7 + x 5 ) R[X]

6 a) Eine Basis ist gegeben durch v 1 = (1,, 1), v 2 = (, 1, ), denn aus λ 1 v 1 +λ 2 v 2 = folgt (λ 1, λ 2, λ 1 ) = (,,, ), also λ 1 = λ 2 = ; ist ferner v {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 1 = x 3 }, so gibt es a, b R mit v = (a, b, a), also v = av 1 + bv 2. b) Die beiden Gleichungen x 1 + 3x 2 + 2x 4 =, 2x 1 + x 2 + x 3 = führen auf das Gleichungssystem ( ) Subtrahiert man 2 die erste Zeile von der zweiten, führt dies auf ( ) Dies liefert x 2 = 1 5 x x 4, x 1 = 3x 2 2x 4. Die Variablen x 3, x 4 sind frei wählbar und der gegebene Vektorraum ist damit 2-dimensional. Setzt man bspw. x 3 = 5, x 4 =, so erhält man x 2 = 1, x 1 = 3. Setzt man x 3 =, x 4 = 5, so erhält man x 2 = 4, x 1 = 2. Die Vektoren ( 3, 1, 5, ) und (2, 4,, 5) sind offensichtlich linear unabhängig und bilden zusammen eine Basis. c) Wir zeigen zunächst, dass {x 2, x 2 + x, x 2 + 1, x 7 + x 5 } linear unabhängig ist: Es gelte also λ 1 x 2 + λ 2 (x 2 + x) + λ 3 (x 2 + 1) + λ 4 (x 7 + x 5 ) =, λ 3 + λ 2 x + (λ 1 + λ 2 + λ 3 )x 2 + λ 4 x 5 + λ 4 x 7 =. Da die Polynome {1, x, x 2, x 3,...} R[X] linear unabhängig sind, folgt λ 3 =,, λ 2 =, λ 1 + λ 2 + λ 3 =, λ 4 =, also λ 1 = λ 2 = λ 3 = λ 4 =. Damit ist {x 2, x 2 + x, x 2 + 1, x 7 + x 5 } linear unabhängig. Schließlich lässt sich das Polynom x 2 + x + 1 als Linearkombination aus den restlichen Polynomen darstellen, und zwar gilt x 2 + (x 2 + x) + (x 2 + 1) = x 2 + x + 1. Damit ist span(x 2, x 2 + x, x 2 + 1, x 2 + x + 1, x 7 + x 5 ) ein 4-dimensionaler Vektorraum und {x 2, x 2 + x, x 2 + 1, x 7 + x 5 }

7 ist eine Basis dieses Vektorraums. Alternativ: Offensichtlich ist dann auch {1, x, x 2, x 7 + x 5 } eine Basis (die Vektoren sind linear unabhängig und jeder Vektor lässt sich als Linearkombination der Vektoren der ersten Basis schreiben).