Klausurvorbereitungsblatt Lineare Algebra

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1 Klausurvorbereitungsblatt Lineare Algebra Sommersemester 25 Aufgabe 2 2 Sei A R a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax b) Ist Ax b mit b lösbar? (Begründen Sie Ihre Antwort) Wende Gaußsches Eliminationsverfahren an: a) Lösungsmenge ist 2x + 3 y 2 3 L x + 7y x 29y 4 y x, y R x b) Das Gleichungssystem ist nicht lösbar, weil das Gaußsche Eliminationsverfahren angewandt auf die erweiterte Matrix auf die Matrix führt Aufgabe 2 Sei A n die Teilmenge der symmetrischen Gruppe S n, die aus allen Permutationen τ S n besteht, die ein Produkt von einer geraden Anzahl von Transpositionen sind. Zeigen Sie, dass A n eine Untergruppe von S n ist. Klausurvorbereitungsblatt Lineare Algebra, SoSe 25

2 Das neutrale Element e id von S n ist in A n, weil für jede Transposition τ gilt τ 2 ττ id, also ist id Produkt von einer geraden Anzahl von Transpositionen. Seien σ τ τ 2k und σ τ τ 2l Elemente in A n, dann ist σσ τ τ 2k τ τ 2l Produkt von 2k + 2l 2(k + l) Transpositionen also liegt in A n. Schließlich hat das Inverse σ von σ τ τ 2k die Form σ τ 2k τ, ist also mit σ auch in A n. Aufgabe 3 Sei n N. Sei D n (d ij ) die n n-matrix mit den Einträgen d ij für i+j n+ und d ij sonst, d.h. D n Zeigen Sie, dass gilt det D n ( ) n(n )/2. Induktion nach n: Induktionsanfang: det D ( ). Induktionsvoraussetzung: Für ein beliebiges n gelte det D n ( ) n(n )/2. Induktionsschluss: Entwicklung nach der ersten Spalte: det D n+ ( ) n+2 det D n Vorauss. ( ) n+2 ( ) n(n )/2 ( ) n(+(n )/2)+2 ( ) n(n+)/2 ( ) 2 ( ) n(n+)/2 Aufgabe 4 Sei n 2 und V ein n-dimensionaler K-Vektorraum sowie W W 2 Untervektorräume von V mit dim W dim W 2 n. a) Zeigen Sie, dass V W + W 2 b) Zeigen Sie, dass W W 2 {} genau dann, wenn n 2. Klausurvorbereitungsblatt Lineare Algebra, SoSe 25 2

3 a) Entweder ist dim(w +W 2 ) n oder n. Wäre dim(w +W 2 ) n, dann wäre nach Dimensionsformel für Unterräume dim(w W 2 ) 2n 2 (n ) n und damit W W 2, was im Widerspruch zur Voraussetzung steht. Damit ist dim(w + W 2 ) n und W + W 2 V. b) Dimensionsformel für Unterräume impliziert, dass n dim V 2n 2 dim(w W 2 ), d.h. dim(w W 2 ) n 2. Dann ist dim W W 2 {} genau dann, wenn n 2. Aufgabe 5 Sei A K n n eine fest gegebene Matrix und f A : K n n K n n die Abbildung definiert durch f A (X) AX XA. a) Zeigen Sie, dass f A eine lineare Abbildung ist. b) Zeigen Sie, dass det(f A ) c) Zeigen Sie mit Hilfe der Spur, dass E n Bild(f A ), falls char(k). a) f A (X +Y ) A(X +Y ) (X +Y )A AX +AY XA Y A AX XA+ AY Y A f A (X) +f A (Y ). f A (αx) (αa)x X(αA) α(ax XA) αf A (X). b) Offensichtlich ist f A (A), also A Kern(f A ). Entweder ist A und f A (X) für alle X oder A und Kern(f A ) {}. Damit ist f A nicht bijektiv und det f A. c) Wenn E n AX XA, dann ist n T r(e n ) T r(ax) T r(xa). Weil char(k) ist das nicht möglich. Aufgabe 6 Sei λ A : R 4 R 3 die lineare Abbildung gegeben durch die Multiplikation mit der Matrix A Klausurvorbereitungsblatt Lineare Algebra, SoSe 25 3

4 a) Bestimmen Sie die Dimensionen des Kerns und des Bilds von λ A b) Finden Sie Basen B von R 4 und C von R 3, sodass A(λ A ) B C Gaußsche Elimination (elementare Zeilenumformungen) führt A in die obere Dreiecksmatrix A über. Rückwärtseinsetzen liefert für ein x v x 2 x 3 Kern(λ A) x 4 die Bedingungen x x 4, x 2 5 x 4, x und somit ist Kern(λ A ) /5 6/5 und dim Kern(λ A ). Nach der Dimensionsformel für lineare Abbildungen ist dann dim Bild(λ A ) 4 3. Nach Definition sind die Spalten von A(λ) B C κ C (b ),..., κ C (b 4 ) genau die Koordinatenvektoren der Basisvektoren aus B (b,..., b 4 ) bezüglich Basis C. Die Bedingung aus der Aufgabenstellung ist, dass die Bilder der ersten drei Basisvektoren b, b 2, b 3 genau die Basisvektoren c, c 2, c 3 aus C sind, und dass b 4 im Kern von λ A liegt. Somit können wir b 4 /5 6/5 wählen. Es genügt also drei linear unabhängige b, b 2, b 3 R 4 zu finden, die nicht im Kern liegen. Dann erfüllen B (b, b 2, b 3, b 4 ) und C (Ab, Ab 2, Ab 3 ) die geforderte Bedingung. Wir können etwa b e, b 2 e 2 und b 3 e 3 die Standardeinheitsvektoren wählen. Keiner dieser Vektoren ist im Kern (weil kein Vielfaches von b 4 ) und sie sind offensichtlich linear unabhängig. Klausurvorbereitungsblatt Lineare Algebra, SoSe 25 4

5 Aufgabe 7 Sei A ( ) 2 2 R a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A. b) Zeigen Sie, dass die Matrix A diagonalisierbar ist. c) Berechnen Sie A a) Die Eigenwerte sind Nullstellen von ( ) x det(xe 2 A) det (x + 2)(x 3) x 3 pq-formel liefert x und x 2 als Nullstellen. b) A ist diagonalisierbar, weil die Eigenwerte verschieden sind. c) Die Matrix P mit Eigenvektoren der Matrix A als Spalten erfüllt ( ) P AP 2 Es gilt P A P P} AP P AP {{ P AP} mal ) ( ( ) 2 Die Eigenvektoren sind ( ) 2 Damit ist A P ( ) P 24 und ( ) 24 ( ) 2 ( ) ( ( 34 ) ( ) 2 ) ( ) 2/3 /3 /3 2/3 Klausurvorbereitungsblatt Lineare Algebra, SoSe 25 5