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1 $Id: vektortex,v /01/16 15:50:24 hk Exp $ $Id: cartesischtex,v /01/19 11:05:27 hk Exp $ 9 Vektorräume 94 Koordinatentransformationen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir die sogenannten Koordinatenabbildungen eines endlich erzeugten Vektorraums eingeführt Gegeben seien ein Vektorraum V mit einer Basis v = (v 1,, v n Die Koordinatenabbildung Ψ = Ψ v ordnet dann jedem Koordinatenvektor x = (x 1,, x n den Vektor in V zu der bezüglich der Basis v diese Koordinaten hat, also Ψ : K n V ; (x 1,, x n x k v k Ist beispielsweise V = K n und e := (e 1,, e n die kanonische Basis des K n, so ist die zugehörige Koordinatenabbildung durch Ψ(x = x 1 e x n e n = gegeben, dh Ψ e = id K n ist die identische Abbildung Ist dagegen v 1 := 1, v 2 := 1, v 3 := die schon in der letzten Sitzung als Beispiel verwendete Basis des R 3, so ist die zugehörige Koordinatenabbildung gegeben als x y Ψ(x, y, z = x 1 + y 1 + z 3 = 3z x y y z Die Koordinatenabbildung Ψ einer Basis v 1,, v n verträgt sich mit Addition und Multiplikation in V, dh werden die Koordinaten addiert so addieren sich auch die zugehörigen Vektoren und werden die Koordinaten mit einem Skalar multipliziert so wird auch der zugehörige Vektor mit demselben Skalar multipliziert Dies kann man leicht nachrechnen, sind x, y K n so haben wir Ψ(x + y = (x i + y i v i = x i v i + y i v i = Ψ(x + Ψ(y 20-1 k=1 x 1 x n

2 und für alle x K n, λ K ist auch Ψ(λx = (λx i v i = λ x i v i = λψ(x Die Koordinatenabbildung Ψ ist damit eine lineare Abbildung im Sinne der folgenden Definition Definition 99 (Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen Seien V, W zwei Vektorräume über K Eine Abbildung f : V W heißt linear, wenn sie die folgenden beiden Bedingungen erfüllt: (L1 Für alle x, y V ist f(x + y = f(x + f(y (L2 Für alle x V, λ K ist f(λx = λf(x Wir werden diese Abbildungen im nächsten Abschnitt noch etwas weiter untersuchen Zu verschiedenen Basen eines Vektorraums gehören auch verschiedene Koordinatenabbildungen, und wir wollen uns jetzt überlegen wie genau sich diese Koordinatenabbildungen unterscheiden Definition 910 (Transformationsmatrizen Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum und seien v 1,, v n sowie w 1,, w n zwei Basen von V Für jedes 1 i n können wir dann v i bezüglich der Basis w 1,, w n als v i = n j=1 a jiw j mit a 1i,, a ni K schreiben, und mit diesen Zahlen bilden wir die Matrix A := a 11 a 1n a n1 a nn Diese Matrix ist dann die Transformationsmatrix oder Übergangsmatrix von der Basis v 1,, v n zur Basis w 1,, w n von V Die Transformationsmatrix A überführt die Koordinaten bezüglich der ersten Basis v = (v 1,, v n in diejenigen bezüglich der anderen Basis w = (w 1,, w n Damit ist die folgende Beobachtung gemeint Angenommen wir haben einen Vektor u V, der bezüglich der Basis v 1,, v n die Koordinaten x 1,, x n hat, also u = Ψ v (x, beziehungsweise u = x 1 v x n v n Setzen wir hier die Darstellung von v i für i = 1,, n bezüglich der Basis w ein, so ergibt sich ( u = x i v i = a ji x i w j = a ji x i w j = (Ax j w j, j=1 j=1 dh der Koordinatenvektor y K n von u bezüglich der Basis w ist gerade y = Ax In anderen Worten haben wir Ψ v (x = Ψ w (Ax 20-2 j=1

3 für jedes x K n Die Transformation von v- auf w-koordinaten erfolgt also durch Multiplikation mit der Transformationsmatrix zwischen v und w Auf einen besonders wichtigen Spezialfall wollen wir hier gesondert hinweisen Sei n N mit n 1 und sei v 1 = v 11 v 1n,, v n = eine Basis des K n Wir wollen die Transformationsmatrix A von v 1,, v n zur Standardbasis e 1,, e n des K n bestimmen Für jedes 1 i n haben wir v i1 v i = = v ij e j, v j=1 in also ist A = (v ji 1 i,j n, dh für jedes 1 j n steht in der j-ten Spalte von A der Spaltenvektor v j Die Übergangsmatrix A entsteht also einfach indem die Basisvektoren v 1,, v n als die Spalten einer n n-matrix hintereinandergeschrieben werden Haben wir also beispielsweise die obige Basis v 1, v 2, v 3 des R 3 so ist die Transformationsmatrix A von der Basis v 1, v 2, v 3 zur Standardbasis des R 3 gegeben als A = Auch die Transformationsmatrix zwischen zwei beliebigen Basen des K n läßt sich mit den uns schon bekannten Techniken berechnen Angenommen wir haben zwei Basen v 1,, v n und w 1,, w n und wollen die Transformationsmatrix T von der Basis v 1,, v n zur Basis w 1,, w n berechnen Für jedes 1 i n suchen wir dann Skalare t ji K für 1 j n mit v i = n j=1 t jiw j Schreiben wir so wird v i = j=1 b 1i b ni und w j = a 1j a nj v n1 v nn für 1 j n a 11 t 1i + + a 1n t ni t ji w j = = A a n1 t 1i + + a nn t ni wobei A die n n-matrix ist deren Spalten die Vektoren w 1,, w n sind Zur Bestimmung der t ji für 1 j n müssen wir also das lineare Gleichungssystem At = v i lösen Dies gibt uns dann die i-te Spalte der Transformationsmatrix T und um ganz T zu berechnen müssen wir i = 1,, n durchgehen Es sind also gleich n viele lineare 20-3 t 1i t ni

4 Gleichungssysteme zu lösen Diese haben allerdings alle dieselbe Koeffizientenmatrix A was die Rechnung deutlich vereinfacht Man kann das lineare Gleichungssystem Ax = b für eine allgemeine rechte Seite b lösen und dann der Reihe nach b = v 1, b = v 2 und so weiter einsetzen Alternativ kann man die n linearen Gleichungssysteme simultan lösen, indem man das Gaußsche Eliminationsverfahren gleich mit allen rechten Seiten v 1,, v n rechnet, also mit einer erweiterten Koeffizientenmatrix (A B wobei B die n n-matrix ist deren Spalten die Vektoren v 1,, v n sind Die Rechnung beginnt dann dem Verfahren zur Bestimmung der inversen Matrix zu ähneln, und tatsächlich gibt es hier einen Zusammenhang den wir gleich besprechen werden Zunächst behandeln wir aber ein Beispiel und betrachten die folgenden beiden Basen des R 2 v 1 = ( 1 2 ( 3, v 2 = 5 und w 1 = ( 1 3 ( 7, w 2 = 1 Wir wollen die Transformationsmatrix T von der Basis v 1, v 2 zur Basis w 1, w 2 berechnen Wählen wir den Weg über die allgemeine Lösung des eben beschriebenen linearen Gleichungssystems, so wird also 1 7 b b b b 2 + 3b 1 y = 1 22 (3b 1 + b 2, x = (b 1 7y = 1 22 (22b 1 7(3b 1 + b 2 = 1 22 (b 1 7b 2 Einsetzen von b = v 1 gibt x = 13 22, y = 5 22 und von b = v 2 ergibt x = 19 11, y = 2 11 Die Transformationsmatrix T von v 1, v 2 nach w 1, w 2 ist damit T = 1 22 ( Wir kommen nun zur allgemeinen Situation zurück und behaupten das die Transformationsmatrix A immer invertierbar ist und ihre Inverse A 1 ist gerade die Transformationsmatrix in der anderen Richtung, also in der obigen Notation von der Basis w 1,, w n von V zur Basis v 1,, v n von V Satz 98 (Invertierbarkeit der Transformationsmatrix Seien V ein endlich erzeugter Vektorraum, v 1,, v n sowie w 1,, w n zwei Basen von V und bezeichne A K n n die Transformationsmatrix von der Basis v 1,, v n zur Basis w 1,, w n Dann ist A invertierbar und die Inverse A 1 ist die Transformationsmatrix von der Basis w 1,, w n zur Basis v 1,, v n 20-4

5 Beweis: Sei B die Transformationsmatrix von der Basis w = (w 1,, w n zur Basis v = (v 1,, v n Für jedes x K n gilt Ψ v (x = Ψ w (Ax = Ψ v (BAx, also BAx = x da Ψ v bijektiv ist Für jedes 1 i n ist die i-te Spalte von BA gleich dem Vektor BAe i = e i, also haben wir BA = 1 Analog folgt AB = 1 und damit ist A invertierbar mit A 1 = B Sei v 1,, v n wieder eine Basis des K n und bezeichne B die n n-matrix mit den Spalten v 1,, v n Wir haben uns bereits überlegt das B die Transformationsmatrix von v 1,, v n zur Standardbasis e 1,, e n des K n ist und nach dem Satz ist B invertierbar und B 1 ist die Transformationsmatrix von der Standardbasis e 1,, e n zur Basis v = (v 1,, v n Sei jetzt w = (w 1,, w n eine weitere Basis des K n und bezeichne A die n n-matrix mit den Spalten w 1,, w n Sei u K n und bezeichne x K n den Koordinatenvektor von u bezüglich der Basis v 1,, v n, dh u = Ψ v (x Nun ist u sein eigener Koordinatenvektor bezüglich der Standardbasis, es gilt also u = Bx da B die Transformationsmatrix von v 1,, v n zur Standardbasis ist Weiter ist A 1 die Transformationsmatrix von der Standardbasis zur Basis w, dh der Koordinatenvektor von u bezüglich w 1,, w n ist y = A 1 u = A 1 Bx Die Transformation von der Basis v 1,, v n zur Basis w 1,, w n wird also durch Multiplikation mit A 1 B bewirkt, dh die Transformationsmatrix von der Basis v 1,, v n zur Basis w 1,, w n ist A 1 B Will man diese Formel zur Berechnung der Transformationsmatrix verwenden, so müsste A invertiert werden und anschließend muss B an das Ergebnis heranmultipliziert werden Man kann diese beiden Schritte kombinieren indem wir wie oben das Gaußche Eliminationsverfahren mit einer vergrößerten erweiterten Koeffizientenmatrix rechnen Die Berechnung von T = A 1 B erfolgt dann genau wie die Berechnung von A 1 nur das wir auf der rechten Seite mit B und nicht mit der Einheitsmatrix starten Am Ende der Elimination steht dann links die Einheitsmatrix und rechts die Matrix A 1 B Dies gibt uns auch eine weitere Begründung der Korrektheit des Verfahrens zur Matrixinversion Wir wollen uns dies einmal am obigen Beispiel der beiden Basen v 1 = ( 1 2, v 2 = ( 3 5 und w 1 = ( 1 3 des R 2 anschauen In der obigen Matrixscheibweise wird ( ( A = und B = und damit rechnen wir, w 2 = (

6 und die Transformationsmatrix von der Basis v 1, v 2 zur Basis w 1, w 2 ergibt sich erneut als T = A 1 B = 1 ( Lineare Abbildungen Wir wollen jetzt einen der wichtigsten Begriffe der linearen Algebra behandeln, die sogenannten linearen Abbildungen Definiert haben wir diese bereits im vorigen Abschnitt im Zusammenhang mit den Koordinatenabbildungen Zum Beginn dieses Abschnitts schauen wir uns einige weitere Beispiele an Beachte für diese Beispiele das wir den Skalarenbereich K selbst als einen Vektorraum über K interpretieren können da die Körperaxiome aus 11 die Vektorraumaxiome umfassen 1 Die Abbildung f : R 3 R; x y z x + y + z ist linear Für alle x, y R 3, λ R gelten nämlich f(x + y = f und x 1 x 2 x 3 + y 1 y 2 y 3 = f x 1 + y 1 x 2 + y 2 x 3 + y 3 = (x 1 + y 1 + (x 2 + y 2 + (x 3 + y 3 = (x 1 + x 2 + x 3 + (y 1 + y 2 + y 3 f(λx = f λ x 1 x 2 x 3 = f λx 1 λx 2 λx 3 = λx 1 + λx 2 + λx 3 = f(x + f(y = λ (x 1 + x 2 + x 3 = λf(x Im nächsten Kapitel werden wir lineare Abbildungen f : K n K m etwas näher untersuchen 2 Seien n, m N mit n, m 1 und betrachte den Vektorraum V = K m n aller m n-matrizen über K Weiter seien 1 i m und 1 j n gegeben Dann ist die Abbildung φ ij : K m n K; 20-6 a 11 a 1n a m1 a mn a ij

7 die jeder Matrix ihren Eintrag in der j-ten Spalte der i-ten Zeile zuordnet linear Dies ist klar da wir die Addition von Matrizen und die Multiplikation von Skalaren mit Matrizen komponentenweise definiert haben 3 Sind n N mit n 1 und 1 i n gegeben, so ist die Abbildung φ i : K n K; x 1 x n x i die jedem Spaltenvektor seinen i-ten Eintrag zuordnet linear Dies ist gerade der Spezialfall des vorigen Beispiels für Matrizen mit nur einer Spalte 4 Sei M eine Menge und bezeichne V := K M den Vektorraum aller Funktionen von M nach K Weiter sei x M ein Element von M Dann ist die Abbildung ω x : V K; f f(x linear In der Tat, sind f, g V und λ K, so gelten ω x (f + g = (f + g(x = f(x + g(x = ω x (f + ω x (g und ω x (λf = (λf(x = λf(x = λω x (f 5 Ist V der Vektorraum aller konvergenten Folgen in K, so ist die Abbildung lim : V K; (a n n N lim n a n linear Dies ist gerade eine Umformulierung von 4Satz 6(a,b 6 Seien V, W zwei Vektorräume über K Sind dann f, g : V W zwei lineare Abbildungen, so behaupten wir das auch die Summe f + g : V W ; x f(x + g(x wieder linear ist Für alle x, y V und jedes λ K haben wir nämlich und (f + g(x + y = f(x + y + g(x + y = f(x + f(y + g(x + g(y = f(x + g(x + f(y + g(y = (f + g(x + (f + g(y (f + g(λx = f(λx + g(λx = λf(x + λg(x = λ(f(x + g(x = λ(f + g(x Ebenso ist für jeden Skalar µ K auch das Vielfache µf : V W ; x µf(x 20-7

8 wieder eine lineare Abbildung, denn für alle x, y V gilt (µf(x + y = µf(x + y = µ(f(x + f(y = µf(x + µf(y = (µf(x + (µf(y und für alle x V und jedes λ K haben wir ebenfalls (µf(λx = µf(λx = µ(λf(x = (µλf(x = (λµf(x = λ(µf(x = λ(µf(x 7 Sind U, V, W drei Vektorräume über K und f : V W, g : W U zwei lineare Abbildungen, so ist auch die Hintereinanderausführung g f : V U eine lineare Abbildung Sind nämlich x, y V und λ K, so haben wir (g f(x + y = g(f(x + y = g(f(x + f(y = g(f(x + g(f(y = (g f(x + (g f(y und (g f(λx = g(f(λx = g(λf(x = λg(f(x = λ (g f(x Wir starten jetzt mit der Auflistung einiger unmittelbar aus der Definition folgender Tatsachen über lineare Abbildungen Lemma 99 (Grundeigenschaften linearer Abbildungen Seien V, W zwei Vektorräume über K und f : V W eine lineare Abbildung Dann gelten: (a Es ist f(0 = 0 (b Das Bild Bild(f = {f(x x V } von V ist ein Untervektorraum von W (c Ist v 1,, v n ein Erzeugendensystem von V, so ist f(v 1,, f(v n ein Erzeugendensystem von Bild(f (d Ist V endlich erzeugt, so ist auch Bild(f endlich erzeugt mit dim Bild(f dim V (e Die Menge Kern(f := f 1 ({0} = {x V f(x = 0} ist ein Untervektorraum von V (f Genau dann ist die Abbildung f : V W injektiv wenn Kern(f = {0} ist Beweis: (a Es ist f(0 = f(0 + 0 = f(0 + f(0, also f(0 = 0 (b Nach (a ist 0 Bild(f Sind u, v Bild(f und λ K, so existieren x, y V mit f(x = u und f(y = v, also ist auch u + v = f(x + f(y = f(x + y Bild(f und λu = λf(x = f(λx Bild(f Damit ist Bild(f ein Untervektorraum von W 20-8

9 (c Sei u Bild(f Dann existiert ein v V mit u = f(v und da v 1,, v n ein Erzeugendensyszem von V ist, existieren weiter λ 1,, λ n K mit v = λ 1 v λ n v n Damit ist auch u = f(v = f(λ 1 v λ n v n = λ 1 f(v λ n f(v n Dies zeigt das f(v 1,, f(v n ein Erzeugendensystems des Bilds von f ist (d Klar nach (c und Korollar 7(a (e Nach (a ist 0 Kern(f Sind x, y Kern(f und λ K, so haben wir auch f(x + y = f(x + f(y = 0 und f(λx = λf(x = 0, also x + y Kern(f und λx Kern(f Damit ist Kern(f ein Untervektorraum von V (f = Klar nach (a = Seien x, y V mit f(x = f(y Dann ist auch f(x y = f(x f(y = 0, also x y Kern(f = {0}, und es folgt x = y Also ist f : V W injektiv Als letztes Ziel in diesem Kapitel wollen wir die sogenannten Dimensionsformeln der linearen Algebra behandeln Es gibt eine solche Formel für lineare Abbildungen und eine weitere für Untervektorräume Die Formel für Untervektorräume werden wir dabei auf diejenige für lineare Abbildungen zurückführen Als eine wichtige Folgerung der Dimensionsformel werden wir weiter einsehen, dass für eine lineare Abbildung f : V W zwischen endlich erzeugten Vektorräumen gleicher Dimension die Eigenschaften injektiv und surjektiv gleichwertig sind, dass also f genau dann injektiv ist wenn f surjektiv ist Zum Beweis der Dimensionsformel für lineare Abbildungen benötigen wir eine auch sonst oft wichtige Hilfsaussage über Untervektorräume Lemma 910 (Dimension von Untervektorräumen Seien V ein endlich erzeugter Vektorraum über K und U V ein Untervektorraum von V Dann ist auch U endlich erzeugt mit m := dim U dim V =: n und es gibt eine Basis v 1,, v n von V mit U = v 1,, v m Weiter ist genau dann dim U = dim V wenn U = V gilt Beweis: Nach Korollar 7(b ist für jedes System v 1,, v r linear unabhängiger Vektoren aus U stets r n Damit existiert ein System v 1,, v m linear unabhängiger Vektoren in U der maximal möglichen Länge m n Insbesondere sind diese Vektoren maximal linear unabhängig in U, also ist v 1,, v m nach Lemma 4 eine Basis von U Insbesondere ist U endlich erzeugt mit dim U = m n = dim V Nach Satz 6(c lassen sich die Vektoren v 1,, v m zu einer Basis v 1,, v n von V ergänzen, und für diese ergänzte Basis gilt U = v 1,, v m Im Fall dim U = dim V, also m = n, haben wir damit sogar U = v 1,, v n = V Damit ist jetzt möglich die schon angekündigte Dimensionsformel zu beweisen Satz 911 (Dimensionsformel für lineare Abbildungen Seien V, W zwei endlich erzeugte Vektorräume über K und f : V W eine lineare 20-9

10 Abbildung Dann gilt dim Bild(f + dim Kern(f = dim V Beweis: Nach Lemma 9(e und Lemma 10 existiert eine Basis v 1,, v n von V mit Kern(f = v 1,, v m wobei m = dim Kern(f und n = dim V sind Wir behaupten, dass die Vektoren f(v m+1,, f(v n eine Basis des Bilds von f sind Nach Lemma 9(c sind die Vektoren f(v 1,, f(v n ein Erzeugendensystem von Bild(f, und wegen f(v 1 = = f(v m = 0 ist auch f(v m+1,, f(v n ein Erzeugendensystem von Bild(f Es bleibt also nur noch die lineare Unabhängigkeit dieser Vektoren zu zeigen Seien hierzu λ m+1,, λ n K mit n i=m+1 λ if(v i = 0 gegeben Dann ist auch ( f λ i v i = λ i f(v i = 0, also i=m+1 i=m+1 i=m+1 λ i v i Kern(f = v 1,, v m und es existieren λ 1,, λ m K mit n i=m+1 λ iv i = m λ iv i, also auch n λ iv i = 0 Da die Vektoren v 1,, v n linear unabhängig sind, bedeutet dies λ 1 = = λ n = 0, also insbesondere λ m+1 = = λ n = 0 Damit sind die Vektoren f(v m+1,, f(v n linear unabhängig, und bilden somit eine Basis von Bild(f Es folgt und die Dimensionsformel ist bewiesen dim Bild(f = n m = dim V dim Kern(f Einen besonders wichtigen Spezialfall dieses Satz wollen wir gesondert hervorheben Korollar 912: Seien V ein endlich erzeugter Vektorraum über K und f : V K eine lineare Abbildung mit f 0 Dann gilt dim Kern(f = dim V 1 Beweis: Wegen f 0 existiert ein u V mit f(u 0 Für jedes c K ist damit auch ( c c f(u u V mit f f(u u = c f(u = c, f(u dh es gelten Bild(f = K und dim Bild(f = 1 Mit der Dimensionsformel Satz 11 folgt dim Kern(f = dim V dim Bild(f = dim V 1, 20-10

11 und das Korollar ist bewiesen Eine weitere wichtige Konsequenz der Dimensionsformel betrifft die schon angekündigte Aussage über lineare Abbildungen zwischen zwei endlich erzeugten Vektorräumen derselben Dimension, dass bei diesen die Begriffe injektiv und surjektiv gleichwertig sind Ist eine solche lineare Abbildung also injektiv oder surjektiv, so ist sie bereits bijektiv und man spricht von einem Isomorphismus im Sinne der folgenden Definition Definition 911 (Isomorphismen von Vektorräumen Seien V, W zwei Vektorräume über K Ein Isomorphismus von V nach W ist eine bijektive lineare Abbildung f : V W Weiter nennen wir die Vektorräume V und W isomorph, geschrieben als V W, wenn es einen Isomorphismus von V nach W gibt Zur Verwendung im folgenden Beweis wollen wir zunächst auf einen kleinen Randfall des Dimensionsbegriffs explizit hinweisen Ist V ein endlich erzeugter Vektorraum über K so ist genau dann dim V = 0 wenn V eine aus n = 0 Vektoren bestehende Basis hat, wenn also V = {0} ist Korollar 913: Seien V, W zwei endlich erzeugte Vektorräume über K mit dim V = dim W und sei f : V W eine lineare Abbildung Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (a Die Abbildung f ist ein Isomorphismus (b Die Abbildung f ist surjektiv (c Die Abbildung f ist injektiv Beweis: Es reicht die Äquivalenz von (b und (c zu zeigen Nach Satz 11 gilt dim Kern(f = dim V dim Bild(f, also bestehen nach Lemma 9(f und Lemma 10 die Äquivalenzen f ist injektiv Kern(f = {0} dim Kern(f = 0 dim V = dim Bild(f dim W = dim Bild(f W = Bild(f f ist surjektiv, und damit ist alles gezeigt 20-11

12 Wir kennen bereits einige Beispiele von Isomorphismen, nur dass wir diese bisher nicht so genannt haben Ist etwa v 1,, v n eine Basis von V, so ist die Koordinatenabbildung Ψ : K n V ; x x i v i bijektiv und linear, also ein Isomorphismus An diesem Beispiel kann man schön sehen, dass Isomorphismen im wesentlichen ein Übersetzungsmechanismus sind Wollen wir irgendetwas im Vektorraum V untersuchen, so können wir dies entweder in V selbst tun, oder alles in Termen der Koordinaten bezüglich der Basis v 1,, v n rechnen Beide Sichtweisen sind völlig gleichwertig und der Isomorphismus Ψ stellt die Übersetzung zwischen ihnen her Isomorphe Vektorräume sind also im wesentlichen gleich, und ein Isomorphismus beschreibt in welchem Sinne sie gleich sind Wir wollen auch noch ein etwas komplizierteres Beispiel eines Isomorphismus besprechen Bei unserer Untersuchung von Reihen in 5 hatten wir den Reihenbegriff über den Begriff der Partialsummen wieder auf Folgen zurückgeführt Wir können uns das Bilden der Partialsummen also als eine Übersetzung zwischen Folgen und Reihen vorstellen, und dies ist in Wahrheit ein Beispiel eines Isomorphismus von Vektorräumen Sei hierzu K {R, C} und betrachte den Vektorraum V := K N aller Folgen in K Einen eigenen Reihenvektorraum führen wir nicht ein, wir denken uns die Reihe n=0 a n als die Folge (a n n N ihrer Summanden Die Partialsummen sind dann die Abbildung ( Σ : V V ; (a n n N a k die jede Reihe auf die Folge ihrer Partialsummen abbildet Sind (a n n N, (b n n N zwei Folgen über K und c K eine Konstante, so sind ( Σ ((a n n N + (b n n N = Σ ((a n + b n n N = (a k + b k ( = a k k=0 n N und ( Σ (c (a n n N = Σ ((ca n n N = ca k k=0 k=0 k=0 ( + b k k=0 n N n N n N, n N ( = c a k = Σ ((a n n N + Σ ((b n n N k=0 n N = c Σ ((a n n N, die Abbildung Σ ist also linear Weiter ist Σ auch bijektiv, die Umkehrfunktion : V V von Σ ist die Differenzenabbildung, die jede Folge (a n n N auf die Differenzenfolge (a n n N definiert duch { a a n a n 1, n 1, n := a 0, n =

13 für jedes n N abbildet Um dies zu zeigen, müssen wir nach 2Lemma 2 nur zeigen das Σ = Σ = id V gelten Dies können wir einfach nachrechnen, ist (a n n N eine Folge in K und (a n n N die zugehörige Differenzenfolge, so haben wir ( Σ ( ((a n n N = Σ ((a n n N = a 0 + (a k a k 1 = (a n n N, und ist andererseits (s n n N die Folge der Partialsummen der Reihe n=0 a n und (s n n N deren Differenzenfolge, so sind s 0 = s 0 = a 0 und s n = s n s n 1 = a n für jedes n N mit n 1, also k=1 n N (Σ ((a n n N = ((s n n N = (s n n N = (a n n N Damit ist Σ bijektiv und somit ein Isomorphismus von Vektorräumen Nach diesen Beispielen kommen wir nun zu einem allgemeinen Satz über das Verhalten von Basen und Dimension unter Isomorphismen Lemma 914 (Grundeigenschaften von Isomorphismen Seien V, W zwei Vektorräume über K und f : V W eine lineare Abbildung (a Ist f ein Isomorphismus, so ist auch die Umkehrabbildung f 1 Isomorphismus : W V ein (b Sei v 1,, v n eine Basis von V Dann ist f genau dann ein Isomorphismus wenn f(v 1,, f(v n eine Basis von W ist Insbesondere ist dann auch W endlich erzeugt mit dim V = dim W Beweis: (a Es ist nur zu zeigen, dass f 1 : W V wieder eine lineare Abbildung ist Seien also x, y W und λ K gegeben Dann ist f 1 (x+y = f 1 (f(f 1 (x+f(f 1 (y = f 1 (f(f 1 (x+f 1 (y = f 1 (x+f 1 (y und f 1 (λx = f 1 (λf(f 1 (x = f 1 (f(λf 1 (x = λf 1 (x, und damit ist f 1 eine lineare Abbildung (b Die zweite Aussage ist eine unmittelbare Folgerung der ersten Aussage, es reicht also letztere zu beweisen = Sei also f ein Isomorphismus Nach Lemma 9(c ist f(v 1,, f(v n ein Erzeugendensystem von Bild(f = W, es ist also nur noch zu zeigen, dass diese Vektoren auch linear unabhängig sind Hierzu seien λ 1,, λ n K mit n λ if(v i = 0 gegeben Dann ist auch ( f λ i v i = λ i f(v i = 0 = f(

14 nach Lemma 9(a, also ist auch n λ iv i = 0 Da die Vektoren v 1,, v n linear unabhängig sind, folgt λ 1 = = λ n = 0 Damit sind auch f(v 1,, f(v n in W linear unabhängig = Nun nehmen wir an, dass die Vektoren f(v 1,, f(v n eine Basis von W bilden Nach Lemma 9(c ist dann Bild(f = f(v 1,, f(v n = W, dh f : V W ist zumindest surjektiv Nun sei v Kern(f ein Vektor im Kern von f, also f(v = 0 Es gibt λ 1,, λ n K mit v = n λ iv i Wegen ( λ i f(v i = f λ i v i = f(v = 0, ergibt die lineare Unabhängigkeit von f(v 1,, f(v n auch λ 1 = = λ n = 0, also v = n λ iv i = 0 Dies zeigt Kern(f = {0} und nach Lemma 9(f ist f auch injektiv Insgesamt ist f damit bijektiv, also ein Isomorphismus Damit ist beispielsweise auch die obige Differenzenabbildung : K N K N als Umkehrabbildung eines Isomorphismus selbst ein Isomorphismus Als ein wichtiges Korollar des Lemmas ergibt sich weiter das die endlich erzeugten Vektorräume über K bis auf Isomorphie genau die Spaltenvektorräume K n sind Satz 915 (Klassifikation der endlich erzeugten Vektorräume Seien V, W zwei endlich erzeugte Vektorräume über K (a Ist n := dim V so ist V K n (b Genau dann gilt V W wenn dim V = dim W ist Beweis: (a Nach Definition der Dimension von V gibt es eine Basis v = (v 1,, v n von V und damit ist die Koordinatenabbildung Ψ v : K n V ein Isomorphismus, dh wir haben V K n (b = Dies gilt nach Lemma 14(b = Setze n := dim V = dim W Nach (a sind dann V K n und W K n, es gibt also Isomorphismen ϕ : V K n und ψ : W K n Nach Lemma 14(a ist dann auch ψ 1 : K n W ein Isomorphismus, also ist ψ 1 ϕ : V W linear und nach 2Lemma 4 auch bijektiv und somit ein Isomorphismus Dies zeigt V W Damit kommen wir schließlich zur Dimensionsformel für Untervektorräume Angenommen wir haben einen Vektorraum V über K und zwei Untervektorräume U, W V Dann sind U und W selbst Vektorräume über K und wir können das direkte Produkt U W dieser beiden Vektorräume bilden Weiter haben wir dann eine Abbildung f : U W V ; (u, w u + w 20-14

15 und behaupten das diese linear ist Für alle u, u U, w, w W und jedes λ K haben wir nämlich und f ( (u, w + (u, w = f(u + u, w + w = u + u + w + w = u + w + u + w = f(u, w + f(u, w f ( λ (u, w = f(λu, λw = λu + λw = λ(u + w = λ f(u, w Damit ist f tatsächlich eine lineare Abbildung Wir wollen jetzt Kern und Bild von f bestimmen, wobei sich das Bild sofort als Bild(f = f(u W = {f(u, w u U, w W } = {u + w u U, w W } = U + W ergibt Der Kern von f ist etwas komplizierter, zunächst ist Kern(f = {(u, w U W f(u, w = 0} = {(u, w U W u + w = 0}, ist also (u, w Kern(f so ist u = w U W und (u, w = (u, u Umgekehrt ist für jedes u U W auch (u, u Kern(f, also insgesamt Kern(f = {(u, u u U W } Damit ist der Kern von f im wesentlichen der Durchschnitt U W, genauer ist Kern(f U V da die Abbildung g : Kern(f U W ; (u, w u offenbar linear und bijektiv also ein Isomorphismus ist Mit dieser Beobachtung können wir jetzt die angekündigte Dimensionsformel beweisen Satz 916 (Dimensionsformel für Untervektorräume Seien V ein endlich erzeugter Vektorraum über K und U, W V zwei Untervektorräume von V Dann gilt dim(u + W + dim(u W = dim U + dim W Beweis: Nach Lemma 10 sind auch U und W endlich erzeugt, und damit ist auch das direkte Produkt U W endlich erzeugt Somit ist die Dimensionsformel Satz 11 auf die lineare Abbildung f : U W V ; (u, w u + w anwendbar und liefert dim U + dim W = dim(u W = dim Bild(f + dim Kern(f Wir haben bereits Bild(f = U + W und Kern(f U W eingesehen, also ist dim Bild(f = dim(u +W und Lemma 14(b ergibt auch dim Kern(f = dim(u W Damit haben wir dim U + dim W = dim Bild(f + dim Kern(f = dim(u + W + dim(u W eingesehen 20-15

16 10 Der Vektorraum K n Wir haben bereits gezeigt das je zwei endlich erzeugte Vektorräume über K {R, C} genau dann isomorph sind, wenn sie dieselbe Dimension haben und das ein beliebiger n-dimensionaler Vektorraum V über K isomorph zum Vektorraum K n der Spaltenvektoren mit n Einträgen ist In gewissen Sinne ist der K n damit der allgemeine n-dimensionale Vektorraum über K Eine besondere Bedeutung hat natürlich der R 3 zur Beschreibung des gewöhnlichen Raums Aber auch der R n für andere Werte von n spielt oftmals eine Rolle bei der Beschreibung räumlicher Vorgänge Will man beispielsweise den vollständigen Zustand eines sich bewegenden Massepunktes beschreiben, so brauchen wir sowohl drei Koordinaten zur Beschreibung seiner Position als auch drei Koordinaten für seinen Geschwindigkeitsvektor, insgesamt hat man dann einen Vektor im R Affine Teilräume des K n Wir beginnen mit der Definition der üblichen geometrischen Objekte, wie Geraden und Ebenen Wie wir sehen werden könnte man diese auf exakt dieselbe Weise auch in einem allgemeinen Vektorraum definieren, wir wollen uns hier aber auf den Spezialfall des Vektorraums K n beschränken Als Startpunkt behandeln wir Ursprungsgeraden im K n, also Geraden die durch den Nullpunkt gehen Eine solche Gerade l ist durch einen von Null verschiedenen Richtungsvektor v K n \{0} bestimmt, und die Gerade l besteht dann gerade aus den Vielfachen von v, also l = {tv t K} = v In anderen Worten sind die Ursprungsgeraden genau die eindimensionalen Untervektorräume des K n Für Ebenen e durch den Ursprung erhalten wir ein ähnliches Ergebis, solche Mengen werden von zwei linear unabhängigen Richtungsvektoren u, v aufgespannt e = {tu + sv t, s K} = u, v, es handelt sich also genau um die zweidimensionalen Untervektorräume des K n Allgemeine Geraden beziehungsweise Ebenen erhalten wir durch Verschieben der Ursprungsgeraden beziehungsweise Ebenen Die entstehenden Teilmengen des K n sind die sogenannten affinen Teilräume eines Vektorraums Definition 101 (Affine Teilräume eines Vektorraums Sei V ein Vektorraum über K Eine Teilmenge A V heißt ein affiner Teilraum von V, wenn A = ist oder es einen Vektor v V und einen Teilraum U V von V mit gibt A = v + U = {v + u u U} 20-16