Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7

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1 Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7 Timo Stöcker Erstsemestereinführung Informatik TU Dortmund 22. März 2011

2 Heute Themen Lineare Gleichungssysteme Matrizen Timo Stöcker 2

3 Lineare Gleichungssysteme Definition Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Variablen hat die Form: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Die a ij heißen Koeffizienten und die b i heißen rechte Seiten.. Timo Stöcker 3

4 Lineare Gleichungssysteme Hinweis Wir benutzen hauptsächlich a ij, b i R. Prinzipiell sind aber a ij, b i K für beliebige Körper K möglich. Definition Sind alle rechten Seiten im linearen Gleichungssystem gleich 0, dann heißt das Lineare Gleichungssystem homogen. Eine Lösung eines homogenen linearen Gleichungssystems ist klar: Setze alle x i := 0. Allgemein: Finde eine/alle möglichen Lösungen eines gegebenen linearen Gleichungssystems. Timo Stöcker 4

5 Gute Form eines linearen Gleichungssystems Ziel Ändere die Form des linearen Gleichungssystems ab ohne die Lösungsmenge zu ändern, so dass man die Lösung leicht ablesen kann. Beispiel x + y + z = 100 5y + 15z = 500 8z = 200 Von unten nach ob kommt in jeder Gleichung eine Variable hinzu. Lösungen lassen sich leicht von unten nach oben durch Rückwärtseinsetzen bestimmen: z = 25 y = 25 x = 50. Timo Stöcker 5

6 Lösungsstrategie Wie findet man die Lösungen? Gleichsetzen: Bringe zwei Gleichungen in die Form x i = 0 und setze sie gleich. Einsetzen: Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf und setze sie dann in eine andere Gleichung ein. Addieren: Multipliziere zwei Gleichungen mit reellen Zahlen, so dass sich beim Addieren der Gleichungen eine Variable aufhebt. Problem: Wie kann man diese Umformungen systematisch anwenden? Timo Stöcker 6

7 Zeilenstufenform Idee Bringe das lineare Gleichungssystem auf die Form des ersten Beispiels und bestimme die Lösungen durch Rückwärtseinsetzen. Definition Ist ein lineares Gleichungssystem gegeben, in dem bei Betrachtung von unten nach oben in jeder Zeile mindestens eine Variable dazu kommt, so heißt das lineare Gleichungssystem gestaffelt oder in Zeilenstufenform. Timo Stöcker 7

8 Umformungen Die folgenden Umformungen kann man systematisch anwenden, um ein beliebiges lineares Gleichungssystem auf Zeilenstufenform zu bringen: Satz Die folgenden drei elementaren Umformungen ändern die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystem nicht. Vertauschen von zwei Gleichungen, Multiplikation einer Gleichung mit einem r R, r 0, Addition einer mit r R multiplizierten Gleichung zu einer anderen. Timo Stöcker 8

9 Gauß-Algorithmus 1 Vertausche zwei Zeilen, so dass die erste Unbekannte in der ersten Gleichung auftaucht (falls notwendig). Die erste Zeile heißt nun Pivotzeile und die erste Variable Pivotelement. 2 Addiere ein Vielfaches der Pivotzeile zu den Zeilen darunter. Wähle für jede Addition das Vielfache so, dass sich das Pivotelement bei der Addition aufhebt. 3 Wähle nun als neue Pivotzeile die Gleichung unter der bisherigen Pivotzeile. Gibt es keine Gleichung unter der bisherigen Pivotzeile, dann Stoppe. 4 Neues Pivotelement wird nun die Variable, die nach dem bisherigen Pivotelement kommt. Ist diese Variable in der Zeile nicht vorhanden, vertausche zwei Zeilen passend. 5 Gehe zu Schritt 2. Timo Stöcker 9

10 Beispiel Teil 1 2x 1 x 2 + x 3 x 4 + x 5 = 0 2x 1 2x 2 x 3 2x 4 + x 5 = 7 2x 1 + x 2 2x 3 x 4 + 2x 5 = 7 4x 1 2x 2 + x 3 x 4 x 5 = 2 2x 1 x 2 x 3 + x 4 + x 5 = 2 2x 1 x 2 + x 3 x 4 + x 5 = 0 x 2 2x 3 x 4 = 7 x 3 2x 4 + 3x 5 = 7 x 3 + x 4 3x 5 = 2 2x 3 + 2x 4 = 2 Timo Stöcker 10

11 Beispiel Teil 2 2x 1 x 2 + x 3 x 4 + x 5 = 0 x 2 2x 3 x 4 = 7 x 3 2x 4 + 3x 5 = 7 3x 4 6x 5 = 9 6x 4 6x 5 = 12 2x 1 x 2 + x 3 x 4 + x 5 = 0 x 2 2x 3 x 4 = 7 x 3 2x 4 + 3x 5 = 7 3x 4 6x 5 = 9 6x 5 = 6 Timo Stöcker 11

12 Beispiel Teil 3 Ergebnis Rückwärtseinsetzen liefert nun: x 5 = 1 x 4 = 1 x 3 = 2 x 2 = 2 x 1 = 1 Timo Stöcker 12

13 Kurzschreibweise Beobachtung Alle Umformungen im Gauß-Algorithmus passieren mit den Koeffizienten und nicht mit den Variablen. Folgerung Man lässt daher die Variablen häufig weg, um sich Schreibarbeit zu sparen. In der Kurzschreibweise wird die rechte Seite mit einem senkrechten Strich abgetrennt. Die Umformungen macht man dann ganz analog. Tipp Die Umformungen immer dokumentieren, das erleichtert das Überprüfen der Rechnung bei der Fehlersuche. Timo Stöcker 13

14 Beispiel Teil 4 Abkürzung des vorigen Beispiels Timo Stöcker 14

15 Über- und Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme Bemerkung Das lineare Gleichungssystem kann auch mehr (überbestimmt) oder weniger (unterbestimmt) Gleichungen als Unbekannte haben. Es ist möglich, dass sich Zeilen komplett aufheben. Dann kann nicht mehr jede Variable eindeutig bestimmt werden. Es ist möglich, dass Zeilen Widersprüche ergeben. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Timo Stöcker 15

16 Beispiel Anderer Grundkörper Grundkörper Z 5 := {0, 1, 2, 3, 4} I. zu II II. zu III Rückwärtseinsetzen: x 3 = 0, x 2 = 3, x 1 = 4 Probe = 20 mod 5 = = 17 mod 5 = = 3 mod 5 = 3 Timo Stöcker 16

17 Matrix Definition Seien m, n N und a ij K gegeben. Ein Schema der Form a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn heißt Matrix, genauer m n-matrix über K. m ist dabei die Anzahl der Zeilen und n die Anzahl der Spalten. Die Menge aller Matrizen über K wird mit K m n bezeichnet. Timo Stöcker 17

18 Matrizenrechnung Definition Seien m, n N und A, B K m n. Der Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte bezeichnen wir mit A ij. Dann definiere folgende Operationen: Addition: +: K m n K m n K m n, (A + B) ij := A ij + B ij Skalare Multiplikation: : K K m n K m n, (α A) ij := αa ij Beispiel: K = R, m = 2, n = 3 ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = Timo Stöcker 18

19 Matrizenrechnung und lineare Gleichungssysteme Das lineare Gleichungssystem a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m können wir nun wie folgt schreiben: a 11 a 12 a 21 x 1. + x a x a 2n n. = b 2. a m1 a m2 a mn b n. a 1n b 1 Timo Stöcker 19

20 Matrizenrechnung und lineare Gleichungssysteme Definition Es seien l, m, n N und A K m n, B K n l. Dann ist das Produkt A B K m l wie folgt definiert: n (A B) ij := A i1 B 1j + A i2 B 2j + + A in B nj = A ik B kj Lineares Gleichungssystem noch kompakter a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n. x 2. = b 2. a m1 a m2 a mn x n b n k=0 Timo Stöcker 20

21 Beispiele ( 1 2 ) ( 1 2 ) = ( ) ( 1) = ( 1) = ( 0 2 ) ( ) 0 3 Timo Stöcker 21

22 Eigenschaften Satz Distributivgesetz der Matrizenrechnung Sind A K m n und B, C K n l, dann gilt Einheitsmatrix Die Matrix A (B + C) = A B + A C E n := Kn n ist das neutrale Element der Matrizenmultiplikation. Timo Stöcker 22

23 Eigenschaften Satz Die Matrizenmultiplikation von n n-matrizen für n 2 ist nicht kommutativ. Gegenbeispiel umgekehrt jedoch ( ) ( ) ( ) 0 1 = 0 0 ( ) 1 0 = 0 0 ( ) ( ) Timo Stöcker 23

24 Transponieren Definition Zu einer Matrix A K m n definieren wir die transponierte Matrix A K n m durch: A ij = A ji Beispiel ( ) = Timo Stöcker 24

25 Eigenschaften Spalten- und Zeilenvektor Fasst man einen Spaltenvektor v als Element von K n 1 auf, dann ist der zugehörige Zeilenvektor gerade v. Beispiel v 1 v 2 = ( v 1 v 2 ) v 3 v 3 Satz Es gilt: (A ) = A und (A B) = B A. Timo Stöcker 25

26 Zusammenfassung Themen Lineare Gleichungssysteme Matrizen Timo Stöcker 26