HM II Tutorium 5. Lucas Kunz. 22. Mai 2018

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1 HM II Tutorium 5 Lucas Kunz 22. Mai 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Theorie Wiederholung Lineare Gleichungsysteme Wiederholung: Kern einer Abbildung Wiederholung: Bild einer Abbildung Matrizen Matrix-Addition Matrix-Multiplikation Theorie über das Tutorium hinaus Wiederholung: Inverse Matrizen Wiederholung: Rangsatz Aufgaben Aufgabe Aufgabe

2 1 Theorie 1.1 Wiederholung Lineare Gleichungsysteme Ein lineares Gleichungssystem (LGS) der Art A x = b ist genau dann lösbar, falls rg(a) = rg(a b). (1.1) Es ist eindeutig lösbar, wenn dieser Rang dem Höchstrang (k in Gleichung 2.5) entspricht. Zur Lösung versucht man, mit dem Gauß-Algorithmus die Koeffizientenmatrix A auf Zeilenstufen- (ZSF) oder Zeilennormalform (ZNF) zu bringen. Die folgende Gleichung zeigt je ein Beispiel für eine Matrix in ZNF und ZSF: ZSF: B = ZNF: C = Zeilenstufenform meint, dass unterhalb der Hauptdiagonalen nur noch die Zahl 0 steht. Zeilennormalform hingegen bedeutet weiterhin, dass auf der Diagonalen selbst nur 1 (oder 0) stehen darf und oberhalb jeder 1 auf der Diagonalen nur Nullen. Aus der Zeilenstufenform lässt sich im Falle eines homogenen Gleichungssystems sehr leicht die Lösungsmenge ablesen: 4 C x = 0 x lin. Dies ergibt sich aus dem (-1)-Trick. Hat man eine Matrix in ZNF, so besteht die Lösung des homogenen Systems aus der linearen Hülle aller Spalten, die keine 1 sondern eine 0 auf der Hauptdiagonalen stehen haben, wenn man diese 0 durch -1 austauscht. Eine solche Lösung eines homogenen Gleichungssystems, die vom Nullvektor verschieden ist, heißt nichttriviale Lösung, das System ist dementsprechend nichttrivial lösbar. Formt man die Koeffizientenmatrix A auf ZNF um, dann erhält man das neue System A x = b. Die Lösbarkeit dessen stellt man wie bereits vor der Umformung fest, denn 17 1 rg(a) = rg(a ) und rg(a b) = rg(a b ). (1.2) Die Dimension der Lösungsmenge eines solchen Systems ergibt sich als die Differenz zwischen tatsächlichem Rang von A und möglichem Höchstrang einer Matrix der Größe von A. Ist z.b. A K 3 3, so ist der Höchstrang k = 3. Ist nun aber rg(a) = rg(a b) = 2, so hat der Lösungsraum die Dimension 1, ist also anschaulich eine Gerade. Dimension 0 bedeutet eindeutige Lösbarkeit und entspricht einem exakten Punkt. Um eine Matrix auf ZSF oder ZNF zu bringen, gibt es drei erlaubte Umformungen: 1. Addieren von Zeilen aufeinander. 2. Multiplizieren von Zeilen mit Skalaren aus K. 3. Vertauschen von Zeilen. Diese Umformungen verändern weder den Rang, noch die Lösung des Systems. Zu beachten ist, dass dabei auch immer der rechte Teil des gemeinsamen Systems (A b), also der Vektor b, entsprechend mit umgeformt werden muss. 2

3 1.2 Wiederholung: Kern einer Abbildung Der Kern einer linearen Abbildung (bzw. ihrer Abbildungsmatrix) beschreibt die Menge aller Vektoren im Definitionsbereich, die durch die Abbildung auf den Nullvektor abgebildet werden. Es ist dementsprechend für eine lineare Abbildung g : C n C m Kern(g) = {x C n g(x) = 0}. (1.3) 1.3 Wiederholung: Bild einer Abbildung Das Bild einer linearen Abbildung (bzw. ihrer Abbildungsmatrix) ist die Menge der Elemente, in die sie abbildet. Im Falle einer wie eben bereits verwendeten Funktion g : C n C m ist dies 1.4 Matrizen Bild(g) = {y C m x C n : g(x) = y}. (1.4) Matrizen sind Elemente eines besonderen Vektorraums. Sei K ein Körper, dann ist eine n m-matrix ein Element aus dem K n m. Anschaulich gesprochen ist eine Matrix also eine Tabelle oder ein Gitter aus n Zeilen und m Spalten, wobei in jedem der Felder ein Eintrag aus dem zugrundeliegenden Körper K steht. Damit dieser spezielle Raum die in Tutorium 1 definierten Eigenschaften eines Vektorraums erfüllt, müssen Multiplikation und Addition auf ganz bestimmte Weise definiert sein. Weiterhin bedarf es eines neutralen Elements der Multiplikation und der Addition. Diese sind einfach gefunden: := und I := (1.5) Das neutrale Element der Addition ist eine Matrix, in der in allen Komponenten nur Nullen stehen. Das neutrale Element der Multiplikation, auch Einheitsmatrix genannt, existiert nur in quadratischer Form, also für den Fall n = m. Auf der Diagonale stehen jeweils Einser, überall sonst Nullen. Für die Einheitsmatrix existieren verschiedene Schreibweisen, darunter auch 1. Manchmal verwendet man auch die Schreibweise I (n) oder 1 (n) um anzudeuten, dass es sich um die n n-einheitsmatrix handelt Matrix-Addition Die Art der Definition der Nullmatrix lässt bereits vermuten, auf welche Weise die Addition von Matrizen definiert ist: Es seien A, B K n m, also haben beide Matrizen die gleiche Anzahl an Zeilen und an Spalten. Die Summe wird Komponentenweise ausgeführt, also werden die Elemente links oben addiert usw. Beispiel: A := ( ) ; B := ( ) A + B = (1.6) Die Multiplikation mit Skalaren aus K ist ebenso komponentenweise definiert, sodass 2 A = A + A ist, wie man es von anderen Vektorräumen her auch gewohnt ist. 3

4 1.4.2 Matrix-Multiplikation Die Multiplikation zweier Matrizen ist etwas komplizierter zu definieren. Außerdem ist sie wie die Addition von der Größe der beiden Matrizen abhängig, die man multiplizieren möchte. Es sei hierzu A K n m und B K m p. Die Zahl der Spalten von A und der Zeilen von B ist also identisch. Nur wenn diese Voraussetzung gegeben ist, kann man ein Produkt C := A B definieren. Das Element in der n-ten Zeile und p-ten Spalte von C, kurz auch geschrieben als C np, berechnet sich dabei mehr oder weniger als Skalarprodukt der n-ten Zeile von A mit der p-ten Spalte von B, nur dass keiner der beteiligten Vektoren komplex konjugiert wird. In Summenschreibweise ergibt sich folgende Definition: C np = m A nj B jp. (1.7) j=1 Anhand eines Beispiels wird dieser Sachverhalt vermutlich klarer. Es seien hierzu A := und B := (1.8) Das Produkt dieser beiden Matrizen ist also wohl definiert, da die Zahl der Spalten von A und der Zeilen von B jeweils 3 ist. Wegen Gleichung 1.7 gilt: A B = (1.9) =. (1.10) Die Eigenschaften des Matrixprodukts stehen wie erwartet im Einklang mit den Vektorraum- Axiomen (siehe Tutorium 1). Die wichtigsten drei sind die folgenden: Es ist assoziativ, also A (B C) = (A B) C. Es ist distributiv, also gilt (αa+βb) C = α A C+β B C und ebenso A (αb+βc) = α A B + β A C für beliebige α, β K. Es ist im Allgemeinen nicht kommutativ, A B B A, selbst wenn beide Multiplikationen definiert sind. Matrizen lassen sich nicht nur untereinander und mit Skalaren aus K multiplizieren, sondern auch mit Vektoren. Eine derartige Multiplikation gehorcht den selben Regeln wie jene von zwei Matrizen, da ein Vektor auch nur eine spezielle Matrix ist. Jeder Spaltenvektor der Größe n ist eine n 1-Matrix, jeder Zeilenvektor eine 1 n-matrix. Alle Regeln der Matrix-Multiplikation lassen sich durch diese Auffassung auch auf Vektoren anwenden. Das Matrix-Vektor-Produkt hat daher die folgenden Eigenschaften: Distributivität: A (x + y) = A x + A x und (A + B) x = a x + B x. Assoziativität: (αa) x = α (A x) = A (αx). Diese Regeln gelten für alle A, B K n m, x, y K m (Spaltenvektoren) und α K. Ebenso lässt sich auch ein Produkt eines Zeilenvektors x T (sogenannter transponierter Vektor) mit einer Matrix definieren, welches genau den selben Regeln gehorcht. 4

5 2 Theorie über das Tutorium hinaus 2.1 Wiederholung: Inverse Matrizen Eine Inversion ist nur mit quadratischen Matrizen möglich. Sei also A K n n, dann ist A 1 die Inverse von A mit der Eigenschaft, dass A A 1 = A 1 A = I (Einheitsmatrix). (2.1) Man errechnet diese Inverse mit dem Gauß-Jordan Algorithmus, indem man ein LGS umformt: A I Umformungen I C ; C = A 1. Bei 2 2-Matritzen gibt es eine einfache Formel zur Invertierung: a b A = R 2 2 A 1 1 d b =. (2.2) c d ad cb c a 2.2 Wiederholung: Rangsatz Sei A K n m eine Matrix, dann gibt es eine lineare Abbildung f : K m K n, deren Abbildungsmatrix A ist. Weiterhin gilt: m = dim Kern(A) + dim Bild(A). (2.3) Wie bereits bekannt ist gilt Kern(A) = Kern(f) und Bild(A) = Bild(f). Weiterhin lässt sich eine neue Größe definieren, der Rang: rg(a) = dim Bild(A). (2.4) Der Rang einer Menge an Vektoren entspricht der Dimension ihrer linearen Hülle, also der maximalen Anzahl an linear unabhängigen Elementen der Menge. Im Falle einer Matrix ist der Rang also die Maximalzahl der linear unabhängigen Zeilen (Zeilenrang) oder Spalten (Spaltenrang). Ist A eine Matrix über einem Körper K (wie in der gesamten HM I und II), so stimmen Spalten- und Zeilenrang überein. Für den Wert des Rangs gilt 1 rg(a) k ; k = min{n, m}. (2.5) Der Fall rg(a) = 0 tritt nur auf, wenn die Matrix A nur aus Nullen besteht, also falls f 0 gleich der Nullfunktion ist. 3 Aufgaben Die Musterlösungen der Tutoriumsaufgaben 25, 26, 28 und 29 finden sich nach Ablauf der zugehörigen Semesterwoche auf der Internetseite der Vorlesung unter kit.edu/iana1/lehre/hm2phys2018s/. Zu ersteren beiden können einige ausführlichere Kommentare zu den genutzten Umformen hilfreich sein. Selbige finden sich im Folgenden. 5

6 3.1 Aufgabe 25 Gesucht wurde die Lösung des folgenden komplexen Gleichungssystems: i 3 + i 2 i i 2 i i ( 1) ( 2) i i i 1 i i Aus dieser Dreiecksform lesen wir ab: (1 + i) z 3 = 1 i z 3 = 1 i (1 i)2 = = 1 2i 1 = i 1 + i 2 2 z z 3 = 1 z 2 = 1 2 z 3 = 1 + 2i z 1 + (1 + i) z z 3 = 0 z 1 = (1 + i) z 2 2 z 3 = (1 + i)( 1 + 2i) + 2i = 3 + i. 3.2 Aufgabe 26 Gesucht wird die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems: ( 6) ( 8) Aus dieser Dreiecksform lesen wir ab: 4 x 3 = 0 x 3 = 0 x 1 + x 3 = 3 10 z 1 = 3 10 x 3 = x 1 + x x 3 = 1 x 2 = 1 2 x 1 3 x 3 = 1 2 ( 1) + : ( 10) =