Mischungsverhältnisse: Nehmen wir an, es stehen zwei Substanzen (zum Beispiel Flüssigkeiten) mit spezifischen Gewicht a = 2 kg/l bzw.

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1 Kapitel 5 Lineare Algebra 5 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Man begegnet Systemen von linearen Gleichungen in sehr vielen verschiedenen Zusammenhängen, etwa bei Mischungsverhältnissen von Substanzen oder bei der Bestimmung von Preisen mit zusätzlichen Nebenbedingungen, aber auch in der analytischen Geometrie Hier drei Beispiele dafür: Mischungsverhältnisse: Nehmen wir an, es stehen zwei Substanzen (zum Beispiel Flüssigkeiten) mit spezifischen Gewicht a = 2 kg/l bzw b = kg/l zur 2 Verfügung Gesucht sei eine Mischung aus beiden Substanzen von vorgegebenem Gesamtvolumen V = 00 l und Gesamtgewicht G = 0 kg Bezeichnet man den Volumenanteil der ersten Substanz mit x und den der zweiten Substanz mit y, so führt diese Frage auf das folgende lineare Gleichungssystem in x und y: x+y = 00 2x+ y = 0 2 Dies Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung, nämlich x = 40 und y = 60 Das gesuchte Mischungsverhältnis beträgt also x : y = 4 : 6 Analytische Geometrie: Betrachten wir die von den Vektoren v = und v 2 = 2 im 3-Raum erzeugte Ebene durch den Nullpunkt Wir fragen nun, ob die Punkte P(/2/ ) und Q(/2/3) auf dieser Ebene liegen Bekanntermassen liegt ein beliebiger Punkt mit den Koordinaten (a/b/c) genau dann auf der fraglichen Ebene, wenn gilt a b = λ +µ 2 c für geeignete Zahlen λ,µ R Die Frage, ob der Punkt P auf der Ebene liegt, führt also auf das folgende lineare Gleichungssystem in den Unbekannten λ und µ: = λ µ 2 = λ+2µ = λ+µ

2 92 Kapitel 5 Lineare Algebra Dies System hat eine Lösung, nämlich µ = und λ = 4, der Punkt P liegt also auf der Ebene Aber für den Punkt Q gilt das nicht Denn das entsprechende 3 3 Gleichungssystem = λ µ 2 = λ+2µ 3 = λ+µ hat keine Lösung, weil die erste und dritte Gleichung nicht gleichzeitig erfüllt sein können (sonst wäre = 3) Interpolation: Wir suchen jetzt ein quadratisches Polynom, so dass der zugehörige Graph durch drei vorgegebene Punkte verläuft Genauer suchen wir ein Polynom p(x) = ax 2 + bx + c mit p( 2) = 4, p( ) = 5 und p() = 4 Setzen wir dies in den Ansatz für das Polynom ein, erhalten wir folgende Bedingungen an die noch unbekannten Koeffizienten a, b, c des Polynoms: p( 2) = 4a 2b+c = 4 p( ) = a b+c = 5 p() = a+b+c = 4 Dies ist ein lineares Gleichungssystem in a,b,c Um die Lösungen zu finden, eliminieren wir zunächst die Unbekannte b Dazu addieren wir einerseits das Doppelte der dritten zur ersten Zeile dazu und andererseits bilden wir die Summe aus der zweiten und der dritten Zeile und erhalten folgendes System in a, c: 6a+3c = 2 2a+2c = 9 Ziehen wir nun von der ersten Zeile das Dreifache der zweiten Zeile ab, so fällt auch die Unbekannte a heraus und es folgt 3c = 5, das heisst c = 5 Setzt man nun in die früheren Gleichungen ein, erhält man die eindeutige Lösung, nämlich a =, 2 b =, c = 5 Das gesuchte Polynom lautet also: 2 p(x) = 2 x2 2 x+5 Diese drei Beispiele mögen zunächst genügen Man schreibt Systeme von m linearen Gleichungen in n Unbekannten x,x 2,,x n in der Regel in der folgenden Form auf: a x +a 2 x 2 ++a n x n = b a 2 x +a 22 x 2 ++a 2n x n = b 2 a m x +a m2 x 2 ++a mn x n = b m Dabei sind a ij,b i R oder in C für (i =,,m, j =,,n) die Koeffizienten bzw die Zeilenresultate Der erste Index i von a ij gibt die Zeile, und der zweite Index j die Variable an, bei der der Koeffizient steht Aus den Koeffizienten eines

3 5 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 93 solchen Gleichungssystems können wir ein rechteckiges Zahlenschema bilden, eine sogenannte Matrix, die aus m Zeilen und n Spalten besteht: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = a m a m2 a mn Man nennt A eine Matrix vom Typ m n Die Zahlen a ij sind die Einträge der Matrix Dabei gibt der erste Index die Zeile und der zweite Index die Spalte an A Die Variablen x,,x n werden zu einem Spaltenvektor der Form x 2 x n = x x 2 x n zusammengefasst Das Einsetzen von Werten für die Variablen in die oben angebenen Gleichungen wird als Multiplikation der Matrix A mit einem Spaltenvektor gedeutet: x a a 2 a n x a x +a 2 x 2 ++a n x n a 2 a 22 a 2n a 2 x +a 22 x 2 ++a 2n x n a m a m2 a mn x 2 x n := a m x +a m2 x 2 ++a mn x n Hier ein konkretes Beispiel Seien A = und v = 5 Dann lautet das Produkt: A v = = 5 +2 ( ) = 2 + ( ) 5 4 Oder ein Beispiel mit komplexen Zahlen: i 2 2+i(+i) = = i +i 2i+( )(+i) +i i Wir erhalten also folgende Kurzschreibweise für das ursprüngliche lineare Gleichungssystem: x b x A 2 = b x m n Die Lösungsmenge diese Gleichungssystems können wir als Teilmenge der Menge aller Spaltenvektoren mit n reellen(bzw komplexen) Koeffizienten auffassen, die mit

4 94 Kapitel 5 Lineare Algebra R n (bzw C n ) bezeichnet wird x b L = v = K n A v = x, n b m wobei K = R, falls nur reelle Lösungen gesucht werden, und K = C, wenn auch komplexe Koeffizienten zugelassen sind Die Lösungsmenge kann man mithilfe des Eliminationsverfahrens (auch bekannt unter dem Namen Gauss-Verfahren) bestimmen, das jetzt erläutert werden soll Die Idee besteht darin, das System schrittweise durch Manipulation der Zeilen, die der Elimination einer Variablen aus möglichst vielen Gleichungen entsprechen, zu vereinfachen, bis die Lösungen direkt ablesbar werden Die einzelnen Schritte sind elementare Zeilenumformungen von folgender Art: Typ (i): Zu einer Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile dazuaddieren Typ (ii): Zwei Zeilen miteinander vertauschen Typ (iii): Eine Zeile mit einer festen Zahl ( 0) multiplizieren Bei jeder dieser elementaren Zeilenumformungen bleibt die Lösungsmenge des zugehörigen Gleichungssystems unverändert! 5 Beispiel Wir betrachten das folgende System aus 3 Gleichungen in 4 Unbekannten über K = R: 2x + 4x 3 + 2x 4 = 0 x + x 2 + 5x 3 + 2x 4 = 7 x + 2x 2 + 8x 3 + 4x 4 = 2 Hier lauten also Koeffizientenmatrix bzw Ergebnisvektor: A = 5 2 b = Jetzt notieren wir die erweiterte Matrix (A b) = Zunächst soll erreicht werden, dass in der ersten Spalte unterhalb der ersten Zeile Nullen stehen Für das entsprechende Gleichungssystem bedeutet das, die Variable x aus den Zeilen 2 und 3 zu eliminieren Wir teilen deshalb die erste Zeile durch 2 und ziehen dann die erste Zeile von der zweiten und der dritten ab Wir erhalten: (A b) =

5 5 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 95 Jetzt wollen wir die Variable x 2 aus der dritten Zeile eliminieren Dafür ziehen wir das Doppelte der zweiten Zeile von der dritten Zeile ab und bekommen jetzt: (A b) = Bei dieser Umformung sind in der letzten Zeile gleich zwei Nullen entstanden, das bedeutet, nicht nur x 2 sondern sogar x 3 taucht in der letzten Gleichung nicht mehr auf Das Gleichungssystem, das dieser neuen erweiterten Matrix entspricht, lautet: x + 2x 3 + x 4 = 5 x 2 + 3x 3 + x 4 = 2 x 4 = 3 Die Lösungsmenge können wir an diesem vereinfachten System tatsächlich leicht ablesen Setzen wir x 4 = 3 in die zweite Gleichung ein, erhalten wir x 2 +3x 3 = Wir können nun eine der beiden Variablen x 2,x 3 ganz frei wählen, etwa setzen wir x 3 = t (t R) Dann muss x 2 = 3t sein und aus der ersten Gleichung folgt x = 2 2t Die Lösungsmenge des vereinfachten und damit gleichzeitig auch des ursprünglichen Systems lautet also: L = 2 2t 3t t 3 t R = Hier gibt es einen freien Parameter t t R Es kann aber auch sein, dass ein Gleichungssystem gar nicht lösbar ist Dazu ein anderes Beispiel 52 Beispiel Wir betrachten jetzt das folgende System aus 3 Gleichungen in 4 Unbekannten: 2x + 2x 2 + 2x 4 = 0 x + 6x 2 + x 3 + 3x 4 = 0 3x + 8x 2 3x 3 3x 4 = 3 Hier lautet also die erweiterte Matrix Wir vertauschen die ersten beiden Zeilen und ziehen dann von der zweiten Zeile das Zweifache der ersten und von der dritten Zeile das Dreifache der ersten Zeile ab Dann ergibt sich:

6 96 Kapitel 5 Lineare Algebra Nun teilen wir die zweite Zeile durch (-2), und ziehen von der dritten Zeile das Dreifache der alten zweiten Zeile ab Als letztes teilen wir die neue dritte Zeile noch durch 3 Dann erhalten wir: Das entsprechende Gleichungssystem lautet: x + 6x 2 + x 3 + 3x 4 = 0 x 3 + 2x 4 = 0 0 = Also gibt es in diesem Fall keine Lösung Hier zu guter Letzt noch ein Beispiel über den komplexen Zahlen: 53 Beispiel Wir betrachten das folgende System aus 3 Gleichungen in 3 Unbekannten über K = C: 2x 5ix 2 8x 3 = 2i 2ix + x 2 + 4ix 3 = 4 ix + 5x 2 + ix 3 = 6 Hier lauten also Koeffizientenmatrix bzw Ergebnisvektor: 2 5i 8 A = 2i 4i b = 2i 4 i 5 i 6 Jetzt notieren wir die erweiterte Matrix 2 5i 8 2i (A b) = 2i 4i 4 i 5 i 6 Wir multiplizieren die letzte Zeile mit ( i), so dass in der unteren linken Ecke eine entsteht, vertauschen die neue letzte Zeile mit der ersten und erhalten: 5i 6i (A b) = 2 5i 8 2i 2i 4i 4 Nun ziehen wir von der zweiten das Doppelte der ersten Zeile und von der dritten das (2i)-fache der ersten Zeile ab und bekommen: 5i 6i (A b) = 0 5i 0 0i 0 2i 2

7 5 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 97 Dann vertauschen wir die zweite und die dritte Zeile und ziehen von der neuen dritten Zeile das (5i)-fache der neuen zweiten Zeile ab Das liefert: (A b) = 5i 6i 0 2i Das entsprechende Gleichungssystem besteht also eigentlich nur aus zwei unabhängigen Bedingungen und lautet: x 5ix 2 + x 3 = 6i x 2 + 2ix 3 = 2 Wir können x 3 = z C beliebig wählen, dann ergibt sich aus den beiden Gleichungen durch Einsetzen: x 2 = 2 2iz und x = 6i+5i(2 2iz) z = 4i+9z Die Lösungsmenge lautet also hier 4i+9z L = 2 2iz z z C = Hier gibt es einen freien komplexen Parameter 4i 2 + z 0 9 2i z C Die entscheidenden Eigenschaften der vereinfachten erweiterten Matrix sind hier zusammengefasst: 54 Definition Eine Matrix M hat Zeilenstufenform, wenn es eine Zahl r N 0 gibt, so dass folgendes gilt: Die Zeilen unterhalb der r-ten Zeile sind Nullzeilen, das heisst ihre sämtlichen Einträge sind Nullen Die ersten r Zeilen sind keine Nullzeilen, jeweils der erste von Null verschiedene Eintrag (wenn man von links nach rechts liest) ist eine Eins Markiert man die führenden Einsen in den ersten r Zeilen, erhält man eine nach rechts absteigende Treppe Oder anders gesagt: Steht die führende Eins in Zeile i jeweils in der Spalte s i, so gilt: s < s 2 < s 3 < < s r In dieser Situation wird die Zahl r als Rang der Matrix M bezeichnet 55 Satz Jede beliebige Matrix M lässt sich durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform bringen

8 98 Kapitel 5 Lineare Algebra Beweis Dazu sucht man die erste Spalte von M mit einem Eintrag a 0, transportiert diesen Eintrag durch Zeilenvertauschung in die erste Zeile und dividiert dann die erste Zeile durch a So erhält man an dieser Stelle die erste führende Eins Jetzt zieht man geeignete Vielfache der ersten Zeile von allen anderen Zeilen ab, um die anderen Einträge derselben Spalte zu Null zu machen Das Resultat hat folgende Form M Jetzt bearbeitet man M entsprechend weiter, bis die Zeilenstufenform erreicht ist qed Kommen wir jetzt wieder zurück zu linearen Gleichungssystemen Sei A eine m n-matrix und b ein Spaltenvektor mit m Einträgen, jeweils aus K = R oder K = CSeiweiter M = (A b)dieerweitertematrix, gebildetausm durchanfügung der Spalte b Um das Gleichungssystem zu lösen, bringen wir zunächst M durch Zeilenumformungen in Zeilenstufenform M = (A b ) Wie schon bemerkt, hat das neue System dieselben Lösungen wie das alte, es gilt: L = {x K n A x = b} = {x K n A x = b } Aber man kann, wie in den Beispielen gezeigt, die Lösungsmenge des in Zeilenstufenform geschriebenen Systems direkt ablesen Dabei stellen wir folgendes fest: 56 Bemerkung Sei A eine m n-matrix mit Einträgen aus K in Zeilenstufenform von Rang r, also mit genau r Nichtnullzeilen Dann ist r n, denn die führenden Einsen in den Nichtnullzeilen müssen in verschiedenen Spalten stehen Sei weiter b K m Für das Gleichungssystem Ax = b gilt: () Das System hat keine Lösung in K n, falls r < m und b i 0 für ein i > r (2) Sind die Bedingungen aus () nicht erfüllt, so gibt es zwei Möglichkeiten (i) Ist r = n, so hat das System eine eindeutige Lösung (ii) Ist r < n, so gibt es unendlich viele Lösungen (genauer enthält die allgemeine Lösung n r freie Parameter) Ist b der Nullvektor, so kann der erste Fall nie eintreten 57 Folgerung Besteht ein lineares Gleichungssystem in n Unbekannten aus n Gleichungen und ist die Koeffizientenmatrix A vom maximal möglichen Rang n, dann hat das System genau eine Lösung x R n Esistjetztnochnichtgeklärt,obdieZahln r derfreienparameterderlösungsmenge im Fall 2(ii) durch das ursprüngliche lineare Gleichungssystem bereits eindeutig festgelegt ist oder nicht Es wird sich aber im nächsten Kapitel herausstellen, dass diese Anzahl eindeutig ist und die Dimension des Lösungsraums angibt

9 52 Rechnen mit Matrizen 99 Schauen wir uns den Fall n = 3 und m 3 für K = R noch einmal genauer an In diesem Fall ist die Lösungsmenge L eine Teilmenge des dreidimensionalen Raumes, die wir geometrisch beschreiben wollen Nehmen wir an, A sei eine Matrix von Rang r Fall: m = Hier haben wir nur eine Gleichung, nämlich a x +a 2 x 2 +a 3 x 3 = b Ist a = a 2 = a 3 = 0, so ist der Rang r = 0 und L ist leer, falls b 0, bzw L = R 3, falls b = 0 Sind nicht alle a j gleichzeitig Null, so handelt es sich bei der Gleichung um eine Ebenengleichung Die Lösungsmenge ist also eine Ebene und hat daher zwei freieparameter Falls b = 0, besteht L aus allen Vektoren x, die auf dem Vektor a w = a 2 senkrecht stehen a 3 2Fall: m = 2 Hier sind zwei Gleichungen simultan zu erfüllen Enthält A keine Nullzeile, so ist L die Schnittmenge von zwei Ebenen E und E 2 Es gibt daher die folgenden Möglichkeiten: Lage der Ebenen E E 2 E = E 2 E E 2 und E E 2 r 2 L Gerade Ebene leer 3Fall: m = 3 Falls A keine Nullzeile enthält, ist die Lösungsmenge der Durchschnitt von 3 Ebenen Hier gibt es die folgenden Möglichkeiten: r 3 2 L Punkt Gerade oder leer Ebene oder leer 52 Rechnen mit Matrizen Für Matrizen desselben Typs ist eine Addition erklärt, und zwar durch Addition jeweils entsprechender Einträge Sind genauer A = (a ij ) und B = (b ij ) Matrizen vom Typ m n, so setzt man A+B := (a ij +b ij ) Die Summe ist also wiederum eine m n-matrix 52 Beispiel = Die Skalarmultiplikation einer m n-matrix A = (a ij ) (mit Einträgen a ij aus einem Körper K) mit λ K ist durch Multiplikation sämtlicher Einträge mit λ definiert: λ A := (λ a ij )

10 00 Kapitel 5 Lineare Algebra 522 Beispiel 0 i 2+i i 2 i = 0 i +2i 2i Die Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor haben wir bereits kennengelernt Allgemeiner kann man das Produkt von zwei Matrizen A und B mit Einträgen in demselben Körper K definieren, wenn die Anzahl Spalten von A mit der Anzahl Zeilen von B übereinstimmt Dabei gehen wir folgendermassen vor Nehmen wir an, A = (a ik ) sei vom Typ m s und B = (b kj ) vom Typ s n Jede Spalte von B bildet einen Vektor in R s, nämlich v j = b j b 2j b sj (j =,,n) Nun multiplizieren wir der Reihe nach A mit jeder dieser Spaltenvektoren und bilden aus den Vektoren Av,Av 2,,Av n, die jeweils aus m Einträgen bestehen, eine m n-matrix C Diese Matrix C ist das Produkt der Matrizen A und B 523 Beispiele i i 0 = = ( 2+i +i 4 2+i Man findet den Eintrag der Produktmatrix C an der Stelle (i,j), indem man jeweils entsprechende Einträge der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B multipliziert und aufaddiert Also ist C = A B = ( s a ik b kj ) Ist n =,soistb nichts anderesalseinspaltenvektor, undindiesem Fallstimmt die Multiplikation mit der schon bekannten Multiplikation von Matrix mit Spaltenvektor überein 524 Beispiel k= = ( 2 Es ist zu beachten, dass das Produkt von zwei Matrizen nur definiert ist, wenn die Typen der Matrizen zueinander passen! Hier einige spezielle Produkte: ) )

11 52 Rechnen mit Matrizen Bemerkung Sei A eine Matrix vom Typ m n Für j =,,n bezeichne 0 e j = denjenigen Spaltenvektor mit n Einträgen, der an der Stelle j den 0 Eintraghatundsonst lauternullen Füri =,,msei weiter e T i derzeilenvektor mit m Einträgen, der an der Stelle i den Eintrag hat und sonst lauter Nullen: e T i = (00) Dann gilt Ae j = j-te Spalte von A j und e T i A = i-te Zeile von A i Ist m = n und bezeichnet E die n n Matrix, die auf der Diagonalen Einsen stehen hat, aber an jeder anderen Stelle Nullen: 0 E =, 0 dann ist AE = EA = A Man nennt E deshalb auch n te Einheitsmatrix Für das Rechnen mit Matrizen gelten einige der von den Zahlen her geläufigen Rechenregeln, allerdings nicht das Kommutativgesetz! 526 Bemerkung Für alle Matrizen A, B, C von passendem Typ gelten: Assoziativgesetz: (AB)C = A(BC); Distributivgesetz: A(B + C) = AB + AC Aber das Kommutativgesetz für die Multiplikation gilt nicht, im allgemeinen ist AB BA 527 Beispiele (3 ) 2 = (5), aber 4 ( 0 ) 0 = 0, aber (3 ) = ( 0 0 ) 0 = 0 Als nächstes soll nun noch die Inverse einer Matrix definiert werden

12 02 Kapitel 5 Lineare Algebra 528 Definition Seien A,B Matrizen vom Typ n n mit Einträgen aus dem Körper K Die Matrix B ist die Inverse von A, falls 0 0 AB = BA = E = Durch diese Eigenschaft ist B eindeutig bestimmt Man verwendet für die Inverse einer Matrix A üblicherweise die Notation A a b 529 Bemerkung Eine 2 2-Matrix A = hat genau dann den Rang 2, c d d b wenn ad bc 0 ist Ist das der Fall, dann ist die Inverse A = ad bc c a Denn man rechnet nach, dass A A = A A 0 = Die Inverse der Matrix ( 0 ) A = lautet zum Beispiel A 3 5 = = 3 3 Allgemeiner gilt folgendes: 520 Satz Eine n n-matrix A besitzt genau dann eine Inverse, wenn der Rang von A gleich n ist Beweis Nehmen wir zunächst an, die Matrix A besitze eine Inverse A Dann x hat für jeden Vektor b R n das Gleichungssystem A = b eine eindeutige x n x Lösung, nämlich = A b Nach Bemerkung 56 über die Lösungsmengen x n linearer Gleichungssysteme folgt daraus, dass der Rang von A gleich n sein muss Sei jetzt umgekehrt der Rang von A gleich n Wenn wir A auf Zeilenstufenform bringen, erhalten wir also eine Matrix ganz ohne Nullzeilen, mit genau n Stufen Deshalb hat jedes der linearen Gleichungssysteme Av j = e j (für j =,,n) eine eindeutige Lösung v j R n Bilden wir aus den Vektoren v,,v n als Spalten eine neue n n-matrix B, so gilt nach Konstruktion AB = E Die Matrix B ist also die Inverse von A qed Die Inverse einer vorgelegten quadratischen Matrix A von maximalem Rang kann mithilfe von elementaren Zeilenumformungen bestimmt werden Die n Gleichungssysteme A v j = e j für j =,,n müssen dazu simultan gelöst werden Dazu kann man folgendermassen vorgehen: Man bildet aus A und der Einheitsmatrix E vom selben Typ eine erweiterte Matrix

13 52 Rechnen mit Matrizen 03 M = (A E) Nun bringt man M durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform Weil A von maximalem Rang ist, erhält man in der linken Hälfte eine Matrix, deren Einträge in der Diagonalen gleich und unterhalb der Diagonalen gleich Null sind Durch weitere geeignete elementare Zeilenumformungen kann man nun ausserdem erreichen, dass in der linken Hälfte auch die Einträge oberhalb der Diagonalen gleich Null sind Man erhält die Form M = (E B) Die Matrix B ist dann bereits die gesuchte Inverse 52 Beispiel A = dann: M = Die erweiterte Matrix M = (A E) lautet Wir vertauschen die ersten beiden Zeilen und ziehen von der dritten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile ab: Jetzt addieren wir zur zweiten Zeile das Siebenfache der dritten Zeile und erhalten: Wir ziehen von der ersten Zeile das Dreifache der zweiten Zeile und das Fünffache der dritten Zeile ab und addieren schliesslich noch zur zweiten die dritte Zeile dazu Damit ist die gesuchte Form erreicht: Nun lesen wir aus der rechten Hälfte die Inverse ab: 38 5 A =