Lineare Gleichungssysteme

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1 KAPITEL 2 Lineare Gleichungssysteme. Beispiele Wir betrachten zunächst vier Gleichungssysteme und bestimmen ihre Lösungsmenge. Dabei geht es uns noch nicht darum, ein Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme zu entwickeln (das kommt später), sondern nur darum, ein paar typische Phänomene zu beobachten. () Man bestimme alle Paarex, y in 2, die sowohl die Gleichung xy als auch die Gleichung 3 x2 y 5 erfüllen. Wir suchen also alle Lösungen des Gleichungssystems xy () (2.) 3 x2 y 5 (2). (2.2) Lösung: Wenn x y eine Lösung des Gleichungssystems ist, dann gilt xy. Daher gilt auch3 x3 y 3. Somit ist jede Lösung des Systems (2.) auch eine Lösung von 3 x3 y 3 ( ) 3 x2 y 5 (2). Wenn3 x3 y 3 und 3 x2 y 5, dann gilt auch3 x3 y3 x2 y 35, alsoy 2. Daher muss y 2 sein. Da aber xy ist, muss x y sein, und daher ist x 3. Daher ist nur 3 2 als Lösung des Gleichungssystems möglich. Wir probieren nun aus, ob 3 2 auch wirklich eine Lösung ist. Tatsächlich gilt32 und Daher ist die Menge L 3 2 die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Wir interpretieren dieses Beispiel jetzt geometrisch. Jene Punkte x y im 2, die die Gleichung xy erfüllen, liegen auf einer Geraden (eben auf der Geraden mit Gleichung xy ). Jene Punkte x y, die die Gleichung 3 x2 y 5 erfüllen, liegen auf der Geraden mit Gleichung 3 x2 y 5. Die Lösungsmenge des Gleichungssystems enthält alle Punkte, die auf Unterlagen zur Vorlesung Algebra von Erhard Aichinger, Peter Mayr. Alle Rechte vorbehalten

2 2 2. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME (2.3) (2.4) beiden Geraden liegen. Wenn die beiden Geraden nicht parallel sind, so gibt es genau einen Punkt, der auf beiden Geraden liegt, nämlich den Schnittpunkt der beiden Geraden. Dieser Schnittpunkt ist in diesem Beispiel der Punkt 3 2. (2) Wir suchen alle Lösungen des Gleichungssystems x3 y () 3 x9 y 2 (2). Lösung: Wenn x y eine Lösung des Gleichungssystems ist, dann gilt x3 y. Daher gilt auch 3 x9 y 3. Somit ist jede Lösung des Systems (2.3) auch eine Lösung von 3 x9 y 3 ( ) 3 x9 y 2 (2). Wenn 3 x9 y 3 und3 x9 y 2, dann gilt auch (2.5) 3 x9 y3 x9 y 32. (2.6) (2.7) Die linke Seite von (2.5) ist aber immer. Jede Lösung x y des Gleichungssystems (2.3) muss also 32, also erfüllen. Egal welche x, y man in die Gleichung (2.5) einsetzt: die Gleichung (2.5) kann nie erfüllt sein. Somit hat das Gleichungssystem (2.3) keine Lösung. Die Lösungsmenge ist also die leere Menge, also L. Wir interpretieren dieses Beispiel jetzt geometrisch. Die Gerade x3 y hat den Normalvektor 3. Die Gerade3 x9 y 2 hat den Normalvektor 3 9. Der Vektor3 9 ist ein Vielfaches des Vektors 3. Die beiden Geraden sind also parallel. Zwei parallele Geraden sind entweder identisch, oder sie haben keinen gemeinsamen Punkt. Da das Gleichungssystem (2.3) unlösbar ist, haben die beiden Geraden keinen gemeinsamen Punkt; sie sind also zwei verschiedene parallele Geraden. (3) Wir suchen alle Lösungen des Gleichungssystems x5 y 4 () 2 x y 8 (2). Lösung: Wenn x y eine Lösung des Gleichungssystems ist, dann gilt x5 y 4. Daher gilt auch 2 x y 8. Somit ist jede Lösung des Systems (2.6) auch eine Lösung von 2 x y 8 ( ) 2 x y 8 (2). Wenn 2 x y 8 und2 x y 8, dann gilt auch (2.8) 2 x y2 x y 88.

3 (2.9) (2.). BEISPIELE 2 Sowohl die linke als auch die rechte Seite der Gleichung (2.8) ist also. Somit ist die Gleichung (2.8) für alle x y in 2 erfüllt. Sie liefert also keine Einschränkung für die Lösungen. Nicht jeder Punkt x y in 2 ist eine Lösung des Systems (2.6). (Der Punkt erfüllt nicht einmal die erste Gleichung.) Wir sehen aber, dass jede Lösung der ersten Gleichung von (2.6) auch eine Lösung der zweiten Gleichung von (2.6) ist: das liegt daran, dass die zweite Gleichung entsteht, wenn man beide Seiten der ersten Gleichung mit2 multipliziert. Man kann also die zweite Gleichung einfach weglassen (sie liefert keine weitere Einschränkung für x und y), und nur mehr die Lösungen von x5 y 4 bestimmen. Wir sehen, dass wir für jeden Wert, den wir für y vorgeben, einen Wert für x erhalten. Wenn wir für y t setzen, erhalten wir für x den Wert x 45 t. Somit können wir die Lösungsmenge L so angeben: L 45 t t t. Die Lösungsmenge L ist also eine Gerade durch 4 mit Richtungsvektor 5 Ẇir interpretieren dieses Beispiel jetzt geometrisch. Die Gleichungen x 5 y 4 und2 x y 8 werden von denselben x y erfüllt. Sie beschreiben also die gleiche Gerade. Der Schnitt dieser beiden Geraden miteinander ist also genau diese eine Gerade. Und wirklich: X 4 t5 ist genau die Parameterdarstellung der Geraden x5 y 4. (4) Wir suchen alle Lösungen des Gleichungssystems 3 x4 y () 5 x y 5 (2) 2 x8 y 6 (3). Lösung: Wir multiplizieren die Gleichung mit 5, und die Gleichung2 mit3 und erhalten 5 x2 y 5 ( ) 5 x3 y 5 (2 ) 2 x8 y 6 (3). Jede Lösung von und2 erfüllt auch 5 x2 y5 x3 y 55, also y, und somit y. Wenn y, dann muss wegen der Gleichung gelten: 3 x 4 y, also 3 x 4, und somit x.

4 22 2. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Die Frage ist, ob auch wirklich eine Lösung des Gleichungssystems ist. Wir haben bis jetzt ja nur so begründet, dass für jede Lösung x y des Gleichungssystems x und y gelten muss. Wir wissen aber noch nicht, ob die Gleichungen,2 und3 erfüllt. So haben wir etwa die Gleichung3 beim Ausrechnen von x und y noch gar nicht verwendet! Wir müssen also ausprobieren, ob wirklich alle drei Gleichungen erfüllt. Es gilt 34, 5 5 und Das Paar erfüllt also wirklich alle drei Gleichungen, und es gilt somit L. Wir interpretieren dieses Beispiel jetzt geometrisch. Von den drei Geraden, die durch die Gleichungen,2 und3 beschrieben werden, sind keine zwei parallel, da kein Normalvektor ein Vielfaches eines anderen Normalvektors ist. Alle drei Geraden gehen durch den Punkt. Die drei Geraden gehen also sternförmig durch den Punkt. Das Gleichungssystem (2.6) zeigt, dass die Lösungsmenge L eines linearen Gleichungssystems nicht leer oder einelementig sein muss, sondern auch eine unendliche Menge sein kann. Für die Darstellung der Lösungsmenge L des Systems (2.6) gibt es zwei Möglichkeiten: () Implizite Darstellung der Lösung: Jedes Paarx, y, das x5 y 4 erfüllt, ist auch eine Lösung für das gesamte Gleichungssystem. Die Lösung kann also in der Form L x, y 2 x5 y 4 geschrieben werden. (2) Parametrisierte Darstellung der Lösung: Wir können die Lösungsmenge als schreiben. L 4, t5, t Wollen wir nun überprüfen, ob das Paar3, 4 in der Lösungsmenge liegt, so müssen wir bei impliziter Darstellung nur x 3 und y 4 in x5 y einsetzen. Da wir dabei 23 und nicht4 erhalten, folgt3, 4 / L. Bei parametrisierter Darstellung müssen wir dazu das Gleichungssystem 45 t 3 t 4 lösen. Aus der Tatsache, dass dieses System keine Lösung besitzt, können wir3, 4 / L schließen. Die implizite Darstellung lässt jedoch keine direkte geometrische Interpretation zu, während man aus der parametrisierten Darstellung sofort erkennt, dass es sich bei der Lösungsmenge um eine Gerade im 2 mit der Steigung 5 handelt.

5 2. MATRIZEN 23 Wir werden uns überlegen, wie wir die Lösungsmenge von einer Darstellungsform in die andere umrechnen können. Die jeweiligen Übergänge nennt man Parametrisieren (Lösen) bzw. Implizitisieren. 2. Matrizen Wir haben bereits Vektoren kennen gelernt; solche Tupel reeller Zahlen haben wir benutzt, um Punkte in der Ebene und im Raum zu beschreiben. In der Geometrie brauchen wir auch Matrizen. Matrizen eignen sich besonders gut, um etwa Drehungen oder Spiegelungen zu beschreiben, oder um lineare Gleichungssysteme übersichtlich anzuschreiben. 2.. Die Definition von Matrizen. Wir tabellieren die Koeffizienten von x, y und z in folgendem linearen Gleichungssystem: 2 x3 y4 z x5 y2 z Damit erhalten wir ein rechteckiges Zahlenschema (eine Matrix) mit 2 Zeilen und 3 Spalten Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten bezeichnen wir als eine mn-matrix. Wenn A eine mn-matrix ist, und i, 2,, m und j, 2,, n, so bezeichnen wir mit Ai, j, Ai, j oder A i, j den Eintrag, der bei A in der i-ten Zeile und j-ten Spalte steht. Für A gilt zum Beispiel A 2, 7. Die Menge aller mn-matrizen kürzen wir mit mn ab. BEISPIELE ist eine 23-Matrix ist eine 22-Matrix ist eine 2-Matrix. 2 7 ist eine 3-Matrix. Wir müssen noch den Begriff rechteckiges Zahlenschema klären. Man kann eine mn-matrix A mit Einträgen ausals Funktion von, 2,, m, 2,, n nach definieren. Der Eintrag, der in der 2. Zeile und 4. Spalte steht, ist dann der Funktionswert A2, 4. Diese Sichtweise gibt auch recht gut wieder, was eine Implementation

6 24 2. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME des abstrakten Datentyps Matrix können muss. Es muss möglich sein, eine FunktionLiefereEintrag zu schreiben, sodassliefereeintrag (A, i, j) den Eintrag von A an der i-ten Zeile und j-ten Spalte, also den Funktionswert Ai, j, zurückgibt. In Mathematica geben wir die Matrix wie folgt ein. In[]:= A,2,3,4,5,6 Out[]=,2,3,4,5,6 In[2]:= MatrixFormA Out[2]= In[3]:= A 5,7,8,2,3,5 Out[3]= 5,7,8,2,3,5 In[4]:= MatrixFormA Out[4]= In[5]:= A2 Out[5]= 2 A Die Multiplikation von Matrizen und Vektoren. Wir erklären die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor zuerst an einem Beispiel. Sei A und 3 4 v 3 2. Dann ist der Vektor Av gegeben durch Av 3 4 Das Ergebnis ist ein Vektor im DEFINITION 2.2. Wenn man eine mn-matrix A mn mit einem Vektor v aus n multipliziert, so ist das Produkt w ein Vektor in m. Für i,, m ist der i-te Eintrag von w das Skalarprodukt aus der i-ten Zeile von A und von v. Dass diese Art der Multiplikation Matrix mal Vektor sinnvoll ist, werden wir später im Zusammenhang mit lineare Abbildungen wieder sehen. Jetzt ist sie schon einmal gut dazu, um lineare Gleichungssysteme übersichtlicher anzuschreiben..

7 Das Gleichungssystem 3. DIE LÖSUNG VON GLEICHUNGSSYSTEMEN IN STAFFELFORM 25 3 x4 y2 z 5 y8 z 2 wird zu x 5 8 y 2. z Im allgemeinen erhält man bei m Gleichungen und n Unbekannten die Form Ax b, wobei A eine mn-matrix ist, x ein Vektor im n und b ein Vektor im m. Die Funktion LinearSolve[A,b] liefert eine Lösung des linearen Gleichungssystems Ax b. Wir lösen zum Beispiel 2 x3 y 5. In[6]:= LinearSolve2,3,5 Out[6]= 5 2, Bald werden wir sehen, wie man alle Lösungen erhält. 3. Die Lösung von Gleichungssystemen in Staffelform Wir betrachten das Gleichungssystem (2.) x Dieses Gleichungssystem können wir so lösen: x 5 können wir beliebig festlegen. Wir setzen also x 5 t Wir erhalten also 6 x 4 8 t 6, x 4 2 t. Da x 3 frei wählbar ist, setzen wir x 3 auf s. Dann erhalten wir x 2 52 x 3 4 x 4 2 x 5,

8 26 2. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME also Schließlich x 2 52 s42 t 2 t x 2 2 s. x 22 s t. Also ergibt sich als Lösungsmenge Die Matrix 2 L s 2 2 t s, t. ist eine besonders angenehme Koeffizientenmatrix. Sie ist nämlich in Zeilenstaffelform. Wir definieren: DEFINITION 2.3. Sei A eine mn-matrix. A ist in Zeilenstaffelform, wenn es r und j, j 2,, j r,, n gibt, sodass () j r > j r > > j. (2) Für alle i, 2,, r gilt: Ai, j i. (3) Für alle i, 2,, r und für alle k, 2,, n mit k < j i gilt: Ai, k. (4) Für alle i, 2,, m mit i > r und für alle k, 2,, n gilt: Ai, k. Wenn A eine mn-matrix in Zeilenstaffelform ist, und r wie in obiger Definition, dann treten in der Lösung von Ax genau nr frei wählbare Parameter auf. ÜBUNGSAUFGABEN 2.4. () Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems 2 x 2 x 2 x 3 x 4. Geben Sie die Lösungsmenge in parametrisierter Form an. (2) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems x 2 x 2 x 3 x 4. Geben Sie die Lösungsmenge in parametrisierter Form an. (3) Bestimmen Sie alle Lösungen des folgenden Gleichungssystems: 2 x x 2 x 3 x 4 x 5 2 x 2 x 3 x 4 x 5 4 x 3 x 4 x 5 4.

9 4. DAS GAUSSSCHE ELIMINATIONSVERFAHREN 27 (4) Lösen Sie das Gleichungssystem und geben Sie die Lösungsmenge parametrisiert an. x x 2 x 3 x 4 x 5 2, 4. Das Gaußsche Eliminationsverfahren Wenn die Koeffizientenmatrix eines Gleichungssystems Zeilenstaffelform hat, dann wissen wir bereits, wie wir alle Lösungen des Gleichungssystems bestimmen. Wir erklären mit einem Beispiel, wie wir sonst vorgehen. Wir betrachten das Gleichungssystem (2.2) x Wir schreiben uns zunächst das System anders auf I II III 2 2 IV Wir addieren nun passende Vielfache der Gleichung I zu jeder der anderen Gleichungen, sodass in den neuen Gleichungen die Variable x nicht mehr vorkommt. Das führt auf II I II (2.3) III I III IV I IV Nun hat das Gleichungssystem, das aus den Gleichungen I,II,III,IV besteht, die gleiche Lösungsmenge wie das Gleichungssystem, das aus den Gleichungen I,II,III,IV besteht. Das kann man so begründen: wenn ein Tupelx, x 2, x 3, x 4 die Gleichungen I und IV erfüllt, dann erfüllt es auch die Gleichung IV, die ja eine Summe von Vielfachen der Gleichungen I und IV ist. Sei nunx, x 2, x 3, x 4 ein Tupel, das die Gleichungen I und IV erfüllt. Da IV =5 I + IV, gilt IV = IV + 5 I. Daher ist die Gleichung IV eine Summe von Vielfachen der Gleichungen IV und I. Also muss das Tupel x, x 2, x 3, x 4 auch die Gleichung IV erfüllen. Wir können also anstelle des Gleichungssystems I,II,III,IV das Gleichungssystem I,II,III,IV lösen. In den Gleichungen II, III, IV kommt die Variable x nicht vor.

10 28 2. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Also können wir so vorgehen: wir bestimmen die Lösungenx 2, x 3, x 4 der Gleichungen II, III, IV. Für jede dieser Lösungen rechnen wir uns dann aus der Gleichung I den Wert von x aus. Um die Lösungen von II, III, IV zu bestimmen, addieren wir wieder passende Vielfache der Gleichung II zu III und IV. Wir erhalten (2.4) III II III IV II IV Nun können wir alle Lösungenx 3, x 4 der Gleichungen III und IV bestimmen. Dann können wir für jede Lösung aus II den Wert von x 2 bestimmen (und dann aus I den Wert von x ). In den Gleichungen III und IV kommt x 3 nicht vor. Wenn wir also eine Lösung x 4 für die Gleichungen III und IV finden, dann können wir für x 3 jede beliebige Zahl einsetzen. Für jede solche Setzung erhalten wir eine Lösungx 3, x 4 von III und IV. Wir merken uns: x 3 ist frei wählbar, sofern es Lösungenx 4 für III und IV gibt. Jetzt versuchen wir, alle Lösungen x 4 von III und IV zu finden. Dazu addieren wir ein passendes Vielfaches der Gleichung III zur Gleichung IV. Wir erhalten (2.5) IV 58III 6IV Alle Lösungenx 5 dieser letzten Gleichung zu finden, ist einfach: wir können jeden Wert für x 5 einsetzen. Also: x 5 ist frei wählbar. Setzen wir also x 5 auf t, und schauen wir, welche Werte sich für die anderen Variablen ergeben. Aus der Gleichung III erhalten wir also Da x 3 frei wählbar ist, setzen wir x 3 auf s. Aus der Gleichung II erhalten wir also x 2 6 x 4 8 t 6, x 4 2 t. x 2 52 x 3 4 x 4 2 x 5, 52 s42 t 2 t x 2 2 s.

11 4. DAS GAUSSSCHE ELIMINATIONSVERFAHREN 29 Aus der Gleichung I erhalten wir schließlich Also ergibt sich als Lösungsmenge ÜBUNGSAUFGABEN L x 22 s t. s 2 2 t 2 s, t. () Bestimmen Sie alle Lösungen des Gleichungssystems x2 y3 z x7 y2 z 5 x8 y5 z. (2) Bestimmen Sie alle Lösungen des Gleichungssystems 4 x2 y3 z 2 6 x3 y z 8 6 x3 y2 z 34 (3) Bestimmen Sie alle Lösungen des Gleichungssystems x y2 z 6 2 x3 yz 8 x2 y3 z 36 (4) Geben Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems in parametrisierter Form an! x 4 (5) Geben Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems in parametrisierter Form an! (6) Ergänzen Sie die Gleichung x x 2 x 3 x 4 x x 2 x 3 3 x2 y5 z so zu einem Gleichungssystem mit drei Gleichungen, dass das System (a) keine Lösung (b) genau eine Lösung (c) genau zwei Lösungen (d) eine Gerade als Lösungsmenge (e) eine Ebene als Lösungsmenge hat. (7) Für zwei Goldbarren und acht Silbertaler erhalten Sie 69.. Schilling, für 7 Barren und 3 Taler 84.. Schilling. Wieviel ist ein Goldbarren wert? Wieviel ist ein Silbertaler wert? (8) Bestimmen Sie alle Lösungen des Gleichungssystems x

12 3 2. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME (9) Bestimmen Sie alle Lösungen des Gleichungssystems x () Lösen Sie folgendes Gleichungssystem, und geben Sie die Lösungsmenge paramtrisiert an! x Einige durchgerechnete Beispiele zum Gauß-Algorithmus.. AUFGABE 2.6. In[7]:= << GaussDemo7.m In[8]:= GaussA,b x x2 x3 x4 x x Weuseequationofthelastsystemtoeliminatex x2 x3 x4 x Weuseequationofthelastsystemtoeliminatex2 x3 x4 x x3doesnotappearinanyequation. x4 x Weuseequationofthelastsystemtoeliminatex4 x5 x5doesnotappearinanyequation.

13 5. EINIGE DURCHGERECHNETE BEISPIELE ZUM GAUSS-ALGORITHMUS 3 x5 t Weuse x4 x to compute x4 x4 t 2 x3 t2 Weuse x2 x3 x4 x to compute x2 x2 2t2 Weuse x x2 x3 x4 x to compute x x 2t2t2 Out[8]= 2,,,,,,,, 2,,2,2,,, AUFGABE 2.7. In[9]:= << GaussDemo7.m In[2]:= GaussA2,b2 x x2 x3 x x Weuseequationofthelastsystemtoeliminatex x2 x3 x Weuseequation2ofthelastsystemtoeliminatex2

14 32 2. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME x3 x x3doesnotappearinanyequation. x Weuseequationofthelastsystemtoeliminatex4 The system has no solution Out[2]= NOSOLUTION AUFGABE 2.8. In[2]:= << GaussDemo7.m x In[22]:= GaussA3,b3 x x2 x Weuseequationofthelastsystemtoeliminatex x2 x Weuseequation3ofthelastsystemtoeliminatex2 x Weuseequationofthelastsystemtoeliminatex3 Weuse x3 2 2 to compute x3 x3

15 Weuse x2 x3 2 5 to compute x2 x2 3 Weuse 5. EINIGE DURCHGERECHNETE BEISPIELE ZUM GAUSS-ALGORITHMUS 33 x x2 x to compute x x 2 Out[22]= 2,3,, AUFGABE 2.9. In[23]:= << GaussDemo7.m x In[24]:= GaussA4,b4 x x2 x Weuseequationofthelastsystemtoeliminatex x2 x Weuseequation3ofthelastsystemtoeliminatex2 x Weuseequationofthelastsystemtoeliminatex3 The system has no solution Out[24]= NOSOLUTION

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