3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen

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1 3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen Beispiel 1: Betrachte das Gleichungssystem x 1 + x 2 + x 3 = 2 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 x 2 + 4x 3 = 7 Wir formen das GLS so lange um, bis die Lösungsmenge unmittelbar sichtbar wird 1) Addiere das ( 2) fache der ersten Gleichung zur zweiten und danach das ( 3) fache der ersten Gleichung zur dritten x 1 + x 2 + x 3 = 2 2x 2 + x 3 = 5 4x 2 + x 3 = 1 2) Addiere das 2 fache der (neuen) zweiten Gleichung zur dritten x 1 + x 2 + x 3 = 2 I 2x 2 + x 3 = 5 3x 3 = 9 II III Bei jedem dieser Schritte ändert sich die Lösungsmenge nicht Das neue Gleichungssystem läßt sich nun leicht von unten nach oben lösen Aus III folgt x 3 = 3 Setze in II ein und erhalte 2x 2 3 = 5, also x 2 = 1 Setze x 3 = 3 und x 2 = 1 in I ein und erhalte x = 2, also x 1 = 6 6 Fazit: 1 ist die einzige Lösung des ursprünglichen Gleichungssystems 3 Allgemein läßt sich ein GLS der folgenden Form (S) leicht von unten nach oben auflösen Es gibt genau eine Lösung 1

2 a 11 x 1 + a 12 x 2 + +a 1n x n = b 1 a 22 x 2 + +a 2n x n = b 2 (S) mit a 11 0, a 22 0,, a nn 0: a n 1,n 1 x n 1 +a n 1,n x n = b n 1 a nn x n = b n Aus der letzten Gleichung erhält man: x n = b n a nn Setze in die vorletzte Gleichung ein und erhalte x n 1 = b n 1 a n 1,n x n a n 1,n 1 = b n 1 a n 1,n a n 1,n 1 b n a nn Fahre so fort Sind auf diese Weise bereits x n, x n 1,, x 2 bestimmt, so liefert schließlich die 1 Gleichung auch x 1 : x 1 = b 1 a 12 x 2 a 1n x n a 11 Ziel der folgenden Betrachtungen: Ein Verfahren, mit dem man das Lösen eines beliebigen Gleichungssystems auf das Lösen von Systemen in Zeilenstufenform (S) zurückführen kann Definition: Das λ fache der Gleichung (1) a 1 x a n x n = b ist die Gleichung λ (1) (λa 1 )x (λa n )x n = λb Die Summe der Gleichungen (1) und (2) a 1x a nx n = b ist die Gleichung (1) + (2) (a 1 + a 1)x (a n + a n)x n = b + b Offenbar gilt: (31) Bemerkung: Ist x = (2) +λ (1) x 1 x n Lösung von (1) und (2), so auch von 2

3 Definition: Zwei Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn sie die gleichen Lösungen haben (32) Bemerkung: Durch folgende Umformungen entsteht aus einem Gleichungssystem G ein dazu äquivalentes: I Addition des λ fachen einer Gleichung von G zu einer anderen II Vertauschen der Reihenfolge der Gleichungen III Multiplikation einer Gleichung mit λ 0 Beweis: (i) bezeichne die i te Gleichung von G, i = 1,, m I Für ein Paar i j hat das neue GLS G (j) + λ (i) als j te Gleichung und stimmt sonst mit G überein Nach (31) ist jede Lösung von (i) und (j) auch Lösung von (j)+λ (i) und jede Lösung von (i) und (j)+λ (i) auch Lösung von (i) und (j+λ (i))+( λ) (i) = (j) Damit sind G und G äquivalent III G habe λ (j) als j te Gleichung und stimme sonst mit G überein Nach (31) ist jede Lösung von (j) auch Lösung von λ (j) und jede Lösung von λ (j) auch Lösung von λ 1 (λ (j)) = (j) Also sind G und G äquivalent Den obigen Umformungen des GLS n j=1 a ij x j = 0, i = 1,, m entsprechen gewisse Umformungen der zugehörigen Matrix a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = Definiere daher: a m1 a m2 a mn Eine elementare Zeilenumformung der Matrix A ist eine Operation vom Typ I Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen, oder II Vertauschung von zwei Zeilen, oder III Multiplikation einer Zeile mit λ 0 3

4 Wie bei Spalten definiert man auch hier (c 1,, c n ) + (d 1,, d n ) := (c 1 + d 1, c 2 + d 2,, c n + d n ) λ(c 1,, c n ) := (λc 1,, λc n ) (komponentenweise Addition und Multiplikation) Wir wollen nun die Matrix A durch eine Reihe von elementaren Umformungen der Zeilen, sowie eventuellen Spaltenvertauschungen auf besonders einfache Form bringen Sei also A eine m n Matrix wie oben 1 A = 0 wird nicht verändert 2 Sei A 0, etwa a ij 0 Vertausche die i te mit der 1 ten Zeile Danach ist die 1 Zeile 0 Durch eine evtl Spaltenvertauschung erhält man schließlich eine Matrix C = (c ij ) mit c 11 0 Seien c 1,, c m die Zeilen von C, also c 11 c 1 c 21 C = = c 2, c i = (c i1, c i2,, c im ), i = 1,, m c m1 3 Addiere zu c 2 die Zeile c 21 c 11 c 1,, zu c m die Zeile c m1 c 11 c 1 Erhalte eine neue Matrix C mit den Zeilen c 1 = c 1, c n c 2 = c 2 c 21 c 11 c 1 = (0, c 22,, c 2n),, c m = c m c m1 c 11 c 1 = (0, c m1,, c mn): C ist daher von der Form c 11 c 12 c 1n C = c 11 0, B = (m 1) (n 1) Matrix 0 B 0 4) Ist B = 0, so hören wir auf 4

5 Ist B 0, so können wir durch evtl Vertauschen von c 2 und c i und anschließendem Vertauschen von 2 ter und j ter Spalte von C erreichen, dass sogar c 11 c 12 c 1n C = 0 c 22 c 2n wobei c c m2 c mn mit Zeilen c 1, c 2,, c m Verfahre nun mit der Matrix c 2 wie zuvor mit C Erhalte c m C = c 11 c 12 c 13 c 1n 0 c 22 c 23 c 2n 0 c 33 c 3n mit c 11 0, c c m3 c mn Fährt man so fort, so gelangt man schließlich zu einer Matrix der Gestalt (1) D = d 11 0 d d rr r m 1 r n d ii 0 für i = 1,, r 5

6 Unterhalb der Diagonalen d 11 d rr stehen nur Nullen Im Fall r < m kommen unterhalb D nur Nullzeilen vor, im Fall r = m keine Wir haben somit gezeigt: (33) Satz: Durch Zeilenumformungen vom Typ I und II sowie evtl Spaltenvertauschungen läßt sich jede m n Matrix in eine m n Matrix D der Form (1) verwandeln Matrizen wie die r r Matrix oben links in D nennt man obere Dreiecksmatrizen Beispiel: I II I I r = 3 d 11 = 1, d 22 = 2, d 33 = 5 (34) Zusatz: a) Durch weitere Umformungen vom Typ I kann man in (1) auch noch die Koeffizienten oberhalb der Diagonalen (d 11,, d rr ) zu Null machen und erhält eine Matrix der Form d d 0 0 d rr 11 d rr (Eine quadratische Matrix wie oben links mit lauter Nullen außerhalb der Diagonalen heißt Diagonalmatrix) 6

7 b) Durch Multiplikation der k ten Zeile mit d 1 kk, k = 1,, r (Typ III) erhält man schließlich eine Matrix der Form B (35) Bemerkung: Allein durch Zeilenumformungen vom Typ I und II kann man A in eine Matrix B in sog Zeilenstufenform bringen 0 0 b 1j b 2j2 0 B = b rj wobei 1 j 1 < j 2 < < j r n und b iji 0 und b ij = 0 für 1 i < j i, i = 1,, r, und b ij = 0 falls j > r Beweis: Sei a 1j1 a mj1 die erste von 0 verschiedene Spalte von A 1 Durch Zeilenvertauschung erhält man eine Matrix A = (a ij ) mit a 1j1 0 2) Addiert man zu den Zeilen 2 bis m ein geeignetes Vielfaches der 1 Zeile von A, so erhält man eine Matrix C der Form 7

8 C = 0 0 a 1j1 0 C ) Verfährt man mit C so wie mit A in den Schritten 1) und 2), so erhält man eine Matrix der Form 0 0 c 1j1 0 0 c 2j2 C = 0 0 C 0 0 Fahre so fort Beispiel: A = j 1 = 1 j 2 = 2 j 3 = 4 j 4 = 5 8