Lineare Gleichungssysteme
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- Max Richter
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1 Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 5. Dezember 2007
2 Definition : Tomographie (Fortsetzung)
3 : Tomographie Definition: Ein lineares Gleichungssystem (LGS) ist ein System von n Gleichungen der Form m a ij x j = b i, 1 i n, j=1 mit Unbekannten x 1,..., x m und bekannten Koeffizienten a ij und b i. Äquivalent kann man schreiben Ax = b, wobei x R m gesucht ist, und A M(n, m) und b R n vorgegeben sind. Das Gleichungssystem heißt homogen, falls b = 0, sonst inhomogen. Die Lösungsmenge ist L b = {x R m Ax = b}.
4 : Tomographie Definition Transmissionskoeffizienten (2D) : Tomographie α 11 α 12 α 21 α 22 Schattenbild ergibt Gesamttransmission λ 1 = α 11 α 12, λ 2 = α 21 α 22, µ 1 = α 11 α 21, µ 2 = α 12 α 22. Logarithmieren, log λ 1 = log α 11 + log α 12 etc., führt auf das LGS log α 11 log λ log α log α 21 = log λ 2 log µ log α 22 log µ 2
5 (Fortsetzung) Lösung durch / Gauß-Algorithmus. Füge Daten A und b zur einer n (m + 1)-Matrix B = (A b) zusammen. Erlaubte Operationen: 1. Vertauschen zweier Zeilen von B. ( ) ( ) Vervielfachung einer Zeile von B mit Faktor α 0. ( ) ( ) Addition des α-fachen einer Zeile von B zu einer anderen. ( ) ( )
6 (Fortsetzung) Anwendung am folgenden LGS 4x 1 + 4x 2 + 3x 3 2x 4 = 16 (1) 2x 1 + 2x 2 + 3x 3 4x 4 = 14 (2) 5x 1 5x x x 4 = 23 3 (3) kompakt geschrieben: ( ) /3 11 /3 23 /3
7 (Fortsetzung) ( /3 11 /3 23 /3 ( 1 1 3/4 1 / ) 1/4 ) /3 11 /3 23 /3 ( ) 1 1 3/4 1 / / / /12 37 /6 37 /3 12 /37 ( 1 1 3/4 1 / ( 1 1 3/4 1 / ) )
8 (Fortsetzung) LGS ist nun auf, allgemein: ( heißt kann 0 sein )
9 (Fortsetzung) ( 1 1 3/4 1 / ) Diesem Schema entsprechen die umgeformten Gleichungen x 1 + x x x 4 = 4 x 3 2x 4 = 4. Auflösen nach x 1 und x 3 : x 1 = 4 x x x 4 x 3 = 4 + 2x 4 Wähle x 2 = s R, x 4 = t R beliebig x 1 = 1 s t x 3 = 4 + 2t
10 (Fortsetzung) Damit ist die allgemeine Lösung x = s t Anders gesagt, die Lösungsmenge ist L b = s t 0 2 s, t R
11 Definition: Der von den Vektoren u (1),..., u (k) R n aufgespannte Unterraum ist die Menge u (1),..., u (k) := { α 1 u (1) α k u (k) α 1,..., α k R }. α 1 u (1) α k u (k) heißt Linearkombinationen (LK) der Vektoren u (1),..., u (k). heißen auch Teilräume oder lineare Teilräume. Im Fall k = 0 setzen wir = {0}.
12 Satz: Die Lösungsmenge L 0 = {x R m Ax = 0} eines homogenen linearen Gleichungssystems ist stets ein Teilraum. Satz: Ist u R m irgendeine Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems Ax = b, ist also Au = b, dann ist die Lösungsmenge L b = {x R m Ax = b} gegeben durch L b = u + L 0 := {u + y y L 0 }. Beachte: L b kann leer sein, obwohl L 0 nie leer ist. Bemerkung: Mengen der Form u + L 0, wobei L 0 ein Unterraum ist, heißen auch affine Teilräume. Sie entstehen aus (linearen) Teilräumen durch Translation.
13 Anton und Berta sind Geschwister Anton hat doppelt so viele Schwestern wie Brüder Berta hat gleich viele Schwestern wie Brüder Wieviele Kinder gibt es in der Familie?
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