Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
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- Hildegard Boer
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1 Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg
2 Spezialfälle und Rechenregeln Spezialfälle der Matrimultiplikation A = (m n)-matri, B = (n m)-matri es eistiert A B und B A A quadratisch A A = A 2 eistiert A, B quadratisch A B eistiert und B A eistiert. Aber: Im Allgemeinen A B B A Ist E Einheitsmatri, dann gilt: Spezielle Rechenregeln A E = E A = A A = (m p)-matri, B = (p n)-matri. Damit gilt: A B und B T A T eistieren. B T A T = (A B) T A T A AA T ist symmetrische (p p)-matri und ist symmetrische (m m)-matri 32
3 Lineare : Einführung Beispiele linearer a) b) c) = = = = = = 2 39
4 Lineare : Einführung Beispiele linearer 2 a) = = 2 1 = 2 = 1 b) = 4 L = = 2 c) 1 2 = 1 unendlich viele Lösungen = 2 39
5 Lineare : Einführung Beispiele linearer 2 a) = = 2 1 = 2 = 1 b) = 4 L = = 2 c) 1 2 = 1 unendlich viele Lösungen = 2 Probleme: System lösbar oder nicht? Verfahren zum Auffinden von Lösungen Darstellung von mehrdeutigen Lösungen 39
6 Lineare : Einführung Beispiele linearer 2 a) = = 2 1 = 2 = 1 b) = 4 L = = 2 c) 1 2 = 1 unendlich viele Lösungen = 2 Probleme: System lösbar oder nicht? Verfahren zum Auffinden von Lösungen Darstellung von mehrdeutigen Lösungen Dazu gibt es: Den Gaußschen Algorithmus (erzeugt Dreiecksmatri) das Verfahren von Gauß-Jordan (modifizierte Gauß: erzeugt Einheitsmatri) 39
7 Allgemeines lineares Gleichungssystem Ein System von Gleichungen a a a 1n n = b 1 a a a 2n n = b 2 a m1 1 + a m a mn n = b m heißt lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten. Die a ij und b i heißen Koeffizienten des Gleichungssystems. In Matriform:. Lösungsmenge: A = b L = { : A = b 40
8 Lösungsdarstellung Beispiel für Enddarstellung: = = 7 Dabei bezeichnet: ( ) ( ) ( ) E R B = b N ( ) 4 = 7 kann nach Basisvariablen aufgelöst werden: 1 = 4 3, 2 = (allgemeine Lösung) In diesem Fall immer lösbar, zum Beispiel mit N = ( 3 4 ) = ( ) 0 0 B = ( 1 2 ) = ( ) 4 7 Gesucht: Verfahren zur Überführung beliebiger in diese Form 41
9 Lösung von LGS Elementare Umformungen Das sind Umformungen der Koeffizientenmatri, die die Lösung nicht verändern. Erlaubt ist Multiplikation einer Zeile mit beliebigen Zahlen c 0 Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile Vertauschen von Zeilen oder Spalten Lösungsalgorithmus Lösung mit Verfahren von Gauß-Jordan: Systematische Umformungen nach obigem Prinzip, bis Darstellung der Koeffizientenmatri in Einheits- und Restmatri ensteht Algorithmus und Lösungsvarianten siehe Vorlesung 42
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bzw. eine obere Dreiecksmatrix die Gestalt (U: upper) U = u 11 u 12 u 1n 1 u nn 0 u 22 u 2n 1 u 2n 0......... 0 0 u n 1n 1 u n 1n 0 0 0 u nn Eine nicht notwendig quadratische Matrix A = (a ij ) heißt obere
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133 e 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix 1 3 2 1 1 2 3 0. 1 3 2 1 2. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix 1 3 2 1 1 2 3 0. 1 3 2 1 Schritte des
Besteht eine Matrix nur aus einer Spalte (Zeile), so spricht man auch von einem Spaltenvektor (Zeilenvektor)
Matrizenrechnung. Matrizen Matrizen sind bereits im Kapitel Lineare Gleichungssysteme aufgetreten. Unter einer (m n) -Matrix A verstehen wir ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten. Der.
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127 Die Schritte des Gauß-Algorithmus sind nun die Folgenden: 1. Wir bestimmen die am weitesten links stehende Spalte, die Einträge 0 enthält. 2. Ist die oberste Zahl der in Schritt 1 gefundenen Spalte