Lineare Gleichungssysteme (LGS)

Transkript

1 Prof Dr M Helbig LA Vorlesung Lineare Gleichungssysteme (LGS) Fragen?

2 LGS - Begriffe Definition a) Ein lineares Gleichungssystem (LGS) in den Unbekannten x 1,, x n mit Koeffizienten a ij R ( 1 i m, 1 j n) besteht aus m 0 Gleichungen der Form: (I) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 (II) a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 (m) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m mit der rechten Seite/ Inhomogenität b 1,, b m ɛ R b) Ein LGS heißt homogen : b 1 = b 2 = = b m = 0 c) Ein LGS heißt inhomogen : nicht homogen d) Die Matrix (= Zahlenschema) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn heißt Koeffizientenmatrix des LGS e) Die Matrix (A b) = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn heißt erweiterte Koeffizientenmatrix des LGS b 1 b 2 b m

3 * Begriffe am LGS Diskutieren Sie die Begriffe an folgendem LGS und lösen Sie dieses: x 1 + x 2 + 3x 3 = 9 2x 1 + 4x 2 3x 3 = 1 2x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 1 Lösung

4 LGS - Gauß scher Algorithmus Frage: Wie kann man ein LGS allgemein und systematisch lösen? Dazu: 1 Elementare Zeilenumformungen (elt ZU) Typ V: Vertauschen zweier Zeilen Typ M: Multiplikation einer Zeile mit λ R\{0} Typ A: Addition eines λ-fachen einer Zeile auf eine andere Zeile (λ R) Satz Die elt ZU (angewendet auf die erweiterte Koeffizientenmatrix) verändern die Lösungsmenge des LGS nicht Beweis Typ V: trivial x 1 Typ M: x n löst a 1 x a n x n (I) = b x 1 x n löst λa 1 x λa n x n (I ) = λb = : = : x 1 Typ A: x 1 x n x n löst a 1 x a n x n (I) = b 1 und a 1x a nx n (II) = b 2 löst a 1 x 1 ++a n x n (I) = b 1 und (a 1+λa 1 )x 1 ++(a n+λa n )x n (II+ λi) = b 2 +λb 1 = : = :

5 2 Zeilenstufenform Definition Die Form der erweiterten Koeffizientenmatrix (A b) heißt Zeilenstufenform (ZSF) : 0 0 a 1 b a b 2 b 3 (A b) = a r b r b r b m mit den sogenannten Pivots a 1 0,, a r 0 mit r 0 Die zugehörigen Spalten heißen Pivotspalten (A b) hat reduzierte Zeilenstufenform (red ZSF) : (A b) = b 1 b 2 b 3 b r b r+1 b m Satz (Gauß-Algorithmus, Teil 1) Man kann jede erweiterte Koeffizientenmatrix (A b) mittels elt ZU in (reduzierte) Zeilenstufenform bringen Beweis/Algorithmus 0 0 Fall A = 0 = : (A b) ist schon in reduzierter Zeilenstufenform (r = 0, also 0 0 keine Pivots) Fall A 0:

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7 3 Ablesen der allgemeinen Lösung Definition und Satz (Gauß-Algorithmus, Teil 2) Die Variablen/Unbekannten x i (1 i n), die nicht einer Pivotspalte zugeordnet sind, heißen freie Variablen Diese werden wie feste Zahlen behandelt (und damit man sie nicht mit Pivot-Variablen verwechselt mit griechischen Buchstaben benannt) Man bekommt die Lösungsmenge des LGS durch Ablesen von unten nach oben : Wir illustrieren dies an folgendem Beispiel (A b) = freie Variablen: Ablesen von unten nach oben : (III) (II) (I) Allgemeine Lösung in Vektorform: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = = + α + β + γ + δ

8 LGS mit Parameter Lösen Sie folgendes LGS mit dem Gauß-Algorithmus in Abhängigkeit von dem Parameter t R: Lösung x 1 + 4x 2 2x 3 + 3x 4 = t 3x 1 + 5x 2 + 2x 4 = 5 7x 2 6x 3 + 7x 4 = 13

9 Eigener Lösungsversuch

10 Rätsel Anna ist 5 Jahre älter als ihre Schwester Hanna In 20 Jahren ist Anna doppelt so alt wie Hanna heute ist Wie alt sind die beiden heute? Lösung Eigener Lösungsversuch

11 In der Kneipe a) Wenn Sie nur das linke Bild betrachten: Was kostet ein Bier? Was kostet eine Tu te Erdnu sse? b) Wenn Sie beide Bilder betrachten: Was kostet ein Bier? Was kostet eine Tu te Erdnu sse? (Beide) Lo sung

12 Eigener Lösungsversuch

13 Handy-Tarife Gegeben zwei Anbieter: T-Mobile Magenta L: Flatrate Telefon und SMS, Grundgebühr 45 e/monat Fonic Classic: 9ct/SMS & Minute, keine Grundgebühr Bezeichne x 1 = Anzahl der Minuten bei T-Mobile x 2 = Anzahl der SMS bei T-Mobile y 1 = Anzahl der Minuten bei Fonic y 2 = Anzal der SMS bei Fonic Berechnen Sie die monatliche Gesamtkosten k T bei T-Mobile und k F bei Fonic und setzen Sie diese gleich Lösen Sie das entstandene LGS und interpretieren Sie die Lösungen graphisch Lösung Eigener Lösungsversuch

14 Zauberer Wie macht das der Zauberer bloß? Lösung

15 Eigener Lösungsversuch