Diskrete Strukturen. Sebastian Thomas RWTH Aachen Lineare Gleichungssysteme

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1 Diskrete Strukturen Sebastian Thomas RWTH Aachen Lineare Gleichungssysteme

2 Matrixarithmetik Setup R kommutativer Ring K Körper m, n N 0

3 Lineare Gleichungssysteme lineares Gleichungssystem (LGS) aus m Gleichungen und n Unbekannten x j für j [1, n] über R: A 1,1 x 1 + A 1,2 x A 1,n x n = b 1 A 2,1 x 1 + A 2,2 x A 2,n x n = b 2 A m,1 x 1 + A m,2 x A m,n x n = b m wobei A i,j, b i R für i [1, m], j [1, n]. kurz: für i [1, m] j [1,n] A i,j x j = b i

4 Lineare Gleichungssysteme (Forts.) Beispiel x 1, x 2, x 3, x 4 R äquivalent: 2x 1 + 2x 2 6x 3 10x 4 = 24 2x 1 + 3x 2 9x 3 7x 4 = 15 x 1 + x 2 3x 3 2x 4 = 4 es gibt ein a R mit x 1 = 1 x 2 = 1 + 3a x 3 = a x 4 = 2

5 Lineare Gleichungssysteme (Forts.) Darstellung mittels Matrizen: x A 1,1 A 1,2... A 1 1,n x 2 b =. A m,1 A m,2... A m,n b x m n Zusammenfassung der Daten in erweiterter Koeffizientenmatrix: A 1,1 A 1,2... A 1,n b A m,1 A m,2... A m,n b m

6 Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems Definition A R m n, b R m 1 Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems zur erweiterten Koeffizientenmatrix ( A b ) : A R m n Sol(A, b) := {x R n 1 Ax = b} Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems zur Koeffizientenmatrix A: Sol(A, 0)

7 Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems (Forts.) Beispiel A = R 3 4, b = 15 R Sol(A, b) =

8 Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems (Forts.) Lemma A R m n, b R m 1, x Sol(A, b) wohldefinierte Bijektion: Sol(A, 0) Sol(A, b), x 0 x + x 0 insbesondere: Sol(A, b) = x + Sol(A, 0)

9 Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems (Forts.) Proposition A R m n für x, x Sol(A, 0): x + x Sol(A, 0) 0 Sol(A, 0) für a R, x Sol(A, 0): ax Sol(A, 0)

10 Zeilenstufenform Definition A R m n i [1, m] i-ter Zeilenstufenindex von A: { min {j [1, n] A i,j 0} falls A i, 0 ech i = ech i (A) := n + i falls A i, = 0 Zeilenstufenanzahl von A: {i [1, m] A i, 0}

11 Zeilenstufenform (Forts.) Beispiel A = R Zeilenstufenindizes von A: ech 1 = ech 2 = ech 3 = Zeilenstufenanzahl von A:

12 Zeilenstufenform (Forts.) Definition A R m n A ist in Zeilenstufenform (ZSF): für i [1, m 1]: r Zeilenstufenanzahl von A ech i < ech i+1 A ist in reduzierter Zeilenstufenform (red. ZSF): A ist in ZSF und für i [1, r]: A,echi = e i

13 Zeilenstufenform (Forts.) A ist in ZSF: es gibt ein r [0, m] mit... 0 A 1,ech A 2,ech A = A r,echr : beliebig A i,echi 0 für i [1, r]

14 Zeilenstufenform (Forts.) A ist in red. ZSF: es gibt ein r [0, m] mit A = : beliebig

15 Zeilenstufenform (Forts.) Beispiel über R

16 Zeilenstufenform (Forts.) Lösbarkeitskriterium für LGS in ZSF A K m n in ZSF, b K m 1, r Zeilenstufenanzahl von A LGS zu ( A b ) hat Lsg. Zeilenstufenanz. von ( A b ) ist r Zeilenstufenanzahl von ( A b ) sei r Sol(A, b) = {x K n 1 für i [1, r] ist x echi = A 1 i,ech i (b i j [ech i +1,n] A i,j x j )}

17 Zeilenstufenform (Forts.) Algorithmus A = : beliebig : ungleich 0

18 Zeilenstufenform (Forts.) abhängige Variablen: r Unbekannte zu Stufenspalten ( -Sp.) freie Variablen: n r Unbekannte zu Nichtstufenspalten bringe freie Variablen auf rechte Seite ersetze freie Variablen durch Parameter a 1,..., a n r K löse, von unten nach oben, nach den abhängigen Variablen auf

19 Zeilenstufenform (Forts.) Beispiel A = R 3 4, b = 1 R Sol(A, b) =

20 Elementare Zeilenoperationen Definition k, l [1, m] Vertauschungsoperator der k-ten und l-ten Zeile: sw k,l : R m n R m n gegeben durch für A R m n A l, für i = k, sw k,l (A) i, = A k, für i = l, A i, für i [1, m] \ {k, l}

21 Elementare Zeilenoperationen (Forts.) k, l [1, m] mit k l, c R Additionsoperator des c-fachen der l-ten zur k-ten Zeile: add k,l,c : R m n R m n gegeben durch { A k, + ca l, für i = k, add k,l,c (A) i, = für i [1, m] \ {k} für A R m n A i,

22 Elementare Zeilenoperationen (Forts.) k [1, m], c R Multiplikationsoperator der k-ten Zeile um das c-fache: mul k,c : R m n R m n gegeben durch { ca k, für i = k, mul k,c (A) i, = für i [1, m] \ {k} für A R m n A i,

23 Elementare Zeilenoperationen (Forts.) elementarer Zeilenoperator auf R m n : Abbildung ρ: R m n R m n von der Form ρ = sw k,l für gewisse k, l [1, m] oder ρ = add k,l,c für gewisse k, l [1, m] mit k l, c R oder ρ = mulk,c für gewisse k [1, m], c R Zeilenoperator auf R m n : (endliches) Kompositum von elementaren Zeilenoperatoren

24 Elementare Zeilenoperationen (Forts.) Beispiel sw 1, add 3,2, 2 mul 1, 1 2

25 Elementare Zeilenoperationen (Forts.) Bemerkung für k, l [1, m]: sw k,l : R m n R m n ist invertierbar mit sw 1 k,l = sw l,k = sw k,l für k, l [1, m] mit k l, c R: add k,l,c : R m n R m n ist inv.bar mit add 1 k,l,c = add k,l, c für k [1, m], c R : mul k,c : R m n R m n ist invertierbar mit mul 1 k,c = mul k,c 1

26 Elementare Zeilenoperationen (Forts.) Korollar ρ Zeilenoperator auf R m n ρ invertierbar und ρ 1 ist Zeilenoperator auf R m n

27 Elementare Zeilenoperationen (Forts.) Proposition A, A K m n, b, b K m 1 ρ Zeilenoperator auf R (m+1) n mit ( A b ) = ρ( ( A b ) ) Sol(A, b ) = Sol(A, b)

28 Gauß-Eliminierung Satz A K m n für i [1, m]: li := min {ech h (A i 1 ) h [i, m]} für i [1, m]: falls (Ai 1 ) h, 0 für ein h [i, m]: sei k i [i, m] mit l i = ech ki (A i 1 ) sonst: k i := i für i [1, m]: A i := sw i,ki (A i 1 ) A 0 := A für i [1, m]: A i := ( h [i+1,m] add h,i, (A i ) h,l i (A )(A i ) 1 i ) i,l i dann: für i [1, m], h [i + 1, m]: echh (A i ) > ech i (A i ) für i [1, m], h [1, i 1]: ech h (A i ) < ech h+1 (A i ) A m ist in ZSF

29 Gauß-Eliminierung (Forts.) A sei in ZSF, r Zeilenstufenanzahl von A für i [1, r]: li := ech i (A i+1 ) für i [1, r]: A i := mul i,(ai+1 ) 1 (A i+1 ) i,l i A r+1 := A für i [1, r]: A i := ( h [1,i 1] add h,i, (A i ) h,l i )(A i ) dann: für i [1, r], h [1, m]: ech h (A i ) = ech h (A) Korollar A K m n für i [1, r], h [i, r], k [1, m]: A k,echh = δ k,h A1 ist in red. ZSF es existiert ein Zeilenoperator ρ auf K m n : ρ(a) ist in red. ZSF

30 Gauß-Eliminierung (Forts.) Beispiel

31 Gauß-Eliminierung (Forts.)

32 Elementarmatrizen Definition k, l [1, n] Vertauschungsmatrix der k-ten und l-ten Zeile: Sw k,l := sw k,l (E n ) k, l [1, n] mit k l, c R Additionsmatrix des c-fachen der l-ten zur k-ten Zeile: Add k,l,c := add k,l,c (E n )

33 Elementarmatrizen (Forts.) k [1, n], c R Multiplikationsmatrix der k-ten Zeile um das c-fache: Mul k,c := mul k,c (E n ) Elementarmatrix in R n n : P R n n von der Form P = Swk,l für gewisse k, l [1, n] oder P = Addk,l,c für gewisse k, l [1, n] mit k l, c R oder P = Mul k,c für gewisse k [1, n], c R

34 Elementarmatrizen (Forts.) Beispiel in Q 3 3 : Sw 2,3 = Add 3,1,2 = Mul 2, 3 =

35 Elementarmatrizen (Forts.) Bemerkung k, l [1, n] k l, c R e l für i = k (Sw k,l ) i, = e k für i = l e i für i [1, n] \ {k, l} (Add k,l,c ) i, = { e k + c e l e i für i = k für i [1, n] \ {k} c R (Mul k,c ) i, = { c e k e i für i = k für i [1, n] \ {k}

36 Elementarmatrizen (Forts.) Proposition A R m n k, l [1, m] sw k,l (A) = Sw k,l A k, l [1, m] mit k l, c R add k,l,c (A) = Add k,l,c A k [1, m], c R mul k,c (A) = Mul k,c A

37 Elementarmatrizen (Forts.) Korollar für k, l [1, n]: Sw k,l GL n (R) mit Sw 1 k,l = Sw l,k = Sw k,l für k, l [1, n] mit k l, c R: Add k,l,c GL n (R) mit Add 1 k,l,c = Add k,l, c für k [1, n], c R : Mul k,c GL n (R) mit Mul 1 k,c = Mul k,c 1

38 Elementarmatrizen (Forts.) Korollar ρ Zeilenoperator auf R m n ρ entsprechender Zeilenoperator auf R m m ρ (E m ) GL m (R) und für A R m n : ρ(a) = ρ (E m ) A

39 Inversion von Matrizen Invertierbarkeitskriterium n N 0, A K n n äquivalent: A GL n (K) für jeden Zeilenoperator ρ auf K n n : ρ(a) in reduzierter Zeilenstufenform ρ(a) = E n es gibt einen Zeilenoperator ρ auf K n n mit ρ(a) = E n ρ Zeilenoperator auf K n n mit ρ(a) = E n A 1 = ρ(e n )

40 Inversion von Matrizen (Forts.) Algorithmus zur Inversenbestimmung A K n n best. Zeilenop. ρ auf K n 2n : ρ( ( A E n ) ) ist in red. ZSF falls ρ( ( A E n ) ) = ( En B ) für ein B K n n : A GL n (K) mit A 1 = B sonst: A / GL n (K)

41 Inversion von Matrizen (Forts.) Beispiel A = GL 3 (Q) mit A 1 =

42 Lineare Gleichungen über kommutativen Ringen Definition a R 1 n, b R 1 1 Lösungsmenge der linearen Gleichung zur erweiterten Koeffizientenmatrix ( a b ) : Sol(a, b) a R 1 n Lösungsmenge der homogenen linearen Gleichung zur Koeffizientenmatrix a: Sol(a, 0)

43 Lineare Gleichungen über kommutativen Ringen (Forts.) Erinnerung {(x 1, x 2 ) Z Z x x = 24} = (12, 160) + Z (28, 373) {(x 1, x 2 ) Z Z x x = 4} = Beispiel Sol( ( ), ( 24 ) ) = Sol( ( ), ( 4 ) ) = ( ) ( ) Z

44 Lineare Gleichungen über kommutativen Ringen (Forts.) Erinnerung R = Z oder R = K[X ], a 1, a 2, b R es gibt x 1, x 2 R mit x 1 a 1 + x 2 a 2 = b gcd(a 1, a 2 ) b p 1, p 2, q R mit a 1 = p 1 gcd(a 1, a 2 ), a 2 = p 2 gcd(a 1, a 2 ), b = q gcd(a 1, a 2 ) x 1, x 2 R mit x 1 a 1 + x 2 a 2 = gcd(a 1, a 2 ) {(x 1, x 2 ) R R x 1 a 1 + x 2 a 2 = b} { R R falls (a 1, a 2 ) = (0, 0) = (qx 1, qx 2 ) + R (p 2, p 1 ) falls (a 1, a 2 ) (0, 0)

45 Lineare Gleichungen über kommutativen Ringen (Forts.) Lösbarkeitskriterium für lineare Gleichungen in Z, K[X ] R = Z oder R = K[X ], a R 1 2, b R LG zu ( a b ) hat Lsg. gcd(a 1, a 2 ) b p 1, p 2, q R mit a 1 = p 1 gcd(a 1, a 2 ), a 2 = p 2 gcd(a 1, a 2 ), b = q gcd(a 1, a 2 ) x Sol(a, gcd(a 1, a 2 )) R 2 1 falls a = 0 ( ) Sol(a, b) = qx p2 + R falls a 0 p 1

46 Lineare Gleichungen über kommutativen Ringen (Forts.) Erinnerung R = Z oder R = K[X ], m, a, b R es gibt x R mit xa m b gcd(m, a) b p, q, r R mit m = p gcd(m, a), a = q gcd(m, a), b = r gcd(m, a) x R mit x q p 1 { R falls (m, a) = (0, 0) {x R xa m b} = rx + Rp falls (m, a) (0, 0)

47 Lineare Gleichungen über kommutativen Ringen (Forts.) Lösbarkeitskriterium für lin. Gleichungen in Z/n, K[X ]/f R = Z oder R = K[X ], m, a, b R LG zu ( [a] m [b] m ) hat Lsg. gcd(m, a) b p, q, r R mit m = p gcd(m, a), a = q gcd(m, a), b = r gcd(m, a) x R mit [x ] = [q] 1 in R/p Sol([a] m, [b] m ) { R/m falls (m, a) = (0, 0) = [r] m [x ] m + (R/m) [p] m falls (m, a) (0, 0)