Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem

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1 Bau und Gestaltung, Mathematik, T. Borer Aufgaben / Aufgaben Matrizen Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem Lernziele - die Bezeichnung der Matrixelemente kennen und verstehen. - den Typ bzw. das Format einer Matrix erkennen können. - die Transponierte einer Matrix bestimmen können. - beurteilen können, ob eine Matrix symmetrisch, schiefsymmetrisch ist. - die Gleichheit zweier Matrizen beurteilen können. - zwei Matrizen addieren bzw. voneinander subtrahieren können. - die Rechenregeln der Addition, Subtraktion und des Transponierens kennen, verstehen und anwenden können. - eine Matrix mit einem Skalar multiplizieren können. - die Rechenregeln der Multiplikation mit einem Skalar kennen, verstehen und anwenden können. - wissen und verstehen, unter welchen Bedingungen zwei Matrizen miteinander multipliziert werden können. - zwei Matrizen miteinander multiplizieren können. - die Rechenregeln der Matrixmultiplikation kennen, verstehen und anwenden können. - die Matrix-Rechenoperationen in einfacheren Problemstellungen anwenden können. - ein lineares Gleichungssystem in der Matrixdarstellung schreiben können. - aus der Matrixdarstellung eines linearen Gleichungssystems die einzelnen Gleichungen herauslesen können. - aus einem linearen Gleichungssystem die zugehörige Koeffizientenmatrix, erweiterte Koeffizientenmatrix herauslesen können. - einen neuen Sachverhalt analysieren und beurteilen können. Aufgaben. Gegeben ist die folgende Matrix: A = - 6 a) Geben Sie den Typ bzw. das Format von A an. b) Geben Sie die folgenden Matrixelemente an: i) a ii) a 3 iii) a 33. Papula : 7/, 7/.3 Bestimmen Sie w, x, y und z so, dass die folgende Gleichheit gilt: x + y y = 5 w + z w - z 6. Papula : 7/, 7/5.5 Papula : 8/6, 8/7.6 Betrachten Sie noch einmal die Matrizen der Aufgabe 8/7 (Papula ). Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke (falls möglich): a) A (B + C) 3.. m_bgm_a.pdf /6

2 Bau und Gestaltung, Mathematik, T. Borer Aufgaben / b) A B + A C c) (B A) T d) A T B T e) B T A T.7 Gegeben ist die folgende Matrix: A = Berechnen Sie A 8 = A A A A A A A A Hinweis: - Überlegen Sie sich, wie Sie den Rechenaufwand gering halten können. Es sind nämlich nicht sieben Matrixmultiplikationen nötig..8 Gegeben ist die folgenden Matrix: 7 A = Bestimmen Sie für die in a) bis d) angegebenen Matrixmultiplikationen jeweils i) das für die Multiplikation notwendige Format der Matrix B. ii) das Ergebnis der Matrixmultiplikation. a) B ist die Nullmatrix. A soll von links mit B multipliziert werden. b) B ist die Nullmatrix. A soll von rechts mit B multipliziert werden. c) B ist die Einheitsmatrix. A soll von links mit B multipliziert werden. d) B ist die Einheitsmatrix. A soll von rechts mit B multipliziert werden..9 In gilt, dass aus a b = folgt, dass a = oder b =. Die analoge Aussage für Matrizen gilt jedoch nicht! Finden Sie zwei Matrizen A und B, so dass A B die Nullmatrix ist, wobei jedoch weder A noch B die Nullmatrix ist.. Gegeben ist die Matrixdarstellung eines linearen Gleichungssystems mit den vier Unbekannten x bis x : Dies ist von der Form A x = c mit den Matrizen A = Ac = x x x = x x x x = x 3 x c = m_bgm_a.pdf /6

3 Bau und Gestaltung, Mathematik, T. Borer Aufgaben / Man nennt A die Koeffizientenmatrix, Ac die erweiterte Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems. Schreiben Sie die einzelnen Gleichungen des Gleichungssystems auf.. Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem: x + x 3 = - - 3x + x = 5 8x - x - x 3 = x - x 3 = - a) Geben Sie die Koeffizientenmatrix an. b) Geben Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix an. c) Schreiben Sie das lineare Gleichungssystem in der Matrixdarstellung.. Im Unterricht wurde zur Einführung in das Thema Matrizen ein Beispiel zum statischen Gleichgewicht eines Balkens diskutiert. Dabei ist das folgende lineare Gleichungssystem mit den vier Unbekannten F Ax, F Ay, F s und F GL aufgetreten: F Ax - F s = F Ay - F GL = F GB sin() F s - cos() F GL = cos() F GB sin() F Ax - cos() F Ay = - cos() F GB Schreiben Sie das lineare Gleichungssystem in der Matrixdarstellung..3 In einem nahezu geschlossenen biologischen System leben drei Insektenpopulationen. Jedes Jahr schwärmen die Insekten aus, wobei alle Tiere den eigenen Stamm verlassen und je zur Hälfte zu einem der beiden anderen Stämme migrieren. a, b und c seien die Individuenzahlen der drei Populationen zu Jahresanfang. a', b' und c' seien die Individuenzahlen der drei Populationen nach der Migration am Ende des Jahres. a) Bestimmen Sie die Individuenzahlen a', b' und c' nach einem Jahr. b) Bestimmen Sie die Matrix A, so dass die Migration wie folgt beschrieben werden kann: a' a b' = A b c' c Hinweis: - Das Resultat in a) bildet ein lineares Gleichungssystem. - Dieses lineare Gleichungssystem kann in der Matrixdarstellung mit Hilfe einer Matrix A geschrieben werden. c) Bestimmen Sie die Individuenzahlen a'', b'' und c'' nach zwei Jahren in Abhängigkeit der Individuenzahlen a, b und c zu Beginn des ersten Jahres.. Betrachten Sie zwei dreikomponentige Vektoren, nämlich einen festen Vektor a und einen variablen Vektor x. Die beiden Vektoren können auch als 3x-Matrizen aufgefasst werden: a Vektor a = a a 3 x Vektor x = x x 3 a Matrix a = a a 3 x Matrix x = x x m_bgm_a.pdf 3/6

4 Bau und Gestaltung, Mathematik, T. Borer Aufgaben / a) Das Skalarprodukt a x der beiden Vektoren a und x kann als Matrixprodukt A S x der beiden Matrizen A S und x aufgefasst werden. Dabei sollen die folgenden Bedingungen gelten: - Die Matrixelemente von A S hängen nur von den Komponenten des Vektors a ab. - Das Matrixprodukt A S x ist eine x-matrix, dessen einziges Matrixelement gerade das Skalarprodukt a x ist. Bestimmen Sie die Matrix A S. b) Das Vektorprodukt ax der beiden Vektoren a und x kann als Matrixprodukt A V x der beiden Matrizen A V und x aufgefasst werden. Dabei sollen die folgenden Bedingungen gelten: - Die Matrixelemente von A V hängen nur von den Komponenten des Vektors a ab. - Das Matrixprodukt A V x ist eine 3x-Matrix, deren drei Matrixelemente gerade die Komponenten des Vektorproduktes ax sind. Bestimmen Sie die Matrix A V. 3.. m_bgm_a.pdf /6

5 Bau und Gestaltung, Mathematik, T. Borer Aufgaben / Lösungen. a) x 3 - Matrix b) i) a = - ii) a 3 = iii) a 33 existiert nicht. siehe Papula.3 w = 5, x = 3, y =, z = -. siehe Papula.5 siehe Papula a) A (B + C) = b) A B + A C = -3 5 c) (B A) T existiert nicht d) A T B T existiert nicht 5 - e) B T A T = A = A A = A = (A ) = A A = A 8 = (A ) = A A =.8 a) i) m x 3 - Matrix (m beliebig) ii) m x - Nullmatrix b) i) x n - Matrix (n beliebig) ii) 3 x n - Nullmatrix c) i) 3 x 3 - Matrix ii) B = A d) i) x - Matrix ii) B = A m_bgm_a.pdf 5/6

6 Bau und Gestaltung, Mathematik, T. Borer Aufgaben /. x + x + x 3 = - 3x + x - x = 5 8x - x - x 3 + x = -3. a) A = b) - -3 Ac = c) -3 x x = 5 x sin() -cos() - F Ax F - F Ay GB = sin() -cos() F s cos() F GB F GL - cos() F GB.3 a) a' = b + c b' = a + c c' = a + b b) A = a'' a' a c) b'' = A b' = A A b = A a b = c'' c' c c a a + b + c b = a + b + c c a + b + c. a) A S = a a a 3 -a 3 a b) A V = a 3 -a -a a 3.. m_bgm_a.pdf 6/6