bzw. eine obere Dreiecksmatrix die Gestalt (U: upper)

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1 bzw. eine obere Dreiecksmatrix die Gestalt (U: upper) U = u 11 u 12 u 1n 1 u nn 0 u 22 u 2n 1 u 2n u n 1n 1 u n 1n u nn Eine nicht notwendig quadratische Matrix A = (a ij ) heißt obere Dreiecksmatrix wenn a ij = 0 für alle i > j gilt. Nachdem wir nun einige spezielle Matrizen eingeführt haben, wollen wir einige Operationen auf der Menge der Matrizen erklären. Sei A eine m n-matrix. Durch Vertauschen der Zeilen und Spalten von A erhaltenwireinen m-matrixa (Sprechweise:Atransponiert),diesogenannte 303

2 transponierte Matrix zu A. a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n.... Für A = a i1 a i2 a ij a in.... a m1 a m2 a mj a mn a 11 a 21 a i1 a m1 a 12 a 22 a i2 a m2 ist A.... =. a 1j a 2j a ij a mj.... a 1n a 2n a in a mn Es gilt stets (A ) = A. Beispiel 6.3 Für die 3 4-Matrix A =

3 ist A die 4 3-Matrix mit A = Symmetrische Matrizen Eine quadratische Matrix A heißt symmetrisch, falls A = A. Für eine symmetrische Matrix A gilt also a ij = a ji für alle i,j. Schiefsymmetrische Matrizen Eine quadratische Matrix A heißt schiefsymmetrisch, falls A = A. Für eine schiefsymmetrische Matrix A gilt also a ij = a ji für alle i,j; insbesondere ist a ii = 0 für alle i. Beispiel 6.4 Die Matrix A ist symmetrisch A =

4 Die Matrix B ist schiefsymmetrisch: B = Wir kommen nun zur Addition von Matrizen. Weil Vektoren spezielle Matrizen sind, gelten dieselben Regeln auch für Vektoren.. Addition Zwei Matrizen A,B R (m,n) werden addiert, indem komponentenweise addiert wird, d.h. für A = (a ij ) und B = (b ij ) ist A+B = a 11 +b 11 a 12 +b 12 a 1n +b 1n a 21 +b 21 a 22 +b 22 a 2n +b 2n... a m1 +b m1 a m2 +b m2 a mn +b mn Entsprechend ist die Differenzmatrix A B durch komponentenweise Subtraktion definiert. Es werden nur Matrizen mit gleicher Anzahl von Zeilen und Spalten addiert oder subtrahiert. 306.

5 Insbesondere werden zwei Vektoren x,y R n addiert bzw. subtrahiert, indem sie koordinatenweise addiert bzw. subtrahiert werden, d.h. x 1 y 1 x 1 ±y 1 x x±y = 2. ± y 2. = x 2 ±y 2.. x n +y n x n y n Multiplikation mit einem Skalar Sei A eine m n-matrix, und sei λ R. Die Matrix A wird mit dem Skalar λ multipliziert, indem jede Komponente von A mit λ multipliziert wird, d.h. für A = (a ij ) ist λa 11 λa 12 λa 1n λa λ A = 21 λa 22 λa 2n.... λa m1 λa m2 λa mn 307

6 Entsprechend wird ein Vektor x R n mit einem Skalar λ R multipliziert, indem jede Koordinate von x mit λ multipliziert wird, d.h. x 1 λ x 1 x λ x = λ 2. = λ x 2.. λ x n x n Im folgenden fassen wir einige Rechenregeln für die Addition und skalare Multiplikation von Matrizen zusammen: Seien A,B,C m n-matrizen und seien λ,µ R Skalare. Kommutativgesetz: Assoziativgesetze: Distributivgesetze: A+B = B+A (A+B)+C = A+(B+C) (λµ)a = λ(µa) λ(a + B) = λa + λb (λ+µ)a = λa+µa 308

7 Spezialisierung auf Vektoren liefert dieselben Rechengesetze für Vektoren, d.h. für x,y,z R n und λ,µ R gilt: Kommutativgesetz: Assoziativgesetze: Distributivgesetze: x+y = y+x (x+y)+z = x+(y+z) (λµ)x = λ(µx) λ(x + y) = λx + λy (λ+µ)x = λx+µx. Jeder Vektor x R n lässt sich mit Hilfe von Einheitsvektoren zerlegen: x 1 x x = 2. = x 1 e 1 +x 2 e 2 + +x n e n. x n Wir sagen auch, dass x eine Linearkombination von e 1,...,e n ist. Dazu später mehr. 309

8 Die Operation des Transponierens ist mit den hier erklärten Rechenoperationen (Addition und Multiplikation mit einem Skalar) verträglich: (A+B) = A +B und (λa) = λa. Es gibt kein Produkt von m-vektoren, das wieder einen m-vektor liefert. Man kann aber sehr wohl ein Skalarprodukt von Vektoren definieren, d.h. das Produkt zweier reeller m-vektoren ist eine reelle Zahl: Skalarprodukt Seien x,y R n. Dann heißt die reelle Zahl x,y = n x i y i i=1 das Skalarprodukt der Vektoren x und y. DieZahl x,x = n i=1 x2 i bezeichnenwirals x (NormoderLängedes Vektors x). Es ist der Abstand des Punktes x vom Ursprung. Wir fassen im folgenden einige Eigenschaften des Skalarproduktes zusammen: 310

9 Seien x,y,z R n und sei λ R. Dann gilt [S1] x,y = y,x. [S2] λ x,y = x,λ y = λ x,y. [S3] x+y,z = x,z + y,z. [S4] x,y x y. [S5] λx = λ x. [S6] x = 0 x = 0. [S7] x+y x + y. [S8] x+y x y. Im R 3 hat das Skalarprodukt eine schöne Interpretation. Wenn wir wieder drei orthogonale Richtungen (x, y und z-richtung) auszeichnen und der Vektor a = x 1 y 1 den Pfeil vom Ursprung zum Punkt y 1 bezeichnet z 1 z 1 x 1 311

10 x 2 (analog für b = y 2 ), so gilt z 2 a,b = cos(α) a,a b,b = cos(α) a b wobei α der Winkel zwischen den Pfeilen ist, die zu a und b gehören. Für Vektoren der Länge 1 ist also das Skalarprodukt der Cosinus des Winkels zwischen den Vektoren. Insbesondere bedeutet Skalarprodukt 0, dass die Pfeile senkrecht aufeinander stehen. 312

11 Multiplikation von Matrizen Sei A eine m n-matrix, und sei B eine n k-matrix (beachte: die Anzahl der Spalten von A muss gleich der Anzahl der Zeilen von B sein!). Dann ist das Produkt A B der beiden Matrizen definiert als die m k-matrix C, deren Komponente c ij das Skalarprodukt aus i-ter Zeile von A und j-ter Spalte von B ist, also c ij = n a ip b pj = p=1 a i1. a in, b 1j. b nj Wir können das Skalarprodukt als ein spezielles Matrixprodukt auffassen. Seien a,b R n zwei Vektoren. Dann ist a eine 1 n-matrix und b eine n 1 Matrix. Somit existiert das Matrixprodukt a b, und es gilt n a b = a j b j = a,b. j=1 Ferner ist durch die Definition des Produktes zweier Matrizen auch ein Matrix- Vektor-Produkt erklärt, weil ein Vektor ja auch als eine Matrix aufgefasst werden kann. 313.

12 Beispiel 6.5 (1) Seien 1 5 A = , B = ( ) Dann ist C = A B = (2) Sei A = und b = 4 1 ( ) 1 2 Dann ist A b =

13 Bevor wir einige Rechenregeln für die Matrizenmultiplikation zusammenstellen, einige wichtige Bemerkungen: Auch wenn für zwei Matrizen A und B beide Produkte definiert sind, gilt i.a. A B B A. Falls A B = B A gilt, dann heißen A und B vertauschbar. Beispiel 6.6 Es gilt ( ) ( ) ( ) ( ) = = ( ) ( ) Sei A eine m n-matrix, und seien I n, I m die Einheitsmatrizen, dann gilt A I n = A = I m A. Außerdem gilt für die Multiplikation mit Nullmatrizen: Ferner gilt (A B) = B A. A 0 = 0, 0 A =

14 Rechenregeln für Matrizen In den folgenden Summen und Produkten seien A,B,C Matrizen, so dass die entsprechenden Summen und Produkte auch existieren. Weiter sei λ R ein Skalar. Assoziativgesetze: (AB)C = A(BC) = ABC λ(ab) = (λa)b = A(λB) Distributivgesetze: A(B+C) = AB+AC (A+B)C = AC+BC 6.3 Lösungen linearer Gleichungssysteme Viele Anwendungsprobleme führen auf die Untersuchung von Matrix-Vektor- Produkten in der folgenden Form. Seien A eine m n-matrix und x R n ein Vektor mit den Koordinaten x i, 1 i n. Dann existiert das Produkt A x und es ist 316

15 a 11 a 12 a 1n x 1 a A x = 21 a 22 a 2n x a 11 a m2 a mn x n = a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2n x n. a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n = x 1 a 11 a 21. a m1 +x 2 a 12 a 22. a m2 + +x n a 1n a 2n. a mn Oft ist dabei die Matrix A und das Ergebnis b = A x vorgegeben und der Vektor x zu bestimmen. In diesem Abschnitt wollen wir Verfahren kennenlernen,. 317

16 wie wir solche Gleichungssysteme A x = b (6.2) lösen können. Beachten Sie, dass man das Lösen eines linearen Gleichungssystems auch wie folgt interpretieren kann: Man versucht, den Vektor b als Summe der mit den Zahlen x i multiplizierten Spalten der Matrix A zu schreiben. Zunächst einige Bezeichnungen: Das Gleichungssystem (6.2) heißt homogen, falls b = 0 ist, andernfalls inhomogen. Wir nennen das Gleichungssystem A x = 0 das zu A x = b gehörende homogene Gleichungssystem. Sei v eine Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems Wenn A x = b L h = {x : A x = 0} die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen Gleichungssystems ist und L i = {x : A x = b} die Lösung des inhomogenen Systems bezeichnet, so gilt L i = L h +v 318

17 wobei L h + v die Menge {x + v : x L h } bezeichnet. Mit anderen Worten: Die Lösungsmenge des inhomogenen Gleichungssystems erhält man, indem man eine spezielle Lösung v bestimmt und dazu die Lösungen des homogenen Systems addiert. Deshalb beginnen wir mit der Beschreibung eines Lösungsverfahrens für das homogene lineare Gleichungssystem. Lösung des homogenen Systems Wir formen die Matrix A R (m,n) in der homogenen Gleichung A x = 0 mit Hilfe folgender sogenannter elementarer Zeilenumformungen um. Erlaubt sind Vertauschen von Zeilen Addition des λ-fachen von Zeile i zu Zeile j Multiplikation einer Zeile mit λ

18 Zwei Matrizen A und B, die durch elementare Zeilenumformungen auseinander hervorgehen, nennen wir zeilenäquivalent. Man kann sich leicht überlegen, dass man die Matrix A durch elementare Zeilenumformungen in eine obere Dreiecksmatrix A transformieren kann, also a 11 a 12 a 13 a 1n 0 a 22 a 23 a 2n..... A = 0 0 a rr a rn Dabeikannmanerreichen,dassindenerstenrZeilendererste(vonlinksgesehen) Eintrag,z.B.a iji,gerade1ist.beachte,dassj voniabhängt(undnichtunbedingt j = igilt),deshalbschreibenwirj i.wirfordernnochj 1 < j 2 <...j r.diematrix hat also folgende Form: 320

19 A = a 1,j1 a 2,j2 a 3,j3... a r,jr Wir nennen eine solche Matrix zeilenreduziert. Ferner kann man erreichen, dass die Spalten j 1,j 2,...,j r Einheitsvektoren sind. Wir können also die folgende Form ereichen, die wir zeilenreduzierte Normalform nennen wollen: 321

20 A = Wo hier jeweils nichts steht, soll eine Null stehen, insbesondere können noch einige Nullzeilen vorhanden sein. Es können auch einige Nullen vor der ersten 1, bzw.dem ersten von Null verschiedenen Eintrag a 1j1 in der ersten Zeile stehen (das bedeutet dann j 1 1). Um die Lösungen linearer Gleichungssysteme zu bestimmen, ist es aber nur wichtig, dass man A in eine obere Dreiecksmatrix transformiert mit j 1 < j 2 <...j r. Die zeilenreduzierte Normalform ist nicht unbedingt notwendig. Man kann zeigen: Jede Matrix ist zeilenäquivalent zu genau einer Matrix in zeilenreduzierter Normalform, die zeilenreduzierte Form hingegen ist nicht eindeutig. 322

21 Beispiel 6.7 Die beiden Matrizen ( ) 1 1 A = 0 1 und B = ( ) sind offenbar beide zeilenreduziert. Ferner sind die beiden Matrizen zeilenäquivalent:manerhältbausadurchadditionderzweitenzeilevona.beidematrizen sind nicht in zeilenreduzierter Normalform: Die zugehörige zeilenreduzierte Normalform ist die Einheitsmatrix ( ) Es gilt nun: Satz 6.1 Die Lösungsmenge von A x = 0 ist gleich der Lösungsmenge von A x = 0. Dieser Satz ist von grundlegender Bedeutung für das Lösen von linearen Gleichungssystemen, weil Gleichungssysteme, deren Koeffizientenmatrix obere Dreiecksform hat, ganz einfach lösbar sind. Die hier auftretende Zahl r heißt der Rang der Matrix. Die folgenden Beispiele zeigen, dass das zugehörige Gleichungssystem dann n r Freiheitsgrade hat, d.h. man kann n r Variable frei wählen, die anderen sind dann bestimmt. 323