(c) x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 + 6x 2 3x 3 = 2 6x 1 + 6x x 3 = 5

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1 Musterlösungen zu Mathematik II (Elementare Lineare Algebra) Blatt Nathan Bowler A: Präsenzaufgaben. Zeilenstufenform und reduzierte Zeilenstufenform erkennen Welche der folgenden Matrizen sind in Zeilenstufenform? Welche sind in reduzierten Zeilenstufenform? (a) (b) ( ) (c) ( ) (d) ( ) Lösung: (a) ist nicht in Zeilenstufenform, weil die zweite Zeile keine führende hat. (b) is in Zeilenstufenform, aber nicht in reduzierter Zeilenstufenform, weil es eine 5 über der führenden in der zweiten Zeile gibt. In (c) is diese führende nicht mehr da (die zweite Zeile besteht nur aus Nullen), und in (d) gibt es eine Null über dieser führenden. Also sind (c) und (d) in reduzierter Zeilenstufenform.. Gauß-Verfahren Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Verfahrens:. x + x = x + 6x x = 6x + 6x + x = 5 Lösung: Die erweiterte Koeffizientenmatrix ist Der erste von Null verschiedene Eintrag in der ersten Spalte ist die in der zweiten Zeile, also vertauschen wir die erste und zweite Zeilen: Jetzt teilen wir die erste Zeile durch, um da eine führende zu kriegen:

2 Wir subtrahieren das Sechsfache der ersten Zeile von der dritten Zeile, damit wir nur Nullen unter dieser führenden haben: Wir multiplizieren die zweite Zeile durch -, um da eine führende zu kriegen: Wir addieren das Sechsfache der zweiten Zeile auf die dritte Zeile, damit wir nur Nullen unter dieser führenden haben: Wir teilen die dritte Zeile durch, um da eine führende zu kriegen: Die Matrix ist jetzt in Zeilenstufenform, also betrachten wir wieder das entsprechende Gleichungssystem: x + x x = x x = 0 = Weil die letzte Gleichung keine Lösungen hat, ist dieses System nicht lösbar. Deshalb war das usrprüngliche Gleichungssystem auch nicht lösbar.. Gauß-Jordan-Verfahren Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Jordan-Verfahrens: x + x = 5 x x = 4x x = Lösung: Die erweiterte Koeffizientenmatrix ist Wir teilen die erste Zeile durch : 5 4 0

3 Wir subtrahieren das Vierfache der ersten Zeile von der Dritten: 5 0 Wir addieren das Zweifache der zweiten Zeile auf die Dritte: Wir teilen die dritte Zeile durch 6: Wir subtrahieren die -Fache der dritten Zeile von dem Ersten: Wir addieren das Zweifache der dritten Zeile auf die Zweite: Die Matrix is jetzt in reduzierter Zeilenstufenform. Die einzige Lösung ist (, 4, 6 ). B: Aufgaben. Führende und freie Variablen, Rückwärtssubstitution, Gauß-Jordan Verfahren Wir gehen davon aus, dass die erweiterte Koffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystem in den Variablen x, x,..., x 6 durch elementare Zeilenumformungen auf die folgende Zeilenstufenform gebracht wurde: (a) Welches sind die führenden und welches sind die freien Variablen? (b) Finden Sie die allgemeine Lösung durch Rückwärtssubstitution. (c) Finden Sie die allgemeine Lösung durch anwendung des Gauß-Jordan-Verfahrens. Lösung; (a) Die führende Variablen sind x, x und x 5. Die freie Variablen sind x, x 4 und x 6.

4 (b) Wir setzen x := r, x 4 := s und x 6 := t. Die dritte Gleichung ist x 5 x 6 =. Das heißt, x 5 t =, also x 5 = t. Die zweite Gleichung ist x + x + x 4 =. Das heißt, x +r+s =, also x = r s. Die erste Gleichung ist x +x +x x 4 x 5 +x 6 =. Substitution für x...x 6 in dieser Gleichung ergibt x +( r s)+r s (t )+t =, woraus folgt x = r + 5s + t. Die allgemeine Lösung ist deshalb die Menge {(r + 5s + t, r s, r, s, t, t) r, s, t R}. (c) Wir subtrahieren das Zweifache der zweiten Zeile von der Ersten: Wir addieren die dritte Zeile auf die Erste: Die Matrix ist jetzt in reduzierter Zeilenstufenform. Wir setzen x := r, x 4 := s und x 5 := t. Dann wird die erste Gleichung x r 5s t =, woraus folgt x = r + 5s + t. Ähnlicherweise ergibt sich aus der Zweiten Gleichung, dass x = r s, und aus der Dritten, dass x 5 = t. Die allgemeine Lösung ist deshalb die Menge {(r + 5s + t, r s, r, s, t, t) r, s, t R}.. Gauß-Verfahren Stellen Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix für das folgende lineare Gleichungssystem auf und bestimmen Sie die allgemeine Lösung mit dem Gauß-Verfahren. x + x + x = x x + x = 4 x + x + x = Lösung: Die erweiterte Koeffizientenmatrix ist Wir teilen die erste Zeile durch : 4 4 Wir subtrahieren die erste Zeile von der zweiten: 0

5 Wir subtrahieren das Dreifache der ersten Zeile von dem Dritten: 0 0 Wir multiplizieren die zweite Zeile durch : Wir addieren das -Fache der zweiten Zeile auf die Dritte: Wir multiplizieren die dritte Zeile durch : Die Matrix ist jetzt in Zeilenstufenform, also betrachten wir wieder das entsprechende Gleichungssystem: x + x + x = x x = x = Aus der zweiten Gleichung folgt x ( ) =, also x = 6. Aus der Ersten folgt x + ( 6)+ ( ) =, also x = 9. Die einzige Lösung ist deshalb (9, 6, ).. Gauß-Jordan-Verfahren Stellen Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix für das folgende lineare Gleichungssystem auf und bestimmen Sie die allgemeine Lösung mit dem Gauß-Jordan-Verfahren. x + x + x = x x + x = 4 x + x + x = 4 Lösung: Die erweiterte Koeffizientenmatrix ist 4 4

6 Wir teilen die erste Zeile durch : 4 4 Wir subtrahieren die erste Zeile von der zweiten: 0 4 Wir subtrahieren das Dreifache der ersten Zeile von dem Dritten: Wir multiplizieren die zweite Zeile durch : Wir addieren das -Fache der zweiten Zeile auf die Dritte: Wir multiplizieren die dritte Zeile durch : Die Matrix ist jetzt in Zeilenstufenform, aber noch nicht in reduzierter Zeilenstufenform. Wir subtrahieren das -Fache der zweiten Zeile von dem Ersten: Wir subtrahieren das -Fache der dritten Zeile von dem Ersten: Wir addieren das -Fache der dritten Zeile auf die Zweite: Die eindeutige Lösung ist also (,, 4)

7 4. Allgemeine Lösung bestimmen Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des folgenden Gleichungssystems: x + x + x = x x + x = 4 x + x = 5 Lösung: Wir wenden das Gauß-Verfahren an. Die erweiterte Koeffizientenmatrix ist Wir teilen die erste Zeile durch : Wir subtrahieren die erste Zeile von der zweiten: Wir subtrahieren das Dreifache der ersten Zeile von dem Dritten: 0 0 Wir multiplizieren die zweite Zeile durch : 0 0 Wir addieren das -Fache der zweiten Zeile auf die Dritte: Die Matrix ist jetzt in Zeilenstufenform, also betrachten wir wieder das entsprechende Gleichungssystem: x + x + x = x x = 0 = 0

8 Setze x := t. Aus der zweiten Gleichung ergibt sich x = t. Aus der ersten ergibt sich x + ( t ) + t =, also x = 5 t. Deshalb ist die allgemeine Lösung {( 5 t, t ), t t R}. 5. Lösungsmengen sind unter elementare Gleichungsumformungen von Typ (iii) erhalten Sei S eine lineare Gleichungssystem. Sei S eine lineare Gleichungssystem, die man von S durch Addition eines Vielfachen einer Gleichung zu einer andern Gleichung konstruieren kann. Sei L die Lösungsmenge von S und sei L die Lösungsmenge von S. (a) Beweisen Sie, dass L eine Teilmenge von L ist. (b) Beweisen Sie, dass S sich auch aus S durch Addition eines Vielfachen einer Gleichung zu einer andern Gleichung konstruieren lässt. (c) Beweisen Sie, dass L = L. [Wegen (a) reicht es hier zu beweisen, dass L eine Teilmenge von L ist.] Lösung: (a) Wir nehmen an, dass S aus m Gleichungen in den n Variablen x... x n besteht, und wir nennen den Koeffizient von x i in der j-ten Gleichung a ij und die rechte Seite der j-ten Gleichung b j. Sei λ eine Reele Zahl, und j und k natürliche Zahlen, sodass man S von S durch Addition des λ-fachen der k-ten Gleichung zu der j-ten konstruiren kann. Die j-te Gleichung in S hat also die Form: (a j + λa k )x + (a j + λa k )x (a nj + λa nk )x n = b j + λb k Sei (t... t n ) eine Lösung von S. Sie ist automatisch eine Lösung von jeder Gleichung in S außer der j-ten, da diese Gleichungen auch in S sind. Sie ist auch eine Lösung von der j-ten Gleichung in S : (a j +λa k )t +...+(a nj +λa nk )t n = (a j t +...+a nj t n )+λ(a k t +...+a nk t n ) = b j +λb k Wir haben jetzt bewiesen, dass jede Lösung von S auch eine Lösung von S ist. Deshalb gilt L L. (b) S lässt sich durch Addition des ( λ)-fache der k-ten Gleichung zu der j-ten. (c) Wegen (b) folgt aus (a), dass auch L L. Deshalb sind L und L gleich.