m 2 m 3 m 5, m m 2
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- Victoria Pohl
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1 Musterlösung zum 8. Blatt 7. Aufgabe: Seien die folgenden Vektoren im R 4 gegeben: 2m m 2 2m 7 + m 2 m 3 m 5 v = m 5, v 2 = m 2, v 3 = m 7 m 2 m 3 m 5 m 2 m 3 m 5, m 5 + m 2 m 7 2m + m 2 m 4 2m 3 + m 4 m 6 m 7 v 4 = m m 2 m 4 m 2 m 4, v 5 = m 3 2m 4 m 6 m 7. m m 3 Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis der linearen Hülle v,..., v 5. Lösung: Für die Matrikelnummer M = Dann hat man die Vektoren v = 6, v 2 =, v 3 = 4 4, v 4 = 3 7, v 5 = Man sieht: Es ist v = 6v 2. Daher ist U = v, v 2,..., v 5 = v 2,..., v 5, und v 2, v 3, v 4, v 5 ist ein Erzeugendensystem von U. Offensichtlich sind v 2, v 3 linear unabhängig. Wir prüfen nun, ob v 2, v 3, v 4, v 5 linear unabhängig sind: Aus xv 2 + yv 3 + zv 4 + uv 5 = folgt 2x + 42y + 9z + u = x + 4y + 3z + 23u = 4y + 7z + u = x + y + 6z + 8u = Addieren wir die vierte Gleichung zu der zweiten, und das (-2)-fache der vierten zur ersten, und vertauschen dann noch die Gleichungen, so erhalten wir: x + y + 6z + 8u = 4y + 7z + 6u = 4y + 7z + 5u = 4y + 7z + u = Addieren wir nun die zweite Gleichung zur dritten und subtrahieren die zweite von der vierten, so erhalten wir x + y + 6z + 8u = 4y + 7z + 6u = 2u = 7u = Aus der dritten oder der vierten Gleichung bekommt man u =, und damit die beiden Gleichungen x + y + 6z = 4y + 7z =
2 Diese können wir weiter vereinfachen, indem wir die zweite Gleichung durch 4 teilen, und dann diese von der ersten abziehen: x + (233/4)z = y + (7/4)z = Daraus liest man die Lösungsmenge ab: Sie besteht aus den Vektoren x ( 233/4)z 233/4 y z ( 7/4)z z z 7/4 u mit z R beliebig. Daran sieht man: v 2, v 3, v 4, v 5 sind linear abhängig. Mehr noch: Es ist v 4 = (233/4)v 2 +(7/4)v 3, und v 2, v 3, v 5 sind linear unabhängig. Es folgt U = v 2, v 3, v 5, und v 2, v 3, v 5 ist eine Basis von U. Damit ist 3 die Dimension von U. 72. Aufgabe: Seien U und U 2 die folgenden Unterräume im R 4 : { } U = x 2 (m 2 + ) + (2m 4 + 4)x 2 + (m 5 + )x 3 + (m 5 + 2m 3 + 2m 6 ) =, R4, ( m 2 ) m 5 = x 3 { U 2 = x 2 R4 Bestimmen Sie Basen von U und U 2. ( m 2 ) (m 4 + 2)x 2 (m 5 + m 3 ) =, (2m 2 + 2) (m 4 + 2)x 2 + (m 5 + )x 3 + (2m 5 m 3 + 2m 6 ) = }. 73. Aufgabe: Seien U und U 2 die Unterräume des R 4 aus Aufgabe 72. Bestimmen Sie eine Basis des Unterraums U U Aufgabe: Seien U und U 2 die Unterräume des R 4 aus Aufgabe 72. Bestimmen Sie eine Basis von U + U 2. Lösung: Wir demonstrieren die Lösung aller drei Aufgaben anhand der Matrikelnummer M = Dann ist U gegeben durch die Vektoren, die Lösungen des linearen Gleichungssystems 3 + 2x 2 + 5x = = Addiert man zur ersten Gleichung die zweite, und vertauscht dann, so bekommt man = 2x 2 + 5x =
3 Daran liest man ab, dass alle Lösungen von der folgenden Form sind ( 4/3) 4/3 ( /4)x 3 + ( 7/) x 3 x /4 3 + x 7/ 4 mit beliebigen reellen Zahlen x 3 und. An der Gestalt der beiden Vektoren 4/3 /4, 7/ erkennt man sofort deren lineare Unabhängigkeit, und daher bilden sie eine Basis von U. U 2 ist gegeben als Lösungsraum des linearen Gleichungssystems 3 + x = 6 + x 2 + 5x = Addiert man das Zweifache der ersten Gleichung zur zweiten, so erhält man 3 + x = 3x 2 + 5x 3 + = Addiert man das ( /3)-fache der zweiten zur ersten Gleichung, so ergibt sich 3 + ( 5/3)x 3 + ( 6/3) = 3x 2 + 5x 3 + = Damit sind die Lösungen gegeben durch ( 5/9)x 3 + ( 6/9) 5/9 6/9 (/6)x 3 + ( /3) x 3 x /6 3 + x /3 4 mit beliebigen reellen Zahlen x 3 und. Offenbar sind die Vektoren 5/9 6/9 /6, /3 linear unabhängig, und daher bilden sie eine Basis von U 2. Zu U U 2 : Ein Vektor ist offenbar genau dann Element des Durchschnitts U U 2, wenn er gleichzeitig Lösung des U definierenden linearen Gleichungssystems und Lösung des U 2 definierenden linearen Gleichungssytems, insgesamt also Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems ist: 3 + 2x 2 + 5x = = 3 + x = 6 + x 2 + 5x =
4 Wir addieren die erste Gleichung zur zweiten und dritten und das ( 2)-fache zur vierten: 3 + 2x 2 + 5x = 2x 2 + 5x = x 2 + 5x = 5x 2 + 5x = Jetzt addieren wir die entsprechenden Vielfachen der dritten Gleichung zu allen anderen und vertauschen: 3 + 5x 3 = x 2 + 5x = 5x = 2x = Die vierte Gleichung ist das ( 4)-fache der dritten. Daher erfüllt ein Vektor die dritte Gleichung genau dann, wenn er die vierte Gleichung erfüllt. Daher können wir eine der beiden Gleichungen streichen. Wir addieren bzw. subtrahieren noch zu der ersten bzw. von der zweiten, und erhalten: = x = 5x = Daran liest man die Lösungen ab: ( 4/3) 4/3 ( /2) ( 4/5) x /2 4 4/5 für eine beliebige reelle Zahl. Also Vektor ist 4/3 /2 4/5 linear unabhängig, und bildet daher eine Basis von U U 2. Zu U + U 2 : Wir haben Basen von U und U 2 berechnet, jeweils aus zwei Vektoren bestehend. Nimmt man diese vier Vektoren gemeinsam, 4/3 5/9 6/9 /4, 7/, /6, /3, so erhalten wir auf jeden Fall ein Erzeugendensystem von U + U 2. Genauer: U + U 2 ist die lineare Hülle dieser vier Vektoren. Wir haben noch nach linearen Abhängigkeiten zu suchen. Nennen wir die vier Vektoren der Reihe nach v, v 2, v 3, v 4. Seien, x 2, x 3, R mit v + x 2 v 2 + x 3 v 3 + v 4 =. Dann ist der Vektor
5 eine Lösung des linearen Gleichungssystems ( 4/3)x 2 + ( 5/9)x 3 + ( 6/9) = ( /4) + ( 7/)x 2 + (/6)x 3 + ( /3) = + x 3 = x 2 + = Umgekehrt liefert eine solche Lösung eine Darstellung der Null als Linearkombination der Vektoren v, v 2, v 3, v 4. Man kann schon hier sehr schnell sehen (indem man = setzt), dass die drei Vektoren linear unabhängig sind. (Wie?) Um eine lineare Abhängigkeit bei Hinzunahme des vierten Vektors v 4 zu erkennen, vereinfachen wir wie bisher: Wir addieren (/4) der dritten Gleichung zur zweiten, und entsprechende Vielfache der vierten zur ersten und zweiten Gleichung: ( 5/9)x 3 + ( 4/9) = (5/2)x 3 + (/3) = + x 3 = x 2 + = und daran erkennt man wegen = x 3 und x 2 =, dass es nur um die Bestimmung der reellen Zahlen x 3 und geht mit ( 5/9)x 3 + ( 4/9) = (5/2)x 3 + (/3) = Man sieht aber, dass die zweite Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung ist, und daher hat man nicht-triviale Lösungen x 3 und. Damit zeigt sich, dass v, v 2, v 3, v 4 linear abhängig ist, genauer, dass man v 4 als Linearkombination der v, v 2, v 3 darstellen kann. Daher ist v, v 2, v 3 ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, also eine Basis von U + U Aufgabe: Sei ϕ : R 4 R 4 definiert durch (m 3 + ) + (m 7 + )x 2 + (6 + 2m 5 )x 3 + (m 3 + 2m ) ( m 3 ) (m 7 + )x 2 2x 3 m 3 ( m 3 ) (m 7 + )x 2 (4 + m 5 )x 3 (m 3 + m ) (2m 3 + 2) + (2m 7 + 2)x 2 + (2 m 5 )x 3 + (2m 3 m ) a) Ist ϕ linear? b) Bestimmen Sie eine Basis des Bildes von ϕ.. Lösung: Für M = Dann ist die Abbildung definiert durch 2 + 7x 2 + 2x x 2 2x 3 2 7x 2 7x x 2 x 3 4 Sei A die folgende Matrix A =
6 Man sieht: Sind v, v 2, v 3, v 4 die vier Spaltenvektoren dieser Matrix, also v = 2 2, v 2 = 7 7, v 3 = 2 7, v 4 = 7, so gilt offenbar ϕ( ) = v + x 2 v 2 + x 3 v 3 + v 4, und ϕ ist folglich linear. Ausserdem ist A die zu ϕ gehörige Matrix bzw. ist ϕ die zu A gehörige lineare Abbildung. Das Bild von ϕ ist die lineare Hülle der Bilder der Standardbasisvektoren e, e 2, e 3, e 4, also die lineare Hülle von v = ϕ(e ), v 2 = ϕ(e 2 ), v 3 = ϕ(e 3 ), v 4 = ϕ(e 4 ). Damit steht man nun vor der gleichen Aufgabe wie in Aufgabe 7. Wir überprüfen die Vektoren v, v 2, v 3, v 4 auf lineare Unabhängigkeit. Dies führt zu dem linearen Gleichungssystem 2 + 7x 2 + 2x = 2 + 7x 2 + 2x 3 + = 2 7x 2 + 7x = 4 + 4x 2 + x = Da bei den Rechnungen nur die Koeffizienten auf der linken Seite eine Rolle spielen (die auf der rechten Seite bleiben immer null), schreiben wir um Platz zu sparen nur die Koeffizienten auf: Dies sind gerade die Einträge der Matrix A: Addiert man die erste Gleichung zur zweiten und zur dritten, und subtrahiert das Zweifache der ersten Gleichung von der vierten, so erhält man Subtrahiert man das Zweifache der vierten Gleichung von der zweiten und das Siebenfache von der dritten, und vertauscht und ändert noch das Vorzeichen, so ergibt dies Man erhält (aus der dritten bzw. vierten Zeile) =, und dann (aus der zweiten) auch x 3 =. Als Lösungen erhält man also ( 2/7),
7 mit R beliebig. Es folgt, dass und v, v 3, v 4 bilden eine Basis von Bild(ϕ). Bild(ϕ) = v, v 2, v 3, v 4 = v, v 3, v 4, 76. Aufgabe: Sei V ein R-Vektorraum. a) Sei n > und seien v,..., v n V linear unabhängig. Zeigen Sie: Es sind v 2 v, v 3 v,..., v n v linear unabhängig. b) Sei v,..., v n ein Erzeugendensystem von V. Sei v V beliebig. Zeigen Sie, dass v + v, v 2 + v,..., v n + v, v ein Erzeugendensystem von V ist. Lösung: a) Seien b 2, b 3,..., b n R mit n b i (v i v ) =. i=2 Dann folgt durch Umstellung der Summanden ( b 2 b 3... b n )v + b 2 v 2 + b 3 v b n v n =. Da v, v 2,..., v n linear unabhängig sind, folgt b 2 = b 3 = = b n =. Daher sind v 2 v, v 3 v,..., v n v linear unabhängig. b) Sei w V. Da v,..., v n ein Erzeugendensystem von V ist, gibt es reelle Zahlen a, a 2,..., a n mit w = n i= a iv i. Es folgt dann w = n a i v i = i= n ( n a i (v i + v) + a i )v, i= also ist w in der von v + v, v 2 + v,..., v n + v, v erzeugten linearen Hülle. Da w V beliebig war, folgt, dass v + v, v 2 + v,..., v n + v, v ein Erzeugendensystem von V bildet. i= 77. Aufgabe: Sei V ein R-Vektorraum und ϕ : R V eine lineare Abbildung mit ϕ. Zeigen Sie, dass ϕ injektiv ist. Lösung: Für jede reelle Zahl a gilt wegen der Linearität ϕ(a) = ϕ(a.) = a.ϕ(). Wegen ϕ ist ϕ(). Sind a, b R mit ϕ(a) = ϕ(b), so folgt a.ϕ() = b.ϕ(), also (a b).ϕ() =. Da ϕ(), folgt a b =, also a = b. Damit ist ϕ injektiv.
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