Aufgaben zu Kapitel 15

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1 Aufgaben zu Kapitel 5 Aufgaben zu Kapitel 5 Verständnisfragen Aufgabe 5 Zeigen Sie, dass die Menge K m n aller m n-matrizen über einem Körper K mit komponentenweiser Addition und skalarer Multiplikation einen K-Vektorraum bildet Aufgabe 52 Begründen Sie die auf Seite 498 gemachten Aussagen zum Erzeugnis X einer Teilmenge X eines K-Vektorraums V Aufgabe 5 Gelten in einem Vektorraum V die folgenden Aussagen? (a) Ist eine Basis von V unendlich, so sind alle Basen von V unendlich (b) Ist eine Basis von V endlich, so sind alle Basen von V endlich (c) Hat V ein unendliches Erzeugendensystem, so sind alle Basen von V unendlich (d) Ist eine linear unabhängige Menge von V endlich, so ist es jede Aufgabe 54 Gegeben sind ein Untervektorraum U eines K-Vektorraums V und Elemente u, w V Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (a) Sind u und w nicht in U, so ist auch u + w nicht in U (b) Sind u und w nicht in U, soistu + w in U (c) Ist u in U, nicht aber w, soistu + w nicht in U Aufgabe 55 Folgt aus der linearen Unabhängigkeit von u und v eines K-Vektorraums auch jene von u v und u+v? Aufgabe 56 Folgt aus der linearen Unabhängigkeit der drei Vektoren u, v, w eines K-Vektorraums auch die lineare Unabhängigkeit der drei Vektoren u + v + w, u + v, v + w? Aufgabe 57 Geben Sie zu folgenden Teilmengen des R-Vektorraums R an, ob sie Untervektorräume sind, und begründen Sie dies: v (a) U := v 2 R v + v 2 = 2 v v (b) U 2 := v 2 R v + v 2 = v v v (c) U := v 2 ) R v v 2 = v v v (d) U 4 := v 2 R v = v 2 oder v = v v Aufgabe 58 Begründen Sie, dass für jedes n N die Menge u U := u = R n u + +u n = u n einen R-Vektorraum bildet und bestimmen Sie eine Basis und die Dimension von U Aufgabe 59 Welche der folgenden Teilmengen des R-Vektorraums R R sind Untervektorräume? Begründen Sie Ihre Aussagen (a) U := {f R R f() = } (b) U 2 := {f R R f() = } (c) U := {f R R f hat höchstens endlich viele Nullstellen} (d) U 4 := {f R R für höchstens endlich viele x R ist f(x) = } (e) U 5 := {f R R f ist monoton wachsend} (f) U 6 := {f R R die Abbildung g R R mit g(x) = f(x) f(x ) liegt in U}, wobei U R R ein vorgegebener Untervektorraum ist Aufgabe 5 Gibt es für jede natürliche Zahl n eine Menge A mit n+ verschiedenen Vektoren v,,v n+ R n, sodass je n Elemente von A linear unabhängig sind? Geben Sie eventuell für ein festes n eine solche an Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

2 2 Aufgaben zu Kapitel 5 Aufgabe 5 Begründen Sie, dass das Axiom (V5) bei der Definition des Vektorraums auf Seite 49 aus den anderen dort angegebenen Axiomen folgt Aufgabe 52 Für einen Körper K und eine nichtleere Menge M definieren wir V := {f K M nur für endlich viele x M ist f(x) = } Es ist V also eine Teilmenge von K M, dem Vektorraum aller Abbildungen von M nach K (siehe Seite 494) (a) Begründen Sie, dass V ein K-Vektorraum ist (b) Für jedes y M definieren wir eine Abbildung δ y : M K durch: δ y (x) := Begründen Sie, dass B := {δ y y M} eine Basis von V ist {, falls x = y, sonst Rechenaufgaben Aufgabe 5 Wir betrachten im R 2 die drei Untervektorräume U = {} U = Welche der folgenden Aussagen ist richtig? {} 2 (a) Es ist ein Erzeugendensystem von U 4 U 2 (b) Die leere {( Menge )} ist eine Basis von U U (c) Es ist eine linear unabhängige Teilmenge von U 4 2 (d) Es gilt U U =R 2 Aufgabe 54 Prüfen Sie, ob die Menge eine Basis des R 2 2 bildet { B := v =, v 2 =, } v =, v 4 = R 2 2 Aufgabe 55 Bestimmen Sie eine Basis des von der Menge X =, erzeugten Untervektorraums U := X des R 4 2, 2, {}, U 2 2 =, 2 { }, und 2 Anwendungsprobleme Aufgabe 56 Die Wirkung der in einem Punkt v R angreifenden Kraft F = geeignete Vielfache der drei in v angreifenden Kräfte F = 2, F 2 = 4, F = in Newton, soll durch 9 Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

3 Aufgaben zu Kapitel 5 jeweils in Newton kompensiert werden D h, der Punkt v ist ein Knoten, in dem ein Kräftegleichgewicht, also F +λ F + λ 2 F 2 + λ F = mit λ,λ 2,λ R, herrschen soll Aufgabe 57 Gegeben sind drei Punktladungen q = 4C, q = 6 C und q 2 = C im R 2 an den jeweiligen Stellen r =, r 2 = und r = x 2 q 2 = C F 2 q = 4C F q = 6C x Abbildung 529 Die Anordnung der Ladungen im R 2 Bestimmen Sie die resultierende Kraft F, die von q und q 2 auf q ausgeübt wird Aufgabe 58 Der Schwerpunkt des Sonnensystems In der Tabelle 5 sind die ungefähren Massen der Planeten und ihre genäherten Abstände von der Sonne angegeben Bestimmen Sie den ungefähren Schwerpunkt des Sonnensystems Berücksichtigen Sie hierzu vereinfachend nur die Sonne und die Planeten Jupiter, Saturn, Uranus und Neptun Gehen Sie weiter von einem ebenen Sonnensystem aus und tragen Sie Jupiter auf der positiven x -Achse, Saturn auf der negativen x 2 -Achse, Uranus auf der negativen x -Achse und schließlich Neptun auf der positiven x 2 -Achse auf Tabelle 5 Die Massen der Sonne und der Planeten und ihre Abstände von der Sonne in Astronomischen Einheiten (AE) Masse in Erdmassen Sonnenabstand in AE Sonne Merkur 6 4 Venus 8 7 Erde Mars 5 Jupiter 8 5 Saturn 95 Uranus 5 2 Neptun 7 Pluto 2 4 Abbildung 5 Das vereinfachte Sonnensystem aus Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun und Sonne Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

4 4 Hinweise zu Kapitel 5 Hinweise zu Kapitel 5 Verständnisfragen Aufgabe 5 Weisen Sie die neun Vektorraumaxiome (V)-(V9) von Seite 49 nach Aufgabe 52 Weisen Sie die definierenden Eigenschaften für Untervektorräume nach Die Aussage in (c) begründen Sie am besten, indem Sie die beiden Inklusionen und nachweisen Aufgabe 5 Beachten Sie die Definitionen von Erzeugendensystem, linear unabhängiger Menge und Basis Aufgabe 54 Man beweise oder widerlege die Ausagen Aufgabe 55 Wenden Sie das Kriterium für lineare Unabhängigkeit auf Seite 52 an Aufgabe 56 Wenden Sie das Kriterium für lineare Unabhängigkeit auf Seite 52 an Aufgabe 57 Prüfen Sie für jede Menge nach, ob sie nichtleer ist und ob für je zwei Elemente auch deren Summe und zu jedem Element auch das skalare Vielfache davon wieder in der entsprechenden Menge liegt Aufgabe 58 Zeigen Sie, dass die Menge einen Untervektorraum des R n bildet Betrachten Sie für Basisvektoren Elemente von U, die abgesehen von einer und einer nur Nullen als Komponenten haben Aufgabe 59 Prüfen Sie für jede Menge nach, ob sie nichtleer ist und ob für je zwei Elemente auch deren Summe und zu jedem Element auch das skalare Vielfache davon wieder in der entsprechenden Menge liegt Aufgabe 5 Geben Sie zur Standardbasis des R n einen weiteren Vektor an Aufgabe 5 Berechnen Sie ( + )(v + w) auf zwei verschiedene Arten Aufgabe 52 Begründen Sie, dass V ein Untervektorraum von K M ist Da die Menge B durchaus unendlich sein kann, ist es hier notwendig, die lineare Unabhängigkeit von B dadurch zu beweisen, dass man die lineare Unabhängigkeit jeder endlichen Teilmenge von B beweist Rechenaufgaben Aufgabe 5 Bestimmen Sie die Mengen in einer Zeichnung Aufgabe 54 Überprüfen Sie die Menge auf lineare Unabhängigkeit Aufgabe 55 Überprüfen Sie die angegebenen Vektoren auf lineare Unabhängigkeit Anwendungsprobleme Aufgabe 56 Stellen Sie F als Linearkombination der drei Kräfte F, F 2, F dar Aufgabe 57 Beachten Sie das Superpositionsprinzip und das Coulomb sche Gesetz Aufgabe 58 Bestimmen Sie die Koordinaten der Planeten und benutzen Sie die Formel für den Schwerpunkt auf Seite 492 Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

5 Lösungen zu Kapitel 5 5 Lösungen zu Kapitel 5 Verständnisfragen Aufgabe 5 Aufgabe 52 Aufgabe 5 Die Aussagen in (a) und (b) sind richtig, die Aussagen (c) und (d) sind falsch Aufgabe 54 Die Aussagen in (a) und (b) sind falsch, die Aussage in (c) ist richtig Aufgabe 55 Ja Aufgabe 56 Ja Aufgabe 57 U,U und U 4 sind keine Untervektorräume, U 2 hingegen schon Aufgabe 58 Es ist B := eine Basis von U, insbesondere gilt dim(u) = n,,, Aufgabe 59 U 2,U und U 5 sind keine Untervektorräume, U,U 4 und U 5 hingegen schon Aufgabe 5 Ja, es ist A ={e,, e n, v} mit den Standard-Einheitsvektoren e,, e n und v = e + +e n eine solche Menge Aufgabe 5 Aufgabe 52 Rechenaufgaben Aufgabe 5 Alle Aussagen sind richtig Aufgabe 54 Ja, die Menge bildet eine Basis Aufgabe 55 Die Standardbasis E 4 ={e, e 2, e, e 4 } ist eine Basis von U Anwendungsprobleme Aufgabe 56 Es ist F = 2F + F 2 4 F Aufgabe 57 ( ) F = 4 πε 2 (4 2 ) 2 Aufgabe 58 s = Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

6 6 Lösungswege zu Kapitel 5 Lösungswege zu Kapitel 5 Verständnisfragen Aufgabe 5 Wir weisen die neun Vektorraumaxiome nach Gegeben sind A = (a ij ), B = (b ij ), C = (c ij ) K m n sowie λ, μ K (V) A + B = (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ) K m n sowie λ(a ij ) = (λ a ij ) K m n (V2) (A + B) + C = (a ij + b ij ) + (c ij ) = (a ij + b ij + c ij ) = (a ij ) + (b ij + c ij ) = A + (B + C) (V) A + = (a ij + ) = (a ij ) = A (V4) Es ist ( a ij ) K m n, und es gilt ( a ij ) + (a ij ) = (V5) A + B = (a ij + b ij ) = (b ij + a ij ) = B + A (V6) (λ μ) A = (λμa ij ) = λ(μa ij ) = λ(μa) (V7) (λ + μ) A = ((λ + μ) a ij ) = (λ a ij + μa ij ) = (λ a ij ) + (μ a ij ) = λ A + μ B (V8) λ(a + B) = λ ((a ij ) + (b ij )) = (λ (a ij + b ij )) = (λ a ij + λb ij ) = (λ a ij ) + (λ b ij ) = λ A + λ B (V9) A = (a ij ) = ( a ij ) = (a ij ) = A Also bildet K m n mit den angegebenen Verknüpfungen einen K-Vektorraum Aufgabe 52 (a) Die Menge X ist nicht leer, da der Nullvektor stets in X liegt Wir weisen die Eigenschaften (U) und (U2) aus der Definition auf Seite 495 für X nach Zu (U): Nehmen wir zwei Elemente aus X, also zwei Linearkombinationen von X, so ist die Summe dieser beiden Linearkombinationen wieder eine Linearkombination von X Und nun zu (U2): Ist v = λ v + +λ n v n X und λ K, dann gilt λ v = (λ λ ) v + +(λ λ n ) v n X (b) Für jedes v X gilt v = v X (c) Ist U irgendein Untervektorraum von V, der X enthält, so ist, weil U die Eigenschaften (U) und (U2) erfüllt, auch jede Linearkombination von X in U, letztlich also X U Da dies für jeden Untervektorraum U mit X U gilt, erhalten wir hieraus X U X U U Untervektorraum von V Mit (a) und (b) folgt die Inklusion, da X einer der Untervektorräume ist, über die der Durchschnitt gebildet wird Damit ist die Gleichheit der beiden in (c) angegebenen Mengen gezeigt Aufgabe 5 (a) Richtig Basen haben stets gleich viele Elemente, auch wenn sie unendlich viele haben (b) Richtig Basen haben stets gleich viele Elemente (c) Falsch Vektorräume können durchaus unendliche Erzeugendensysteme aber nur endliche Basen haben Beispiel? (d) Falsch Endliche Teilmengen unendlichdimensionaler Vektorräume sind linear unabhängig Beispiel? Aufgabe 54 (a) Die Aussage ist falsch Wir zeigen dies an einem Beispiel Die beiden Vektoren und liegen beide nicht in dem von erzeugten Untervektorraum des R 2, ihre Summe, das ist der Nullvektor des R 2, jedoch schon 2 (b) Die Aussage ist falsch Wir zeigen dies an einem Beispiel Die beiden Vektoren und liegen beide nicht in dem 2 von erzeugten Untervektorraum des R 2 und ihre Summe, das ist der Vektor auch nicht (c) Die Aussage ist richtig Weil u U gilt, folgte aus u + w U u + w u = w U im Widerspruch zur Voraussetzung Damit kann u + w U nicht gelten Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

7 Lösungswege zu Kapitel 5 7 Aufgabe 55 Aus λ(u v) + μ(u + v) = für Elemente λ, μ K folgt (λ + μ) u + (μ λ) v = Und weil v und u linear unabhängig sind, ist eine solche Gleichheit nach dem Kriterium für lineare Unabhängigkeit auf Seite 52 nur im Fall λ + μ = = μ λ möglich Hieraus folgt λ = = μ Erneut nach dem eben zitierten Kriterium folgt nun die lineare Unabhängigkeit von u v und u + v Aufgabe 56 Aus λ(u + v + w) + μ(u + v) + ν(v + w) = für Elemente λ, μ, ν K, folgt (λ + μ) u + (λ + μ + ν)v + (μ + ν)v = Aus der linearen Unbhängigkeit von u, v und w folgt mit dem Kriterium für lineare Unabhängigkeit auf Seite 52 sogleich λ + μ =, λ + μ + ν = und μ + ν = Setzt man die letzte Gleichung in die vorletzte ein, so folgt λ = und damit aus der ersten μ = und schließlich ν =, sodass nach dem eben zitierten Kriterium die lineare Unbhängigkeit von u + v + w, u + v, v + w folgt Aufgabe 57 (a) Der Nullvektor ist nicht Element von U, somit kann U kein Untervektorraum sein v v (b) Weil der Nullvektor offenbar in U 2 liegt, gilt U 2 = Sind v 2 und v 2 U 2, so gelten v v v + v 2 = v und v + v 2 = v, also auch (v + v ) + (v 2 + v 2 ) = (v + v ) v + v v v Damit ist aber v 2 + v 2 = v 2 + v v + v 2 U 2 v v Und für jedes λ R gilt λv v sodass also auch λv 2 = λ v 2 U 2 gilt λv v λv + λv 2 = λv, Diese drei Eigenschaften besagen, dass U 2 ein Untervektorraum des R ist (c) Der Vektor ist offenbar ein Element aus U Aber das -Fache ( ) = liegt nicht in U, sodass U kein Untervektorraum des R ist 2 (d) In U 4 liegen die beiden Elemente und 4, nicht aber deren Summe U 4 ist also kein Untervektorraum des 2 5 R u Aufgabe 58 Der Nullvektor liegt in U, sodass U nicht leer ist Und mit je zwei Elementen u n u + u auch deren Summe u n + u n eines Elementes aus U wieder in U liegt Damit ist begründet, dass U ein R-Vektorraum ist Die folgenden n Vektoren liegen in U:, u u n U ist in U,da(u + u ) + +(u n + u n ) = gilt Analog folgt auch, dass jedes skalare Vielfache,,, Wir bezeichnen diese Elemente der Reihe nach u bis u n und begründen, dass sie eine Basis bilden Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

8 8 Lösungswege zu Kapitel 5 Wir zeigen die lineare Unabhängigkeit der Menge B ={u,, u n } Der Ansatz λ u + + λ n u n = für λ,, λ n R liefert ein homogenes lineares Gleichungssystem, das wir sogleich durch die erweiterte Koeffizientenmatrix angeben und lösen: Also ist der Nullvektor R n nur als triviale Linearkombination darstellbar Folglich ist B linear unabhängig Nun begründen wir, dass B ein Erzeugendensystem für U ist u u 2 Ist u = U ein beliebiger Vektor, so gilt die Gleichheit u n u n u u 2 = u u n u n + u 2 denn u n = u u n Damit gilt U = {u,, u n } + + u n Also ist B ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von U und somit eine Basis von U Aufgabe 59 (a) Es ist U ein Untervektorraum von R R : (i) U (ii) Mit f, g U gilt auch f + g U Und (iii) Mit f U und λ R gilt auch λf U (b) Es ist U 2 kein Untervektorraum von R R, denn U 2 (c) Es ist U kein Untervektorraum von R R, denn U (d) Es ist U 4 ein Untervektorraum von R R : (i) U 4 (ii) Mit f, g U 4 gilt auch f + g U 4 Und (iii) Mit f U 4 und λ R gilt auch λf U 4 (e) Es ist U 5 kein Untervektorraum von R R, denn es ist f : x x in U 5, f jedoch nicht (f) Es ist U 6 ein Untervektorraum von R R Ist U ein Untervektorraum von R R, so gilt: (i) U 6,da U (ii) Nun seien f, f U 6 Dann gilt g : x f(x) f(x ), g : x f (x) f (x ) U Und weil U ein Untervektorraum von R R ist, liegt auch g + g : x (f (x) f(x )) + (f (x) f (x )) U, aber d h gerade: f + f U 6 Und (iii) Mit f U 6 und λ R gilt auch λf U 6,daλg U Aufgabe 5 Im Fall n = wähle man e = und e 2 = 2 Es ist dann A ={e, e 2 } eine solche Menge Nun zum Fall n> Wir behaupten, dass A ={e,, e n, v} mit den Standard-Einheitsvektoren e,, e n und v = die verlangte Eigenschaft hat Es ist B := {e,, e n } natürlich linear unabhängig Damit ist für i {,,n} auch die, Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

9 Lösungswege zu Kapitel 5 9 n -elementige Menge {e,, e i, e i+,, e n } auch linear unabhängig Wäre E i := {e,, e i, e i+,, e n, v} linear abhängig, so müsste v Linearkombination der übrigen Vektoren sein, d h v = n λ j e j j= j =i mit λ j R In der Position i haben alle Vektoren e j der rechten Seite eine Null, da e i ja gerade fehlt, und damit auch die rechte Seite selbst Der Vektor v hat aber in der Position i eine Eins, ein Widerspruch Also ist E i linear unabhängig Wir haben begründet, dass jede n-elementige Teilmenge von A linear unabhängig ist Aufgabe 5 Sind v und w beliebige Elemente eines K-Vektorraums V, so gilt wegen (V6) ( + )(v + w) = ( + ) v + ( + ) w und somit wegen (V7) und (V9) ( + )(v + w) = v + v + w + w Wir wenden nun auf das gleiche Element gleich (V7) und (V9) an ( + )(v + w) = (v + w) + (v + w) = v + w + v + w Insgesamt erhalten wir v + v + w + w = v + w + v + w Weil wir nun v von links und w von rechts addieren dürfen, erhalten wir so v + w = w + v Und dies gilt für beliebige v, w V Aufgabe 52 (a) Es ist V eine nichtleere Teilmenge des Vektorraums K M, da die Nullabbildung in V enthalten ist Denn diese nimmt für kein x M und damit für endlich viele x M einen von null verschiedenen Wert an Und sind f und g zwei Abbildungen aus V, d h, f und g nehmen nur an endlich vielen Stellen einen von null verschiedenen Wert an, so auch deren Summe f + g : x f(x)+ g(x) Und für jedes λ K und f V hat auch die Abbildung λf : x λ f (x) die Eigenschaft nur endlich viele von null verschiedene Werte anzunehmen Damit ist begründet, dass V ein Untervektorraum von K M, also ein K-Vektorraum ist (b) Die Menge B ist linear unabhängig: Wir wählen eine endliche Teilmenge E B, etwa E ={δ y,,δ yn } für verschiedene y,, y n M Für λ,, λ n K gelte ( ) n λ i δ yi = (d h: x M gilt n a i δ yi (x) = ) i= i= Setzt man nun in ( ) nacheinander (die verschiedenen) y,y 2,,y n ein, so erhält man nacheinander λ =, λ 2 =,, λ n = ; und damit ist die lineare Unabhängigkeit von B gezeigt Die Menge B ist ein Erzeugendensystem von V : Gegeben ist ein f V Dann gibt es endlich viele verschiedene x,, x n M mit Wir zeigen nun die Gleichheit Für jedes x M \{x,,x n } gilt und für jedes x i {x,,x n } gilt f(x ) =: λ =,,f(x n ) =: λ n = f(x)= x M \{x,,x n } f = λ δ x + + λ n δ xn und = f(x)= (λ δ x + + λ n δ xn )(x) = = λ δ x (x) + + λ n δ xn (x) = + + = λ i = f(x i ) = (λ δ x + + λ n δ xn )(x i ) = = λ δ x (x i ) + + λ n δ xn (x i ) = λ i Also stimmen die beiden Abbildungen f und λ δ x + + λ n δ xn für alle Werte aus M überein, d h, sie sind gleich: f = λ δ x + + λ n δ xn Dies begründet, dass jedes beliebige f aus V eine Linearkombination von Elementen aus B ist, sodass B ein Erzeugendensystem von V liefert Insgesamt wurde gezeigt, dass B ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V, also eine Basis, ist Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

10 Lösungswege zu Kapitel 5 Rechenaufgaben Aufgabe 5 Man kann natürlich alle angegeben Mengen in eine Zeichnung eintragen, aber die Aussagen sind auch so unmittelbar klar (a) Weil U U 2 = R 2 2 gilt, ist U U 2 = U Der Vektor liegt natürlich in dem eindimensionalen Vektorraum U 4 und ist somit ein Basisvektor, also stimmt die Aussage (b) Die zwei eindimensionalen Vektorräume U und U 2 sind voneinander verschieden Also ist der Nullvektor ihr einziger gemeinsamer Punkt: U U 2 ={} Und die leere Menge ist eine Basis dieses trivialen Untervektorraums des R 2 also stimmt die Aussage {} (c) Der Vektor liegt in U 4 2 = R 2 und ist vom Nullvektor verschieden Als einelementige Menge ist dann linear 4 unabhängig; damit stimmt die Aussage (d) Die U und U erzeugenden Vektoren sind linear unabhängig, also enthält U U zwei linear unabhängige Vektoren, und zwei solche Vektoren erzeugen im R 2 einen zweidimensionalen Raum, d h R 2 selbst die Aussage ist also richtig Aufgabe 54 Da der Vektorraum R 2 2 die Dimension 4 hat, reicht es aus, die lineare Unabhängigkeit von B zu zeigen, da je vier linear unabhängige Vektoren eines vierdimensionalen Raumes eine Basis bilden Wir machen den üblichen Ansatz Mit reellen Zahlen λ,, λ 4 gelte λ v + +λ 4 v 4 = Ausgeschrieben lautet diese Gleichung λ + λ 2 λ 2 + λ = λ + λ 4 λ Am rechten unteren Eintrag der linken Matrix erkennen wir λ = Der Eintrag an der Stelle (, ) der linken Matrix liefert dann λ 2 = Die Stelle (, 2) besagt dann λ =, und schließlich folgt aus dem linken unteren Eintrag λ 4 = Also ist B linear unabhängig und als vierelementige Menge somit eine Basis des R 2 2 Aufgabe 55 Man schreibt die in der Aufgabenstellung gegebenen erzeugenden Vektoren von U als Zeilen in eine Matrix: Dann bringt man diese Matrix mit elementaren Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform: Wir haben bei diesen Umformungen nur eine Zeilenvertauschung durchgeführt Und zwar haben wir die ersten beiden Zeilen miteinander vertauscht Die Nullzeilen in der fünften und sechsten Zeile besagen, dass sich die letzten beiden angegeben Vektoren in der ersten Matrix als Linearkombination der ersten vier Vektoren darstellen lassen Man kann sie aus dem Erzeugendensystem weglassen Die ersten vier von der Nullzeile verschiedenen Zeilen besagen wegen der Dreiecksgestalt, dass sie linear unabhängig sind Dann sind aber auch die ersten vier Vektoren in den oberen Zeilen der ersteren Matrix linear unabhängig Weil vier linear unabhängige Vektoren eines vierdimensionalen Vektorraums eine Basis dieses Vektorraums bilden, ist also U = R 4 und eine Basis von U und damit des R 4 B =, 2, 2 Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

11 Lösungswege zu Kapitel 5 Wir hätten die Lösung auch schneller haben können Mit ein paar Kopfrechnungen sieht man sehr schnell, dass die Matrix den Rang 4 hat, damit hat der Untervektorraum U des R 4 die Dimension 4, folglich gilt U = R 4 Und nun kann man eine beliebige Basis des R 4 als Basis von U wählen, etwa die Standardbasis E 4 ={e, e 2, e, e 4 } Anwendungsprobleme Aufgabe 56 Wir suchen λ,λ 2,λ R mit ( ) F = λ F + λ 2 F 2 + λ F In diesem Fall herrscht ein Kräftegleichgewicht Die Gleichung ( ) ist ein lineares Gleichungssystem mit der erweiterten Koeffizientenmatrix: Elementare Zeilenumformungen führen zur Lösung des Systems: Also ist λ = 4, λ 2 = und λ = 2 Damit erhalten wir für die Kraft F eine Darstellung als Linearkombination der Kräfte F, F 2 und F, F = 2 F + F 2 4 F Aufgabe 57 Wir bezeichnen die Kraft die von q i auf q wirkt mit F i für i =, 2 Mit dem Coulomb schen Gesetz auf Seite 489 folgt dann F = 6C ( 4C) 4 πε und F 2 = C ( 4C) 4 πε 2 2 Mit dem Superpositionsprinzip ist also die resultierende Kraft F auf q die Summe der beiden einzelnen Kräfte F und F 2 : F = F + F 2 = ( ( )) 24 6/ πε 6/ = 2 ( ) 2 (4 2 ) = 2 Aufgabe 58 Wir ( zeichnen ) die Planeten in ein ( Koordinatensystem ) ein, wobei ( die ) Sonne im Ursprung liegt ( Wir ) 5 2 setzen Jupiter in den Punkt, Saturn in den Punkt, Uranus in den Punkt und Neptun in den Punkt Nun setzen wir die Massen der entsprechenden Planeten in ihren Punkten in die Formel für den Schwerpunkt s ein die Gesamtmasse der fünf betrachteten Himmelskörper beträgt dabei 445 Erdmassen: ( 59 s = = Tatsächlich liegt dieser Punkt in der Sonne ( 5 )) = Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28