Grundlegende Definitionen aus HM I

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1 Grundlegende Definitionen aus HM I Lucas Kunz. März 206 Inhaltsverzeichnis Vektorraum 2 2 Untervektorraum 2 Lineare Abhängigkeit 2 4 Lineare Hülle und Basis 5 Skalarprodukt 6 Norm 7 Lineare Abbildungen 4 8 Kern einer Abbildung 5 9 Bild einer Abbildung 5 0 Inverse Matritzen 5 Rangsatz 5 2 Lineare Gleichungsysteme 6

2 Vektorraum Sei K ein Körper (im Folgenden immer entweder R oder C) und V eine Menge, weiterhin existieren 2 Verknüpfungen + : V V V und : K V V, dann heißt V ein K-Vektorraum (bezüglich dieser beiden Verknüpfungen) wenn. x, y, z V : x + (y + z) = (x + y) + z (Assoziativgesetz) 2. x, y V : x + y = y + x (Kommutativgesetz). 0 V x V : x + 0 = x (neutrales Element der Addition) 4. x V ( x) V : x + ( x) = 0 (inverses Element der Addition) 5. α, β K, x V : (α β) x = α (β x) 6. α, β K, x, y V : (α + β) x = α x + β x ; α (x + y) = α x + α y 7. V x V : x = x (neutrales Element der Multiplikation). Die neutralen Elemente sind für jede Operation eindeutig bestimmt, ebenso das additive Inverse zu jedem x V. Wichtig zu beachten ist, dass V nur als Vektorraum bezeichnet werden darf, wenn es bezüglich der beiden Abbildungen abgeschlossen ist, wenn sie also beide wieder ausschließlich in V selbst abbilden. 2 Untervektorraum Sei U V, dann ist U ein Untervektorraum (UVR) von V, wenn U bezüglich der Abbildungen + und in V ein Vektorraum ist (wichtig: U muss bezüglich dieser Abbildungen abgeschlossen sein). Dies bedeutet auch, dass 0 U, weil durch Skalarmultiplikation jedes beliebigen Elements von U mit 0 dieser Vektor erreicht wird. Ist 0 / U V, gibt es jedoch einen andern UVR W von V, sodass U beschrieben werden kann durch U = {v + w w W } mit einem festen v V, so ist U ein sogenannter affiner Unterraum von V. Ist v W, so ist U = W und U ist sogar ein Untervektorraum. Daraus folgt, dass jeder Untervektorraum ein affiner Unterraum ist, nicht jedoch umgekehrt. Lineare Abhängigkeit Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum, dann heißen k Vektoren, k n, linear unabhängig, falls k 0 = α i v i α i = 0 i {,..., k}. (.) i= Die einzige Möglichkeit, aus linear unabhängigen Vektoren den Nullvektor zu konstruieren, besteht also darin, alle Koeffizienten auf 0 zu setzen. In einem n-dimensionalen Raum können maximal n Vektoren linear unabhängig sein. Aus der Definition geht weiterhin hervor, dass der Nullvektor linear abhängig mit allen anderen Vektoren ist. 2

3 4 Lineare Hülle und Basis Die lineare Hülle (oder der lineare Aufspann) einer Menge an Vektoren ist der Raum, der durch Linearkombinationen dieser Vektoren aufgespannt wird. Ist also M V eine solche Menge (über dem Körper K), so ist sie gegeben durch lin(m) = i α i m i, α i K, m i M. (4.) Die lineare Hülle entsteht also durch Anwendung der beiden in V definierten Abbildungen + und auf M. Ist M ein Untervektorraum von V, so muss er bezüglich dieser Abbildungen abgeschlossen sein. Es folgt dementsprechend lin(m) = M M ist ein UVR von V. (4.2) Existiert in einem n-dimensionalen Vektorraum V eine Menge linear unabhängiger Vektoren b i mit der Eigenschaft, dass ihre lineare Hülle der Vektorraum selbst ist, also dass lin ({b i i =,..., n}) = V, (4.) so nennt man die Menge der Vektoren {b i i =,..., n} eine Basis von V. Aufgrund seiner Eigenschaft, dass er linear abhängig mit allen anderen Vektoren ist, macht der Nullvektor nie einen Teil einer Basis aus. Jeder Vektorraum besitzt mindestens eine solche Basis. Beispiel: lin 0,, 0 = lin,, 0 = R Skalarprodukt Sei V ein K-Vektorraum, dann heißt eine Abbildung ( ) : V V K Skalarprodukt oder inneres Produkt auf V, falls es die folgenden Eigenschaften erfüllt:. (x x) 0, (x x) = 0 x = 0 2. (x y) = (y x). (αx + y z) = α(x z) + (y z), α K. In diesem Fall heißt (V, ( )) ein Skalarproduktraum (SPR). Aus diesen Eigenschaften folgt weiterhin die sogenannte Cauchy-Schwarz sche Ungleichung (CSU): (x y) (x x) 2 (y y) 2. (5.) 6 Norm Sei V ein K-Vektorraum, dann nennt man eine Abbildung : V R eine Norm, falls. x 0, x = 0 x = 0 2. αx = α x

4 . x + y x + y (Dreiecks-Ungleichung). Wenn dies erfüllt ist heißt V ein normierter Raum und es gilt weiterhin x y x y. Ist die Norm durch ein Skalarprodukt induziert, also gilt so muss weiterhin die Parallelogrammgleichung erfüllt sein: x = (x x) 2, (6.) x + y 2 + x y 2 = 2 ( x 2 + y 2). (6.2) Erfüllt die Skalarproduktnorm diese Gleichung, so sind auch die geforderten Normeigenschaften bis erfüllt. Die CSU sieht in diesem speziellen Fall so aus: 7 Lineare Abbildungen (x y) x y. (6.) Seien V und W K-Vektorräume und Φ : V W eine Abbildung. Dann heißt Φ linear, falls α K x, y V gilt:. Φ(0) = 0 2. Φ(αx) = α Φ(x). Φ(x + y) = Φ(x) + Φ(y). Eine solche lineare Abbildung lässt sich auch beschreiben durch eine Abbildungsmatrix. Hat V die Dimension n und W die Dimension m, so gilt Φ(x) = A x, A K m n. (7.) Die im Folgenden definierten Begriffe Kern und Bild von Φ entsprechen dann dem Kern und Bild der Abbildungsmatrix A. Man erhält A folgendermaßen: Sei {v,..., v n } eine Basis von V und {w,..., w m } eine Basis von W, dann berechnet man Φ(v i ), i =,..., n und drückt das jeweilige Ergebnis in Koordinaten bezüglich der Basis von W aus. der dabei entstehende Vektor ist die i-te Spalte von A. Beispiel: Seien V = W = R 2, Φ(x) = x und die Basen seien gewählt als 2 0 v =, v 2 =, w =, w 0 2 =. Daraus ergibt sich nach der beschriebenen Vorgehensweise 6 Φ(v ) = = w + w 2, Φ(v 2 ) = = 6 w w 2 A = 6. Multipliziert man die Koordinaten eines Vektors x V bezüglich dieser Basis {v, v 2 } mit A, so erhält man die Koordinaten von Φ(x) bezüglich {w, w 2 }. Beispiel: x = = 0 v + ( ) v 2 A = Φ(x) = w w 2 =. 0 4

5 8 Kern einer Abbildung Der Kern einer linearen Abbildung (bzw. ihrer Abbildungsmatrix) beschreibt die Menge aller Vektoren im Definitionsbereich, die durch die Abbildung auf den Nullvektor abgebildet werden. Es ist dementsprechend für eine lineare Abbildung g : C n C m 9 Bild einer Abbildung Kern(g) = {x C n g(x) = 0}. (8.) Das Bild einer linearen Abbildung (bzw. ihrer Abbildungsmatrix) ist die Menge der Elemente, in die sie abbildet. Im Falle einer wie eben bereits verwendeten Funktion g : C n C m ist dies 0 Inverse Matritzen Bild(g) = {y C m x C n : g(x) = y}. (9.) Eine Inversion ist nur mit quadratischen Matritzen möglich. Sei also A K n n, dann ist A die Inverse von A mit der Eigenschaft, dass A A = A A = I (Einheitsmatrix). (0.) Man errechnet diese Inverse mit dem Gauß-Jordan Algorithmus, indem man ein LGS umformt: A I Umformungen I C ; C = A. Bei 2 2-Matritzen gibt es eine einfache Formel zur Invertierung: a b A = R 2 2 A d b =. (0.2) c d ad cb c a Rangsatz Sei A K n m eine Matrix, dann gibt es eine lineare Abbildung f : K m K n, deren Abbildungsmatrix A ist. Weiterhin gilt: m = dim Kern(A) + dim Bild(A). (.) Wie bereits bekannt ist gilt Kern(A) = Kern(f) und Bild(A) = Bild(f). Weiterhin lässt sich eine neue Größe definieren, der Rang: rg(a) = dim Bild(A). (.2) Der Rang einer Menge an Vektoren entspricht der Dimension ihrer linearen Hülle, also der maximalen Anzahl an linear unabhängigen Elementen der Menge. Im Falle einer Matrix ist der Rang also die Maximalzahl der linear unabhängigen Zeilen (Zeilenrang) oder Spalten (Spaltenrang). Ist A eine Matrix über einem Körper K (wie in der gesamten HM I und II), so stimmen Spalten- und Zeilenrang überein. Für den Wert des Rangs gilt rg(a) k ; k = min{n, m}. (.) Der Fall rg(a) = 0 tritt nur auf, wenn die Matrix A nur aus Nullen besteht, also falls f 0 gleich der Nullfunktion ist. 5

6 2 Lineare Gleichungsysteme Ein lineares Gleichungssystem (LGS) der Art A x = b ist genau dann lösbar, falls rg(a) = rg(a b). (2.) Es ist eindeutig lösbar, wenn dieser Rang dem Höchstrang (k in Gleichung.) entspricht. Zur Lösung versucht man, mit dem Gauß-Algorithmus die Koeffizientenmatrix A auf Zeilenstufen- (ZSF) oder Zeilennormalform (ZNF) zu bringen. Die folgende Gleichung zeigt je ein Beispiel für eine Matrix in ZNF und ZSF: ZSF: B = ZNF: C = Zeilenstufenform meint, dass unterhalb der Hauptdiagonalen nur noch die Zahl 0 steht. Zeilennormalform hingegen bedeutet weiterhin, dass auf der Diagonalen selbst nur (oder 0) stehen darf und oberhalb jeder auf der Diagonalen nur Nullen. Aus der Zeilenstufenform lässt sich im Falle eines homogenen Gleichungssystems sehr leicht die Lösungsmenge ablesen: 4 C x = 0 x lin. Dies ergibt sich aus dem (-)-Trick. Hat man eine Matrix in ZNF, so besteht die Lösung des homogenen Systems aus der linearen Hülle aller Spalten, die keine sondern eine 0 auf der Hauptdiagonalen stehen haben, wenn man diese 0 durch - austauscht. Eine solche Lösung eines homogenen Gleichungssystems, die vom Nullvektor verschieden ist, heißt nichttriviale Lösung, das System ist dementsprechend nichttrivial lösbar. Formt man die Koeffizientenmatrix A auf ZNF um, dann erhält man das neue System A x = b. Die Lösbarkeit dessen stellt man wie bereits vor der Umformung fest, denn 7 rg(a) = rg(a ) und rg(a b) = rg(a b ). (2.2) Die Dimension der Lösungsmenge eines solchen Systems ergibt sich als die Differenz zwischen tatsächlichem Rang von A und möglichem Höchstrang einer Matrix der Größe von A. Ist z.b. A K, so ist der Höchstrang k =. Ist nun aber rg(a) = rg(a b) = 2, so hat der Lösungsraum die Dimension, ist also anschaulich eine Gerade. Dimension 0 bedeutet eindeutige Lösbarkeit und entspricht einem exakten Punkt. Um eine Matrix auf ZSF oder ZNF zu bringen, gibt es drei erlaubte Umformungen:. Addieren von Zeilen aufeinander. 2. Multiplizieren von Zeilen mit Skalaren aus K.. Vertauschen von Zeilen. Diese Umformungen verändern weder den Rang, noch die Lösung des Systems. Zu beachten ist, dass dabei auch immer der rechte Teil des gemeinsamen Systems (A b), also der Vektor b, entsprechend mit umgeformt werden muss. 6