2.2 Lineare Gleichungssysteme

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1 Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau Lineare Gleichungssysteme Das Lösen von Gleichungen (ganz unterschiedlichen Typs und unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades) gehört zu den Grundproblemen der Mathematik In einer Vorlesung für Mathematiker verzichten wir deshalb auf eine weitere Motivation dieser Problemstellung Vielmehr entwickeln wir in diesem Abschnitt möglichst direkt, untheoretisch, aber vollständig das übliche (oft nach Gaußbenannte) Lösungsverfahren für Lineare Gleichungssysteme (LGS): Das LGS wird in eine Art Dreiecksgestalt (Stufenform) überführt und dann durch sukzessives Rückwärtseinsetzen direkt gelöst Wichtig ist, dass man auf diese Weise bereits eine Beschreibung der gesamten Lösungsmenge erhält An theoretischen Begriffen kommt neben dem Standardvektorraum K n nur der Begriff des Untervektorraumes vor, was aber bereits wesentlich zur Strukturierung des Problems und seiner Lösung beiträgt Die Vertiefung erfolgt im übernächsten Abschnitt 24 Wir beginnen mit einigen ganz einfachen Beispielen Beispiele 221 (Lösungsverhalten von LGS) (1) Das System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten x 1 x 2 + x 3 = 1 3x 2 + 2x 3 = 5 5x 3 = 10 hat genau eine Lösung in R 3, nämlich x 3 = 2, x 2 = 3, x 1 = 6 (von unten nach oben ausrechnen) (2) Das System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten hat keine Lösung in R 2 x 1 2x 2 = 3 3x 1 + 6x 2 = 6 Beweis: Angenommen, es existieren solche Zahlen x 1, x 2 R Multiplizieren der ersten Gleichung mit 3 und addieren der ersten und zweiten Gleichung liefert 0 = 9 6 = 3, Widerspruch (3) Ein LGS kann mehr als eine Lösung haben Beispiel hierzu: Alle Zahlen der Form x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 3x 1 x 2 + 2x 3 = 0 x 1 = a, x 2 = a, x 3 = a mit beliebigem a R sind Lösungen Es gibt also unendlich viele Lösungen in R 3 Im folgenden wird es zunächst einmal um Kriterien gehen, mit denen die drei angesprochenen Typen von Lösungsverhalten unterschieden werden Das eigentliche Ziel ist dann die Beschreibung der Menge aller Lösungen in dem interessanten Fall von nicht-eindeutigen Lösungen Es wird sich

2 56 Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau zeigen, dass Lösungsmengen verschobene (Unter-)Vektorräume sind; dementsprechend ergibt sich eine weitere Auffächerung der Lösungstypen durch die Dimension dieses Raumes Über deren genaue Definition und Bestimmung werden wir tieferliegende Aussagen erst in den folgenden Abschnitten erzielen Wir legen zunächst den allgemeinen Rahmen unserer Untersuchungen fest Definition 222 Ein lineares Gleichungssystem (kurz: LGS) über einem Körper K mit n Unbekannten, bestehend aus m Gleichungen, ist von der Form a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n = b 2 a i,1 x 1 + a i,2 x a i,n x n = b i (A, b) a m,1 x 1 + a m,2 x a m,n x n = b m Die m n Zahlen a i,j =: a ij K heißen Koeffizienten des LGS, die b i die rechten Seiten Ein LGS heißt homogen, falls alle b i = 0 sind, anderenfalls inhomogen Eine Lösung des LGS ist ein n-tupel (x 1, x 2,, x n ) K n, dessen x j alle m Gleichungen erfüllen Bezeichnungen für die Lösungsmenge: L(A, b) := {(x 1,, x n ) K n (x 1,, x n ) ist Lösung von (A, b)} Im Augenblick ist (A, b) der Name für obiges LGS, also einfach eine Abkürzung Unten werden wir folgende Präzisierungen vornehmen: A Matrix b Spaltenvektor Im Beispiel 221 (1) sind die Koeffizienten die folgenden: a 1,1 = 1 a 2,1 = 0 a 3,1 = 0 a 1,2 = 1 a 2,2 = 3 a 3,2 = 0 a 1,3 = 1 a 2,3 = 2 a 3,3 = 5 b 1 = 1 b 2 = 5 b 3 = 10 Eine kompaktere Schreibweise eines LGS erhält man, wenn man die Unbestimmten (deren Namen im Prinzip gleichgültig sind) weglässt und nur die Koeffizienten notiert Das so entstehende Schema heißt die Matrix des LGS Die volle Information hat man, wenn man noch die rechten Seiten als Spalte neben die Matrix schreibt; man erhält dann die sogenannte erweiterte Matrix Im letzten Beispiel sieht das wie folgt aus: Matrix } 0 5 {{ 10 } erweiterte Matrix Wir kommen nun zum ersten Hauptresultat dieses Abschnittes

3 Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 57 Satz 223 (Struktur der Lösungsmenge eines LGS) Gegeben sei das LGS (A, b) über dem Körper K wie in Definition 222 a) Die Lösungsmenge L(A, 0) des zugehörigen homogenen LGS ist ein Untervektorraum von K n b) Falls das inhomogene LGS (A, b) überhaupt eine Lösung besitzt, etwa c = (c 1, c 2,, c n ) L(A, b), erhält man alle Lösungen in der Form c+u, wobei u die Lösungsmenge des homogenen Systems durchläuft: L(A, b) = {c + u u L(A, 0)} Geometrisch handelt es sich bei L(A, b) um eine Verschiebung des Untervektorraumes L(A, 0) um den Verschiebungsvektor c, also etwa um eine Gerade oder Ebene, die jedoch für b 0 nicht durch den Nullpunkt geht Beweis von Satz 223 Zu Teil a): Zu zeigen ist, dass die Menge L(A, 0) die drei Bedingungen an einen Untervektorraum erfüllt: Zu (UV1): Es seien x = (x 1, x n ), y = (y 1,, y n ) L(A, 0) Wir müssen x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x n + y n ) betrachten Einsetzen in die i-te Gleichung liefert a i1 (x 1 + y 1 ) + a i2 (x 2 + y 2 ) + a in (x n + y n ) = (a i1 x a in x n ) + (a i1 y a in y n ) = = 0, also wie gewünscht x + y L(A, 0) Zu (UV2): Es sei α K und x = (x 1,, x n ) L(A, 0) Einsetzen von α x in die i-te Gleichung liefert a i1 (αx 1 ) + a i2 (αx 2 ) + + a in (αx n ) = α(a i1 x a in x n ) = α 0 = 0, also α x L(A, 0) Zu (UV3): Einsetzen des Nullvektors 0 = (0,, 0) liefert a i a in 0 = 0, also 0 L(A, 0) Zu Teil b): Es sind zwei Inklusionen zu zeigen: 1 L(A, b) {c + u u L(A, 0)} 2 {c + u u L(A, 0)} L(A, b) Zu 2: Sei u = (u 1,, u n ) L(A, 0) Betrachte c + u = (c 1 + u 1,, c n +u n ) Einsetzen der Komponenten in die i-te Gleichung liefert a i1 (c 1 + u 1 ) + + a in (c n + u n ) = (a i1 c a in c n ) + (a i1 u a in u n ) = b i + 0 = b i Also ist c + u L(A, b) Zu 1: Sei y = (y 1,, y n ) L(A, b) Betrachte den Vektor x = y c = (y 1 c 1,, y n c n ) Einsetzen von x in die i-te Gleichung liefert a i1 x 1 + a i2 x a in x n = a i1 (y 1 c 1 ) + + a in (y n c n ) = (a i1 y a in y n ) (a i1 c a in c n ) = b i b i = 0 Also ist x Lösung des homogenen Systems, x L(A, 0) Es folgt y = c+x mit x L(A, 0), wie behauptet Der eben gegebene Beweis war zwar einfach, erforderte aber eine gewisse Schreibarbeit Diese kann man weitgehend abkürzen, wenn man

4 58 Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau Matrizen einführt und hierfür einige Rechenregeln benutzt Eine begriffliche Vertiefung erfährt der Beweis im Kontext von sogenannten linearen Abbildungen Wir kommen auf beides zurück Die in Teil b) von Satz 223 auftretenden Mengen bekommen einen eigenen Namen: Definition 224 Ein affiner Unterraum oder affiner Teilraum eines Vektorraumes ist eine Teilmenge der Form v 0 + U := {v 0 + u u U}, wobei U ein Untervektorraum von V ist Ein affiner Unterraum ist also ein um einen festen Vektor verschobener Untervektorraum Wir illustrieren den Satz 223 an zwei Beispielen Beispiel 225 (1) Betrachte eine Gleichung mit zwei Unbestimmten 2x 1 x 2 = 2 (also m = 1, n = 2, A = (2, 1), b = 2) Für die Lösungsmenge gilt offensichtlich L(A, 0) = {(x 1, x 2 ) x 2 = 2x 1, x 1 K} = {(x, 2x) x K} = K(1, 2) Dieses ist in der Tat ein Unterraum, die von (1, 2) aufgespannte Gerade Weiter gilt L(A, 2) = {(x 1, x 2 ) x 2 = 2x 1 2, x 1 K} = {(x, 2x 2) x K} = {(0, 2) + (x, 2x) x K} = {(0, 2) + u u L(A, 0)} Mit der speziellen Lösung c = (0, 2) L(A, b) ist das genau die im Satz behauptete Gestalt der Lösungsmenge (2) (vergl Beispiel 221(3)) K = R x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 x 2 + 2x 3 = 3 Als spezielle Lösung findet man c = (0, 1, 1), das ist die einzige Lösung mit c 1 = 0 Ferner hatten wir oben festgestellt L(A, 0) = {( a, a, a) a R} = R( 1, 1, 1), eine Gerade durch den Nullpunkt Anwendung unseres Satzes liefert L(A, b) = {c + u u L(A, 0)} = {( a, 1 a, 1 + a) a R}, was man auch leicht direkt überprüfen kann Wir wollen im Folgenden ein systematisches Lösungsverfahren für LGS beschreiben Hierfür wird der folgende Satz die Grundlage liefern Er beschreibt, wie man LGS abändern kann, ohne ihre Lösungsmenge zu verändern

5 Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 59 Definition und Satz 226 Zwei lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn sie durch eine Kette von sogenannten elementaren Umformungen der folgenden Art ineinander überführt werden können: 1 Vertauschen zweier Gleichungen 2 Multiplizieren einer Gleichung mit einer Zahl α K {0} 3 Ersetzen der i-ten Gleichung durch i-te + α-mal k-te Gleichung für zwei Indizes i k und ein α K Äquivalente Gleichungssysteme haben die gleiche Lösungsmenge Beweis: Zu zeigen ist L(A, b) = L(A, b ), wenn (A, b ) aus (Ab) durch eine elementare Umformung hervorgeht Für elementare Umformungen vom Typ 1 ist das klar Für den Typ 2 gilt sicher L(A, b) L(A, b ) (jede Lösung ist auch Lösung des umgeformten Systems); da man durch Multiplikation mit α 1 von (A, b ) zu (A, b) zurückkommt, gilt auch die umgekehrte Inklusion, also Gleichheit Beim Typ 3 ist es völlig analog: L(A, b) L(A, b ) ist klar; ferner kann man durch die Operation i-te Gleichung minus α-mal k-te Gleichung von (A, b ) zu (A, b) zurückkommen (denn die k-te Gleichung von (A, b) wird in (A, b ) beibehalten) Also gilt auch L(A, b ) L(A, b), also insgesamt Gleichheit Der letzte Satz war ganz einfach zu beweisen, ist aber bereits die Grundlage für das allgemeine Lösungsverfahren nach Gauß, bei dem man ein beliebiges, vorgegebenes LGS durch elementare Umformungen auf eine einfache, direkt lösbare Gestalt bringt Ziel ist es, insbesondere durch Umformungen vom Typ 3 einzelne Variablen aus möglichst vielen Gleichungen zu eliminieren, zb x 1 aus der 2-ten, 3-ten,, m-ten Gleichung

6 60 Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau Beispiele 227 (Lösung von Linearen Gleichungssystemen durch elementare Umformungen) Beispiel (1) x 1 + 2x 2 x 3 = 1 Typ 3 2x 1 + x 2 x 3 = 2 Das 2-fache der ersten Zeile zur zweiten x 1 x 2 + 2x 3 = 0 Zeile addieren x 1 + 2x 2 x 3 = 1 Typ 3 3x 2 + x 3 = 0 Die erste Zeile zur dritten Zeile addieren x 1 x 2 + 2x 3 = 0 x 1 + 2x 2 x 3 = 1 Typ 1 3x 2 + x 3 = 0 Zur Vermeidung von Divisionen zweite und x 2 + x 3 = 1 dritte Zeile vertauschen x 1 + 2x 2 x 3 = 1 Typ 3 x 2 + x 3 = 1 Das 3-fache der zweiten Zeile zur dritten 3x 2 + x 3 = 0 Zeile addieren x 1 + 2x 2 x 3 = 1 x 2 + x 3 = 1 4x 3 = 3 Ein solches System in Dreiecksgestalt kann von unten nach oben direkt gelöst werden: x 3 = 3 4 x 2 = 1 x 3 = 1 4 x 1 = 1 2x 2 + x 3 = = 5 4 Es gibt genau eine Lösung, nämlich x = ( 5 4, 1 4, 3 4) Bemerkung : Wegen der weitgehenden Vermeidung von Divisionen macht diese Herleitung Sinn in jedem Körper K, in dem 4 := ist, also zum Beispiel in K = Q, R, C und Z/pZ für jede Primzahl p 2 Wir schreiben die Umformungsschritte noch einmal in der abgekürzten Notation mit den erweiterten Matrizen (A, b) auf:

7 Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 61 In Zukunft werden wir unabhängige Schritte wie hier den ersten und zweiten oft in einem Schritt notieren Beispiel (2) 2x 1 +x 2 x 4 = 3 x 1 x 2 +x 3 = 2 x 2 +x 3 +x 4 = 2 Wir benutzen sofort die abgekürzte Notation und führen an zwei Stellen Vertauschungen zur Vermeidung von Divisionen durch: Zurück zu den Gleichungen: x 1 x 2 +x 3 = 2 x 2 +x 3 +x 4 = 2 x x 4 = 7 5 Bestimmung der vollständigen Lösungsmenge: Setze x 4 := a R beliebig L(A, b) = x 3 = 4 5 x = a x 2 = x 3 x = a x 1 = x 2 x = a {( a, a, ) } 5 a, a a R Wir können die allgemeine Lösung etwas umschreiben ( 6 x = a, a, ) ( 6 5 a, a = 5, 3 5, 7 ) ( ) 3 5, 0 + a 5, 1 5, 4 5, 1 So ergibt sich die Lösungsmenge in der Form von Satz 223 L(A, b) = c + L(A, 0) mit der speziellen Lösung c = ( 6 5, 3 5, 7 5, 0) und der Lösungsmenge ( ) 3 L(A, 0) = R 5, 1 5, 4 5, 1 des homogenen Systems 7 5 Der folgende Satz beinhaltet kurz gesprochen, dass das in den beiden Beispielen illustrierte Lösungsverfahren immer zum Ziel führt

8 62 Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau Satz 228 (Gauß-Verfahren) a) Jedes Lineare Gleichungssystem (A, b) lässt sich durch elementare Umformungen in ein LGS (Â, b) in folgender Stufenform überführen: x k1 + + â 1n x n = b 1 x k2 + + â 2n x n = b 2 x kr + + â rn x n = b r = b r = b m Dabei ist 1 k 1 < k 2 < < k r n, 0 r m Für die Koeffizienten des umgeformten Systems gilt also â i,ki = 1 für i = 1,, r, â i,j = 0 für j < k i, ferner â i,j = 0 für i > r und alle j b) Das System hat genau dann Lösungen, wenn b r+1 = = b m = 0 In diesem Fall erhält man alle Lösungen, indem man die x j mit j {k 1, k 2,, k r } frei wählt und die übrigen x j, j = k r, k r 1,, k 1 sukzessiv ( von unten nach oben ) aus den verbleibenden r Gleichungen berechnet Beweis von a) durch Ausformulieren des Verfahrens Die Aussage b) ist klar: Man erhält auf die angegebene Weise Lösungen, und andere Lösungen kann es nicht geben Die im Satz 228 vorkommende Zahl r bezeichnen wir (zunächst vorläufig und informell) als den Rang des LGS; dieses ist also die Anzahl der verbleibenden wesentlich verschiedenen Gleichungen nach Umformung Es ist einleuchtend, aber noch nicht bewiesen, dass der Rang nur von dem ursprünglichen Gleichungssystem, aber nicht der genauen Art der Umformung abhängt Eine präzise Grundlegung des Begriffs Rang erfordert mehr Theorie und wird abschließend erst in Abschnitt 25 unter 251, 253, 256 gegeben Beispiel 229 (Zeilenstufenform und Rang) Wir betrachten die folgenden Umformungen des gegebenen, inhomogenen 4 5-Gleichungssystems: Es ist r = 2, k 1 = 1, k 2 = 3; die Variablen x 2, x 4, x 5 werden frei gewählt, x 1, x 3 ergeben sich dann aus den beiden verbleibenden Gleichungen Wie bei 227(2) kann man die Lösungsmenge explizit als affinen Unterraum beschreiben

9 Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 63 Wir ergänzen zum Abschluss dieses Abschnitts die nun schon vielfach in Beispielen benutzte abgekürzte Schreibweise durch eine förmliche Definition, nämlich die einer Matrix: Definition 2210 Es seien m, n N und K ein Körper Eine m n-matrix über K (oder mit Koeffizienten in K ) ist ein rechteckiges Schema von m n Elementen aus K in der Form a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Man schreibt hierfür auch A = (a ij ) i=1,,m, kurz (a ij ) j=1,,n A ist das Symbol für die gesamte Matrix, ihre Einträge heißen a ij Entsprechend B = (b ij ), T = (t ij ) usw Im Zusammenhang mit Matrizen schreibt man die Elemente des K n oft als Spalten statt als Zeilen, wie es bei allgemeinen Tupeln üblich ist Generell kann man den Begriff der Matrix benutzen, um wenn nötig zwischen Zeilenvektoren und Spaltenvektoren zu unterscheiden Ein Zeilenvektor ist eine 1 n-matrix, ein Spaltenvektor eine n 1-Matrix (Siehe auch den folgenden Abschnitt 24) Die unter 226 eingeführten elementaren Umformungen machen auch für Matrizen Sinn Da diese Tatsache später besonders wichtig wird, gibt es hierfür noch eine gesonderte Definition: Definition 2211 Die folgenden Umformungen einer m n-matrix heißen elementaren Zeilenumformungen: 1 Vertauschen zweier Zeilen 2 Multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl α K {0} 3 Hinzuaddieren des α-fachen der k-te Zeile zur i-ten Zeile für zwei Indizes i k und ein α K Der Deutlichkeit halber halten wir explizit fest, dass bei Umformungen vom Typ 3 die k-te Zeile beibehalten wird und die i-te Zeile wie angegeben ersetzt wird Völlig analoge Unmformungen kann man auch für die Spalten einer Matrix durchführen; sie heißen dann elementare Spaltenumformungen Wir kommen später darauf zurück, wenn die Spalten einer Matrix eine eigenständige Bedeutung bekommen

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