Tutorium zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie I -Bearbeitungsvorschlag-

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1 MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN D Rost L Ramzews WS 18/19 Blatt 9118 Tutorium zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie I -Bearbeitungsvorschlag- 1 Für das in Abhängigkeit vom Parameter t R gegebene lineare Gleichungssystem x + z = (G t ) x t y + z = x + y + t z = 1 betrachten wir die zugehörige erweiterte Koeffizientenmatrix (A t b) und erhalten III + I II I (A t b) = t 1 t 1 t 1 t + III II wodurch wegen t + t III + t II t + = (A t b t), t (t + ) t t t (t + ) 1 (t + ) = = t + t 1 () (t ) = die folgende Fallunterscheidung motiviert wird: () (t ) 1 Fall: t R \ {, }, also (A t b t) = t + () (t ) t, also ist das LGS (G t ) lösbar ohne freie Variable, also eindeutig lösbar Wir lösen von unten nach oben und erhalten () (t ) z = (t ) = z = y + (t + ) = = y = 1 ( (t + ) ) = () (t + ) x + = = x = + () = = Folglich ergibt sich in diesen Fällen die jeweils einelementige Lösungsmenge (t + 1) L t = = 1, t R\{, } (t+1) (t + 1) =

2 Fall: t = (A b ) =, } 1 Hier steht rechts keine folglich ist das lineare Gleichungssystem (G ) nicht lösbar, also L = Fall: t = (A b ) = }, Hier steht auch rechts eine folglich ist das lineare Gleichungssystem (G ) lösbar mit einer freien Variablen (z = λ frei), also L = Auflösen von unten her liefert z = λ y + λ = = y = λ x + λ = = x = + λ Folglich ergibt sich in diesem Fall die Lösungsmenge + λ L = λ λ R λ Für n N mit n ist das inhomogene lineare Gleichungssystem in den n Unbekannten x 1,, x n mit den n Gleichungen k x j j=1 n j=k+1 x j = 1 für k = 1,,, n 1 (Gleichung 1 bis n 1) n x j = 1 (Gleichung n) j=1 zu betrachten; es besitzt damit die erweiterte Koeffizientenmatrix (A b) = R n (n+1) Durch EZUs stellen wir eine Zeilenstufenform von A her, indem wir zuerst die 1 Zeile von der,, usw bis n-ten Zeile subtrahieren, anschließend die Zeile von der, usw bis n-ten Zeile, und so fortfahren, bis wir im letzten Schritt die n-1-te Zeile von der n-ten Zeile abziehen, und so

3 die Zeilenstufenform A erhalten: III I II I (A b) IV II III II = (A b ) Damit besitzt das gegebene lineare Gleichungssystem genau eine Lösung (es gibt keine freien Variablen), und man erhält durch Auflösen von unten nach oben x n = x n 1 = x n = = x =, 1 x 1 = 1, also ist die Lösungsmenge L = {e 1 }, wobei e 1 = Rn Ein Produkt P Q zweier Matrizen läßt sich dann bilden, wenn die Spaltenzahl von P identisch mit der Zeilenzahl von Q ist (und das Produkt erbt dann die Zeilenzahl von P und die Spaltenzahl von Q) Damit ergeben sich die sechs möglichen Produkte: A B = ( ) , A C = C B = ( ) 1, B D = 6, , C = C C = 1 1, D A = Geduldiges Rechnen liefert A = = 6 7, 8 dh es ist A = A (So etwas passiert mit Zahlen, außer mit und 1, nicht mit Matrizen kann es jedoch oft vorkommen!) aber zu erwarten, daß A r = A für alle r 1 gilt

4 Dies kann man mit vollständiger Induktion nach r beweisen: Der Fall r = 1 ist klar Für den Induktionsschluß r r + 1 (für r 1) genügt nun die Beobachtung A r+1 = A r A Indvoraussetzung Rechnung oben = A A = A Ebenso fleißiges Rechnen ergibt 1 1 B = = Hier ist noch nichts Interessantes zu erkennen, also rechnen wir frohgemut weiter: 1 B = B B = = =: O (= Nullmatrix) Damit kann man nun etwas anfangen, denn es ist zu erwarten, da dann B r = O für alle r ist Das ist so gut wie klar; wer ganz genau ist, beweist es zb ebenfalls mit vollständiger Induktion: Der Induktionsanfang r = steht schon da; für den Induktionsschluß r r + 1 (für r ) rechnet man B r+1 = B r B Indvoraussetzung = O B = O Routiniertes Rechnen ergibt C = 1 1 = und, weil man bislang noch nichts Interessantes erkennen konnte, C = 1 1 = Dies bedeutet aber C = E, und damit können wir die nächsten Potenzen leicht berechnen: 1 C = C C = E C = C =, 1 7 C = C C = C C = C = 1, C 6 = C C = C C = C = ( E ) = E = 1 1 Damit ist aber C 7 = C 6 C = E C = C usw und allgemein C r+6 = C r C 6 = C r E = C r

5 für alle r 1 Man erhält also, indem man r als 6k + i mit i {,, } und k N schreibt, für alle k N C 6k = E, 1 C 6k+1 = C = 1, 1 7 C 6k+ = C = 1, 1 1 C 6k+ = C = E, 1 C 6k+ = C = C =, 1 7 C 6k+ = C = C = 1 1 1