Test 2, Musterlösung. Name, Klasse: Semester: 1 Datum: Teil ohne Matlab

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1 Test 2, Musterlösung Lineare Algebra Institut für Mathematik und Physik Name, Klasse: Semester: Datum: Teil ohne Matlab. Lineare Abbildungen Zeigen Sie, dass die folgenden Abbildungen L linear oder nicht linear sind und geben Sie falls möglich die entsprechende Darstellung als Matrix an Basis: Standart- Basis. z a L : R 3 R 3 definiert durch Lx, y, z = y + 2y b L : R 2 R 2 definiert durch Lx, y = Lösung x y y x + y a Zuerst wird der Ausdruck vereinfacht: Lx, y, z = z y x + y Homogenität: λ z λ z z Lλ x, λ y, λ z = λ y = λ y = λ y = λ Lx, y, z λ x + λ y λ x + y x + y Additivität: Lx + x, y + y, z + z = z + z y + y x + x + y + y z z = y x + y + y x + y = Lx, y, z + Lx, y, z Die Abbildung ist linear und die Matrix lautet A = b Die Abbildung ist nicht linear, z.b. die Homogenität ist nicht erfüllt: λ x λ y λ x y Lλ x, λ y = = λ y λ y

2 Lineare Algebra Test 2, Musterlösung 3. Dezember Lineares Gleichungssystem Bestimme die Lösungsmenge des folgendes linearen Gleichungsystems in den 5 Unbekannten x, y, z, v und w. x + z + 8w = x + y + z w = x z + v w = Lösung: Das Gleichung-System hat 3 Gleichungen und 5 Unbekannte, also können zwei Parameter frei gewählt werden. In der erweiterten Matrix-Schreibweise geordnet nach x, y, z, v, w: 8 Wir führen folgende Elimination durch: L = L : 8 L 2 = L 2 + L : 2 7 L 3 = L 3 + L : 2 Dies ist die Zeilenstufenform und wir erkennen die freien Parameter z und w und die Pivot-Variablen x, y und v. Wir setzen w = z = und setzen von unten nach oben ein: 8 v = 2 = 2, y = 7 = 7, x = 8 = Nun setzen wir z = w = und setzen von unten nach oben ein: v =, y = 2 = 2, x = = 2 Seite 2 / 6

3 Lineare Algebra Test 2, Musterlösung 3. Dezember 26 Die allgemeine Lösung ist also x 8 y z v = λ λ 2 2 w 3. Effiziente Berechnung der Determinante 239 Berechnen Sie die Determinante effizient. Bringen Sie dazu die Matrix in Dreiecksform R = Lösung: Beginn: Vorfaktor f =. Elimination: R = Z = Z : Z 2 = Z 2 3 Z : Z 3 = Z 3 2 Z : 2 8 Z 4 = Z 4 2Z : Um weiter zu eliminieren, teilen wir die zweite Zeile durch 3 Z = Z : R = Z 2 = Z 2 : Z 3 = Z 3 : 2 8 Z 4 = Z 4 : Dabei ändert sich der Vorfaktor: f = f = 3 Eliminieren: /3 Z = Z : R = Z 2 = Z 2 : 2 3 Z 3 = Z 3 : 5 Z 4 = Z 4 Z 2 : 3 Wir vertauschen die beiden letzten Zeilen, der Vorfaktor ändert sich f = f = 3 und die Determinante kann aus den Diagonalelementen berechnet werden detr = 5 f = 5 2. Teil mit Matlab 4. Matrix-Abbildung Die Spalten der Matrix A = a, a 2, a 3 = spannen ein Paral lelepiped auf. Seite 3 / 6

4 Lineare Algebra Test 2, Musterlösung 3. Dezember 26 a Berechnen Sie den Normalenvektor der Fläche E aufgespannt durch a und a 2. b Berechnen Sie die den Schnittwinkel zwischen E und der Fläche E 2 aufgespannt durch a 2 und a 3. c Berechnen Sie das Volumen des Parallelepipeds. Lösung 6 a Der Normalenvektor ergibt sich aus dem Kreuzprodukt n = a a 2 = Matlab-Befehl: cross 3.46 b Der Winkel zwischen den Ebenen berechnet sich aus dem Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren. n 2 = a 2 a 3 = Der Schnittwinkel ist 3 dann n n 2 α = arccos = π n n 2 2 = 9 c deta = Gleichungssystem Berechne die Schnittpunkte der Geraden g und des Kreise k. Geben Sie die Schnittpunkte als Spaltenvektoren an. g geht durch die Punkte P = Lösung und Q = k : x y2 = 25 2, und k ist gegeben durch 2 >> syms m c x y >> S=s o l v e c+m =, c+m =2, m, c >> k=[s. c S.m ] k = [ 3/2 /2 ] >> P=s o l v e char k+k 2 x=y, 5/2 + xˆ2+/2+yˆ2= 25/2, x, y ; >> l s s =[P. x P. y ] l s s = [ ] [ 2/5 8/5] % Es g i b t zwei Schnittpunkte [ ] % und [ 4. 2, 3.6] Seite 4 / 6

5 Lineare Algebra Test 2, Musterlösung 3. Dezember 26 Der Befehl char verwandelt den Ausdruck, der die Symbole x und y enthält in einen String Aneinanderreihung von Buchstaben. Die Aufgabe kann auch ohne char gelöst werden, indem man von Hand die Werte von oben einsetzt. 6. Lineares Gleichungssystem Prüfen Sie nach, welche der Vektoren Lösungen des des folgenden Gleichungssystems sind: 3v + 4w + 9x y 6z = 2 5v + 2w + 5x + 3y + 8z = 4 2v + w 6x + y 2z = 52 Bestimmen Sie anschliessend die gesamte Lösungsmenge in R 5 des Gleichungssystems. v 3 w x y = 7, 5 3, 7, 7 4 z 4 Lösung: Wir benennen die Koeffizientenmatrix A und die Inhomogenität b Der angegebene Vektor v ist eine Lösung denn A = b = Die vorgeschlagenen Lösungen nummerieren wir von bis 4. Dann ergibt sich A v b =, A v 2 b =, A v 3 b =, A v 4 24 b = 72, 8 Das bedeutet, dass die ersten 3 Vektoren das Gleichungssystem erfüllen, der letzte aber nicht. Um die allgemeine Lösung zu bestimmen, bringen wir die Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform: A = Wir sehen, dass die Zeilen linear unabhängig sind, d.h. es gibt 5 Unbekannte, 3 linear unabhängige Gleichungen also 2 Richtungsvektoren in der allgeminen Lösung. Wir Konstruieren die Lösung also folgendermassen: 3 7 l = v +λ v 2 v +λ2 v 3 v = +λ λ Seite 5 / 6

6 Lineare Algebra Test 2, Musterlösung 3. Dezember 26 = λ λ 2 3 Seite 6 / 6