Stg.: AIW BU BVT ET EUT IIW LUM MB MEC SB VT Sonstige

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1 Technische Universität Hamburg Sommersemester 08 Institut für Mathematik Prof. Dr. Marko Lindner Klausur zur Mathematik I (Veranstaltung: Lineare Algebra I Sie haben 60 Minuten Zeit zum Bearbeiten der Klausur. Tragen Sie bitte zunächst Ihren Namen Ihren Vornamen und Ihre Matrikelnummer in DRUCKSCHRIFT in die folgenden jeweils dafür vorgesehenen Felder ein. Name: Vorname: Matr.-Nr.: Stg.: AIW BU BVT ET EUT IIW LUM MB MEC SB VT Sonstige Grundsätzlich gilt für alle Studierenden dass die Lehrveranstaltungen Analysis I und Lineare Algebra I die Gesamtnote für das Modul Mathematik I ergeben. Ich bin darüber belehrt worden dass die von mir zu erbringende Prüfungsleistung nur bewertet wird wenn das Zentrale Prüfungsamt der TUHH meine ozielle Zulassung vor Beginn der Prüfung bestätigt. (Unterschrift Bearbeiten Sie alle wie folgt angegebenen Aufgaben. Es werden insgesamt 0 Punkte vergeben. Aufgabe Punkte Korrektor 5

2 Aufgabe ( Punkte Sind die folgenden Aussagen wahr bzw. falsch? Begründen Sie Ihre Entscheidung. (a Seien A B C Mengen. Dann gilt A \ (B C (A \ B (A \ C. (b Sind X Y Z Mengen und die Funktionen f : X Y g : Y Z bijektiv dann ist g f : X Z ebenfalls bijektiv. (c A : A 0 9. (d Sind x y R und gilt x y o dann ist die Familie (x y linear abhängig. Lösungshinweise (a Die Aussage ist wahr. Sei x A \ (B C d.h. x A aber x / B C also x / B und x / C. Dann ist x A \ B und x A \ C also x (A \ B (A \ C. Ist umgekehrt x (A \ B (A \ C dann ist x A \ B und x A \ C also x A und x / B und x / C also x A \ (B C. ( Punkt (b Die Aussage ist wahr. Bijektivitität bedeutet Invertierbarkeit der Abbildung. Sei h : f g : Z X. Dann gelten und h (g f ( f g (g f f g g f f f id X (g f h (g f ( f g g f f g g g id Z. Also ist h (g f und damit g f bijektiv. ( Punkt (c Die Aussage ist falsch. Es gilt A : A und damit A : A 0 8. ( Punkt (d Die Aussage ist wahr. Da x y die Fläche des von x und y aufgespannten Parallelogramms beschreibt muss die Fläche also Null sein. Damit sind x und y Vielfache voneinander also linear abhängig. ( Punkt

3 Aufgabe Sei ( Punkte E : v R : v 0 eine Ebene in R und für a R sei die Gerade g a in R gegeben durch a + g a : + λ a + R : λ R. a (a Bestimmen Sie alle a R so dass g a die Ebene E schneidet. (b Ermitteln Sie den Schnittpunkt im Fall a. Lösungshinweise Wir setzen einen beliebigen Punkt von g a in die bestimmende Gleichung für E ein und erhalten ( a λ a + a + λ a + a + a + λ( a +. ( P unkte Diese Gleichung besitzt genau dann eine Lösung λ R falls a + 0 also a. Genau für diese a schneidet g a die Ebene E in genau einem Punkt der durch den Geradenparameter λ a+ beschrieben wird. ( Punkt Wir lesen auÿerdem ab: g E. Für a erhalten wir λ und damit als Schnittpunkt ( P unkt 5

4 Aufgabe (5 Punkte Sei A : (a Berechnen Sie die Dimension von Bild(A. (b Ist b : 0 Bild(A? Begründen Sie Ihre Entscheidung. 5 (c Ist die Abbildung f A : R R f A (x : Ax surjektiv? Begründen Sie Ihre Entscheidung. Lösungshinweise Wir nutzen den Gauÿ-Algorithmus für A: 6 8 g 6 6 ( g g ( P unkte Wir lesen ab: die erste und die dritte Spalte Span( haben ein Pivotelement also ist Bild(A 6 und hat damit Dimension. ( Punkt Um zu testen ob b Bild(A gilt prüfen wir das Gleichungssystem Ax b auf Lösbarkeit. Wir kopieren die Gauÿ-Schritte von oben für A und führen sie parallel für b mit aus: g ( g g Wir lesen ab: Das Gleichungssystem Ax b ist lösbar also ist b Bild(A. ( Punkt Da Rang(A (es gibt zwei Pivotelemente in der Zeilenstufenform von A und die Zeilenanzahl m ist ist f A nicht surjektiv. ( Punkt

5 Aufgabe Berechnen Sie ( Punkte 0 0 det Sind die Spalten der Matrix linear unabhängig? Begründen Sie Ihre Entscheidung. Lösungshinweise Wir nutzen Laplace-Entwicklung nach der ersten Zeile und danach die Regel von Sarrus und erhalten damit 0 0 det det ( det ( ( ( ( ( 5. ( P unkte Da die Determinante ungleich Null ist sind die Spalten der Matrix linear unabhängig. ( Punkt

6 Aufgabe 5 ( Punkte Sei U : Span (. Bestimmen Sie die orthogonale Projektion von dem Vektor x : auf U. Lösungshinweise 5 Oenbar ist B ( eine Basis von U. Die Gram'sche Matrix zu B lautet G(B ( ( P unkt und weiterhin gilt (. ( P unkt Das Gleichungssystem G(B ( α α

7 lautet somit ( ( α dessen Lösung ( α α α ist. ( Punkt Damit erhalten wir x U α + α ( ( ( P unkt