Name: Matrikelnr.: Fach: Aufgabe Summe Punkte

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1 . Scheinklausur - Version Höhere Mathematik I Name: Matrikelnr.: Fach: Aufgabe Summe Punkte Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 90 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Zwei handschriftlich beschriebene Seiten DIN A Papier. Es wird nur die Angabe von Endergebnissen verlangt. Nebenrechnungen werden nicht gewertet und daher auch nicht eingesammelt. Viel Erfolg! x 0 π 6 sinx 0 cosx π π π 0 Aufgabe Punkt Bitte geben Sie den Namen Ihres Tutors bzw. Ihrer Tutorin und die Nummer Ihrer Übungsgruppe an. Name des Tutors/der Tutorin: Gruppennr.: Aufgabe 5 Punkte Gegeben sind die Punkte P =,,, P =,, und P =,,. Geben Sie die Hessesche Normalform der Ebene E durch diese Punkte an. E : x +x x 57 = 9 57 Berechnen Sie den Schnittpunkt S der Ebene E mit der Geraden g durch P = 0,,0 und P 5 =,,. S =, 9, 7

2 . Scheinklausur - Version Höhere Mathematik I Aufgabe Punkte Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrix A sowie die Dimension des Kerns der linearen Abbildung f : R R, v Av. 0 A = 0 Geben Sie die Dimensionsformel an: dimr = dimkernf+dimbildf RgA = dimkernf = Aufgabe 9 Punkte Gegeben ist die Matrix At = 0 mit t R. 7 t. Für welche t besitzt At eine Inverse? t 6 Berechnen Sie für diese t die dritte Zeile der Inversen At :,, t+6. Wie lautet insbesondere A 7? A 7 = 7 8

3 . Scheinklausur - Version Höhere Mathematik I Aufgabe 5 Punkte Sei v =,,, und w =,0,,. Berechnen Sie das Skalarprodukt v w = Zerlegen Sie w in einen Vektor v 0 orthogonal zu v und einen Vektor v L v: v 0 = 7,,8, 9 v =,,, 5 5 Aufgabe 6 5 Punkte Für welches c ist das lineare Gleichungssystem Ax = b mit 5 A = 6 und b = lösbar? 8 c c = 8. Wie lautet die allgemeine Lösung für dieses c? +λ x x = x = +λ x λ Aufgabe 7 5 Punkte Gegeben seien die komplexen Zahlen z = +i und z = i. Geben Sie die Polarkoordinatendarstellungen von z und z an und berechnen Sie damit die Polarkoordinatendarstellungen von z 0 sowie z. Welche Polarkoordinatendarstellung hat die komplexe Zahl z = z0 In allen Fällen soll das Argument zwischen 0 und π liegen. z? z = e i π z = e i π z 0 = e i π z = 6e i π z = e i 7π 6 Hier wird die abkürzende Schreibweise e it := cost+isint verwendet.

4 . Scheinklausur - Version Höhere Mathematik I Aufgabe 8 9 Punkte In R seien die Standardbasis E: e =,0, e = 0, und die Basis B: b =,, b =, gegeben. Sei α: R R die durch definierte lineare Abbildung. αb = 5, 0 und αb =, 6. Berechnen Sie die Matrixdarstellungen B id B, E id B und B id E. 0 B id B = 0 E id B = B id E =. Berechnen Sie die Matrixdarstellungen E α B, E α E und B α E. 5 7 E α B = 0 6 E α E = 6 B α E =

5 . Scheinklausur - Version Höhere Mathematik I Name: Matrikelnr.: Fach: Aufgabe Summe Punkte Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 90 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Zwei handschriftlich beschriebene Seiten DIN A Papier. Es wird nur die Angabe von Endergebnissen verlangt. Nebenrechnungen werden nicht gewertet und daher auch nicht eingesammelt. Viel Erfolg! x 0 π 6 sin x 0 cosx π π π 0 Aufgabe Punkt Bitte geben Sie den Namen Ihres Tutors bzw. Ihrer Tutorin und die Nummer Ihrer Übungsgruppe an. Name des Tutors/der Tutorin: Gruppennr.: Aufgabe 5 Punkte Gegeben sind die Punkte P =,,, P =,, und P =,,. Geben Sie die Hessesche Normalform der Ebene E durch diese Punkte an. E : x x +5x 0 = 5 0 Berechnen Sie den Schnittpunkt S der Ebene E mit der Geraden durch P =,, und P 5 =,,. S = 9,,

6 . Scheinklausur - Version Höhere Mathematik I Aufgabe Punkte Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrix A sowie die Dimension des Kerns der linearen Abbildung f : R R, v Av. A = 0 0 Geben Sie die Dimensionsformel an: dimr = dimkernf+dimbildf RgA = dimkernf = Aufgabe 9 Punkte Gegeben ist die Matrix At = 8 mitt R. 5 t. Für welche t besitzt At eine Inverse? t Berechnen Sie für diese t die dritte Zeile der Inversen At :,, t. Wie lautet insbesondere A? A = 9 7 0

7 . Scheinklausur - Version Höhere Mathematik I Aufgabe 5 Punkte Sei v =,0,, und w =,,,. Berechnen Sie das Skalarprodukt v w = Zerlegen Sie w in einen Vektor v 0 orthogonal zu v und einen Vektor v L v: v 0 = 8,, 0,6 v =,0,, Aufgabe 6 5 Punkte Für welches c ist das lineare Gleichungssystem Ax = b mit 5 A = 6 und b = lösbar? c c =. Wie lautet die allgemeine Lösung für dieses c? x = x x x = +λ +λ λ Aufgabe 7 5 Punkte Gegeben seien die komplexen Zahlen z = + i und z = +i. Geben Sie die Polarkoordinatendarstellungen von z und z an und berechnen Sie damit die Polarkoordinatendarstellungen von z sowie z 0. Welche Polarkoordinatendarstellung hat die komplexe Zahl z = z In allen Fällen soll das Argument zwischen 0 und π liegen. z 0? z = e i π z = e i π z = 6e i π z 0 = e i π z = π ei 6 Hier wird die abkürzende Schreibweise e it := cost+isint verwendet.

8 . Scheinklausur - Version Höhere Mathematik I Aufgabe 8 9 Punkte In R seien die Standardbasis E: e =,0, e = 0, und die Basis B: b =,, b =, gegeben. Sei α: R R die durch definierte lineare Abbildung. αb = 5, 0 und αb =,6. Berechnen Sie die Matrixdarstellungen B id B, E id B und B id E. 0 B id B = 0 E id B = B id E =. Berechnen Sie die Matrixdarstellungen E α B, E α E und B α E. E α B = E α E = B α E =

9 . Scheinklausur - Version Höhere Mathematik I Name: Matrikelnr.: Fach: Aufgabe Summe Punkte Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 90 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Zwei handschriftlich beschriebene Seiten DIN A Papier. Es wird nur die Angabe von Endergebnissen verlangt. Nebenrechnungen werden nicht gewertet und daher auch nicht eingesammelt. Viel Erfolg! x 0 π 6 sin x 0 cosx π π π 0 Aufgabe Punkt Bitte geben Sie den Namen Ihres Tutors bzw. Ihrer Tutorin und die Nummer Ihrer Übungsgruppe an. Name des Tutors/der Tutorin: Gruppennr.: Aufgabe 5 Punkte Gegeben sind die Punkte P = 0,,, P =,, und P =,,. Geben Sie die Hessesche Normalform der Ebene E durch diese Punkte an. E : x +7x x 57 = 0 57 Berechnen Sie den Schnittpunkt S der Ebene E mit der Geraden durch P =,0, und P 5 =,,. S = 9,8, 8 0

10 . Scheinklausur - Version Höhere Mathematik I Aufgabe Punkte Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrix A sowie die Dimension des Kerns der linearen Abbildung f : R R, v Av. 6 6 A = Geben Sie die Dimensionsformel an: dimr = dimkernf+dimbildf RgA = dimkernf = Aufgabe 9 Punkte Gegeben ist die Matrix At = 7 6 mit t R. t. Für welche t besitzt At eine Inverse? t 8 Berechnen Sie für diese t die dritte Zeile der Inversen At :,, t 8. Wie lautet insbesondere A9? A9 = 0 0

11 . Scheinklausur - Version Höhere Mathematik I Aufgabe 5 Punkte Sei v =,,,0 und w =,,,. Berechnen Sie das Skalarprodukt v w = Zerlegen Sie w in einen Vektor v 0 orthogonal zu v und einen Vektor v L v: v 0 = 6, 0,,7 v 7 =,,,0 7 Aufgabe 6 5 Punkte Für welches c ist das lineare Gleichungssystem Ax = b mit 5 A = 6 und b = lösbar? c c =. Wie lautet die allgemeine Lösung für dieses c? x = x x x = λ λ λ Aufgabe 7 5 Punkte Gegeben seien die komplexen Zahlen z = i und z = +i. Geben Sie die Polarkoordinatendarstellungen von z und z an und berechnen Sie damit die Polarkoordinatendarstellungen von z 0 sowie z. Welche Polarkoordinatendarstellung hat die komplexe Zahl z = z0 In allen Fällen soll das Argument zwischen 0 und π liegen. z? z = e i 5π z = e i π 6 z 0 = e i π z = 6e i π z = e i π 6 Hier wird die abkürzende Schreibweise e it := cost+isint verwendet.

12 . Scheinklausur - Version Höhere Mathematik I Aufgabe 8 9 Punkte In R seien die Standardbasis E: e =,0, e = 0, und die Basis B: b =,, b =, gegeben. Sei α: R R die durch definierte lineare Abbildung. αb = 5, 0 und αb =,. Berechnen Sie die Matrixdarstellungen B id B, E id B und B id E. B id B = 0 0 E id B = B id E =. Berechnen Sie die Matrixdarstellungen E α B, E α E und B α E. E α B = 5 0 E α E = 6 B α E =

13 . Scheinklausur - Version Höhere Mathematik I Name: Matrikelnr.: Fach: Aufgabe Summe Punkte Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 90 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Zwei handschriftlich beschriebene Seiten DIN A Papier. Es wird nur die Angabe von Endergebnissen verlangt. Nebenrechnungen werden nicht gewertet und daher auch nicht eingesammelt. Viel Erfolg! x 0 π 6 sin x 0 cosx π π π 0 Aufgabe Punkt Bitte geben Sie den Namen Ihres Tutors bzw. Ihrer Tutorin und die Nummer Ihrer Übungsgruppe an. Name des Tutors/der Tutorin: Gruppennr.: Aufgabe 5 Punkte Gegeben sind die Punkte P =,0,, P =,5, und P =,,. Geben Sie die Hessesche Normalform der Ebene E durch diese Punkte an. E : x +x 7x 69 = 69 Berechnen Sie den Schnittpunkt S der Ebene E mit der Geraden durch P =,0, und P 5 =,,. S = 7,, 8

14 . Scheinklausur - Version Höhere Mathematik I Aufgabe Punkte Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrix A sowie die Dimension des Kerns der linearen Abbildung f : R R, v Av. A = 0 6 Geben Sie die Dimensionsformel an: dimr = dimkernf+dimbildf RgA = dimkernf = Aufgabe 9 Punkte Gegeben ist die Matrix At = 5 mitt R. t. Für welche t besitzt At eine Inverse? t 9 Berechnen Sie für diese t die dritte Zeile der Inversen At :,, t+9. Wie lautet insbesondere A 8? A 8 = 7 9 0

15 . Scheinklausur - Version Höhere Mathematik I Aufgabe 5 Punkte Sei v =,,, und w = 0,,,. Berechnen Sie das Skalarprodukt v w = 0 Zerlegen Sie w in einen Vektor v 0 orthogonal zu v und einen Vektor v L v: v 0 =,,,5 v =,,, Aufgabe 6 5 Punkte Für welches c ist das lineare Gleichungssystem Ax = b mit 5 A = 6 und b = lösbar? 8 c c = 8. Wie lautet die allgemeine Lösung für dieses c? x = x x x = λ λ λ Aufgabe 7 5 Punkte Gegeben seien die komplexen Zahlen z = + i und z = i. Geben Sie die Polarkoordinatendarstellungen von z und z an und berechnen Sie damit die Polarkoordinatendarstellungen von z sowie z 0. Welche Polarkoordinatendarstellung hat die komplexe Zahl z = z In allen Fällen soll das Argument zwischen 0 und π liegen. z 0? z = e i π z = e i 7π z = 6e i π z 0 = e i π z = ei 7π 6 Hier wird die abkürzende Schreibweise e it := cost+isint verwendet.

16 . Scheinklausur - Version Höhere Mathematik I Aufgabe 8 9 Punkte In R seien die Standardbasis E: e =,0, e = 0, und die Basis B: b =,, b =, gegeben. Sei α: R R die durch definierte lineare Abbildung. αb =,8 und αb =,. Berechnen Sie die Matrixdarstellungen B id B, E id B und B id E. 0 B id B = 0 E id B = B id E =. Berechnen Sie die Matrixdarstellungen E α B, E α E und B α E. E α B = 8 E α E = B α E =