Determinante und Inverse

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1 Vorzeigeaufgaben: Determinante und Inverse Bestimmen Sie für welche a R die folgende Matrix invertierbar ist und berechnen Sie deren Inverse: A = a cos(x) sin(x) a sin(x) cos(x) Bestimmen Sie ob folgende Matrix invertierbar ist und berechnen Sie falls möglich die Inverse. Berechnen Sie det(b). B = HS5 Uebungen Serie Aufgabe 4 Berechne die Determinante folgender Matrizen A = B = a a C = cos(π/5) 4 a sin(π/5) sin(π/5) cos(π/5) D = a a + a a a Lösung: det A = det B = a( + a) det C = det D = HS5 Uebungen Serie 4 Aufgabe Berechne die Determinante der folgenden x Matrizen A = B = Lösung: det A = det B = HS5 Uebungen Serie 4 Aufgabe 4i) Berechne die Determinante von A = 5 Lösung: i) det A =

2 HS5 Uebungen Serie Aufgabe Bestimme, welche der folgenden Matrizen regulär sind und berechne deren Inverses. A = B = Lösung: det A = A regulär und A = / 4/ / / / / det B = nicht invertierbar. HS5 Uebungen Serie Aufgabe ii) Bestimme alle a, b, c, d, e, f R so dass die Matrix a d e b f c invertierbar ist. Lösung: abc resp. a, b, c WIrtschaftsPrüfung - Aufgabe : Für welche t R ist die Matrix Q = t t + invertierbar? Berechnen Sie in diesen Fällen Q. Lösung: Q = (t+) ( t + t ) invertierbar für alle t WIrtschaftsPrüfung - Aufgabe : Für einen gegebenen Winkel α betrachte man die Matrix M = 7 sin α cos α cos α sin α. Berechne die Inverse M. Lösung: M = 7 ( sin(α) cos(α) cos(α) sin(α) )

3 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Vorzeigeaufgabe: Bringen Sie folgendes lineares Gleichungssystem x + x + 4x = x x 5x = 5 mittels des Gausschen Eliminationsverfahren in Zeilen-Stufenform (Row Echelon Form) und bestimme danach die Menge aller Lösungen. HS5 Uebungen Serie Aufgabe Bringen Sie das linearen Gleichungssysteme x + x x = 4 x + x + 5x = mittels des Gausschen Eliminationsverfahren in Zeilen-Stufenform (Row Echelon Form) und bestimme danach die Menge aller Lösungen. Lösung: L = {( + /5x, 8/5x, x ), x R} HS5 Uebungen Serie Aufgabe + Bringe die folgenden linearen Gleichungssysteme mittels des Gausschen Eliminationsverfahren in Zeilen-Stufenform (Row Echelon Form) und bestimme danach die Menge aller Lösungen. i) x + x + x = x + x + x = 4 x + 5x = 4 iii) x + x + x + x 4 = x x + x + x 4 = 8 x 5x + x 4 = 5 iv) x x + x = x + x x = x + 4x x = 5x 8x + x = 5 Lösung: i) L = {( 4,, )} iii) L = {(5 x 4,,, x 4), x 4 R} iv) L = {( + /7 x, /7 x, x ), x R}

4 Vorzeigeaufgabe: Für welche Werte von a und b hat das Gleichungssystem ax + (.5a + )x = + b x + (a + )x = 5 (i) genau eine (ii) keine (iii) unendlich viele Lösungen? HS5 Uebungen Serie Aufgabe Betrachte das lineare Gleichungssystem dessen erweiterte Koeffizientenmatrix gegeben ist durch 4 a b. i) Für welche Werte von a und b in R hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen? ii) Für welche Werte von a und b in R hat das Gleichungssystem keine Lösungen? Lösung: i) a = 5, b = 4 ii) a = 5, b 4 Für einen Parameter s R betrachten wir das lineare Gleichungssystem (LGS) x + x + x 4 = x + x = ( + s)x 4 = (i) Bestimmen Sie jeweils alle Werte des Parameters s, für die das LGS a) keine Lösung hat b) eine Lösungsmenge der Dimension hat, c) eine Lösungsmenge der Dimension hat. (ii) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieses LGS für s =. Lösung: i) a) s = b) nicht möglich c) s ii) L = {( x, x, x, ), x R} ( Vble wählbar dim(l) = ) Gegeben ist das inhomogene lineare Gleichungssystem (LGS) x x + x 4 = x 4 x + x = 4x x + ux + x 4 = v wobei u und v reelle Parameter sind. Bestimmen Sie alle Parameterpaare (u, v), für die dieses LGS ( i ) unlösbar ist ( ii ) genau eine Lösung hat, ( iii ) eine Lösungsmenge der Dimension hat, ( iv ) eine Lösungsmenge der Dimension hat. Lösung: i) u =, v 4 ii) nicht möglich iii) u, v R iv) u =, v = 4 4

5 Linear Unabhängig und Basis Vorzeigeaufgabe: Bilden folgende Vektoren eine Basis von R? Lässt sich der Vektor b = (5,, ) T als Linearkombination von a (), a () und a () darstellen? a () =, a() =, a() =. HS5 Uebungen Serie Aufgabe i) Entscheide, ob a () = 5, a () = 5 linear abhängig sind. ii) Wenn möglich, stelle b = 9 als Linearkombination von a () = und a () = dar. Lösung: i) linear unabhängig ii) 7 a () a () = b HS5 Uebungen Serie 4 Aufgabe i) a () =, a() =. Entscheide, ob folgende Vektoren in R linear abhängig sind oder nicht ii) a () =, a() = 4, a() =. Lösung: i) linear unabhängig ii) lin. unabh. (det oder Gauss) HS5 Uebungen Serie 4 Aufgabe Und wenn ja, stelle den Vektor b = Entscheide, ob folgende Vektoren im R eine Basis von R bilden. als Linearkombination der Basisvektoren dar. i) a () =, a() = 4, a() =. ii) a() = 4 5, a() = 5, a() =. Lösung: i) b = 9/5 a () + /5 a () /5 a () ii) b = 5/4 a () /4 a () + 5/ a () 5

6 HS Probeprüfung Aufgabe Betrachten Sie die folgenden Vektoren im R : v () =, v() =, v() = a b. a) Für welche Werte von a, b R ist [v] = [ v (), v (), v ()] eine Basis des R? b) Für welche Werte von a, b R ist [v] = [ v (), v (), v ()] eine Orthogonalbasisbasis des R? c) Seien a, b R so, dass [v] = [ v (), v (), v ()] eine Orthogonalbasis ist (vgl. (b)). Skalieren Sie die Vektoren v (), v (), v () so, dass die skalierten Vektoren eine ON-Basis bilden, und bestimmen Sie die Koordinaten von u = bezüglich dieser ON-Basis. d) Seien a = und b =. Bestimmen Sie den nicht-orientierten Winkel zwischen v () und v (). Lösung: a) a R, b b) a =, b = c) / v (), / v (), / v () Koo.: (/, 4/, ) d) arccos( /) (= π/) HS9 Uebungen Serie Aufgabe 4 a) Bilden die folgenden Vektoren eine Basis von R 4? 4 i) A = (,,,, 4 ) ii) B = (,, ) b) Normiere die Vektoren in i) und ii) und ergänze oder verkürze sie zu einer Orthonormalbasis A und B. c) Berechne die Koordinaten des Vektors v = (,, 4, ) T (bzgl. der Standardbasis) in der Basis A. Lösung: a) Nein (müssten 4 lin. unabh. Vektoren sein) b) A = { (,,, ) T, 5 (, 4,, )T, (,,, ) T, 5 (,, 4, )T } B = { (,,, )T, 4 (,,, )T, (,,, ) T, (,,, )T } c) (/,, /, 5) HS9 Uebungen Serie Aufgabe Seien v, v, v R 4 gegeben durch v = (,,, ) T, v = (,,, ) T Dimension des Untervektorraums welcher von v, v und v erzeugt wird? und v = (,,, ) T. Wie gross ist die Lösung:

7 Lineare Abbildungen Vorzeigeaufgabe: Gegeben sei die Abbildung T : R 4 [x] R 4 [x] mit T (f) := f f + f (iv) x für f R 4 [x]. Zeigen Sie, dass T eine lineare Abbildung ist. Vorzeigeaufgabe: Gegeben die Basen [v] = [v (), v (), v () ] von R und [w] = [w (), w () ] von R mit v () =, v() =, v() =, w() =, w () = Die lineare Abbildung T sei gegeben durch T : R R, x x x x x 4x + x. i) Bestimme die Matrixdarstellung T [e] [e] bezüglich der Standardbasis [e]. ii) Bestimme die Basiswechselmatrizen Id [v] [e], Id [w] [e] und Id [e] [w]. iii) Bestimme die Matrixdarstellung T [v] [w]. iv) Sei x bezüglich der Standardbasis [e] gegeben durch x = (,, ) T. Bestimmen Sie die Koordinatendarstellung x bezüglich der Basis [v] von x. Berechnen Sie T (x) in beiden Basisdarstellungen als T [e] [e] x und T [v] [w] x. HS5 Uebungen Serie 7 Aufgabe Betrachte die folgenden Basen von R [e] = [e (), e () ], [v] = [e (), e () ], [w] = [w (), w () ], wobei w () = [ ], w () = [ ]. Sei f : R R die lineare Abbildung mit Matrixdarstellung f [e] [e] = 4. i) Bestimme Id [v] [e] und Id [e] [v]. ii) Bestimme f [v] [e] und f [v] [v]. iii) Bestimme f [w] [w]. Lösung: i) Id [v] [e] = = Id [e] [v] ii) f [v] [e] = 4 und f [v] [v] = 4 iii) f [w] [w] = 5 7

8 HS5 Uebung 7 Aufgabe 4 Betrachte die Basis [v] = [v (), v (), v () ] von R und [w] = [w (), w () ] von R mit v () =, v() =, v() =, w() =, w () =. Berechne die Matrixdarstellung von T [v] [w] von i) T : R R, x x x x x ii) T : R R, x x x x x x + x Lösung: i) T [v] [w] = 4 ii) T [v] [w] = HS5 Ue 8 Aufgabe v () = Sei <, > das Euklidische Skalarprodukt im R und v (), v (), v () folgende Vektoren, v() =, v() =. i) Verifiziere, dass v (), v (), v () eine Orthonormalbasis des R ist. ii) Bestimme Id [v] [e] und verifiziere, dass Id [v] [e] und Id [e] [v] orthogonal sind. iii) Berechne die Koordinaten von x = (,, ) T und y = (,, ) T als Linearkombination von v (), v (), v (). Lösung: i) < v (i), v (j) >= δ ij ii) Id [v] [e] = [v (), v (), v () ] ist orgthogonal: Id [v] [e] Id [e] [v] = Id [v] [e] (Id [v] [e] ) T = I iii) Da ONB: x i =< x, v (i) > ( 4/,, / ) und (,, ) HS5 Uebungen Serie 7 Aufgabe Sei P n der R-Vektorraum aller Polynome in einer Variablen mit reellen Koeffizienten vom Grade höchstens n. Entscheide ob folgende Abbildungen linear sind. i) T : P 7 P 7, p(t) p (t) + p (t) + 5p(t). ii) S : P 7 P 7, p(t) t p (t) + p(t). Lösung: i) ja, T ist linear ii) Ja, S ist linear HS5 Uebungen Serie 8 Aufgabe ii) R(ϕ) : R R, Bestimme die Matrixdarstellung von R(ϕ) [v] [v] von x x cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ x x bezüglich der orthonormalen Basen [v] = [v (), v () ] mit v () = v () = Lösung:... dieselbe Matrix mit Vorzeichenwechsel bei den sin. (Sei R(ϕ) : x Ax R(ϕ) [v] [v] = A T ) 8

9 Vorzeigeaufgaben: Berechne den Real- und Imaginärteil von + 5 i 4 i i. +i Komplexe Zahlen Bestimme für z = i explizit die Polarkoordinaten r, ϕ und berechne alle möglichen Werte von 4 z. Löse z z + z + 5 =. HS5 Uebungen Serie 5 Aufgabe Berechne den Real- und Imaginärteil von folgenden komplexen Zahlen. i) + i + i, ii) ( + i), iii) ( i) i + +i, iv) + +i. Lösung: i) 5 i ii) 4 + 9i iii) i iv) i HS5 Uebungen Serie 5 Aufgabe i) Bestimme für z = + i explizit die Polarkoordinaten r, ϕ und berechne alle möglichen Werte von z. ii) Bestimme für z = + i explizit die Polarkoordinaten r, ϕ und berechne alle möglichen Werte von 5 z. iii) Berechne alle Lösungen von η 4 =. Lösung: i) z = e iπ/8, z = e iπ/8, z = e i5π/8 ii) e i(π/+πj/5, j 4 iii) η j = e iπj/, j η =, η = i, η = η = i Berechne i + 4i. Lösung: 5 Lösen Sie die folgenden Gleichungen in C: a) 4z + 8z + 9 =, b) z + z + =, c) z + z + 49z Lösung: a) z = + 5 i, z = 5 i b) z =, z = + i, z = i c) z =, z = 4 i, z = 4 + i Berechne alle möglichen Lösungen von a) z = i b) z 4 = + i Lösung: a) z = e i π, z = e i 5π, z = e i 9π b) z = 8 e i π, z = 8 e i π, z = 8 e i 9π, z = 8 e i 7π 9

10 Eigenwertprobleme Vorzeigeaufgaben: Berechne die Eigenwerte sowie deren algebraischen Vielfachheiten und Eigenräume von A =. Ist die Matrix diagonalisierbar? Ist folgende Matrix B diagonalisierbar? Falls ja, wieso und bestimmen Sie eine ON-Basis, zu der B Diagonalform hat. B =. Berechnen Sie B. HS5 Probeprüfung Aufgabe A :=. Betrachte die x Matrix i) Berechne die Eigenwerte von A. ii) Bestimme eine orthonormierte Basis [v] von R, bestehend aus Eigenvektoren von A. iii) Berechne A. Lösung: i) λ =, λ =, λ = ii) S = {,, iii) A = HS Probeprüfung Aufgabe A :=. Betrachten Sie die Matrix a) Finden Sie die Eigenwerte von A sowie deren algebraische Multiplizitäten. b) Gibt es eine Basis von R, die aus Eigenvektoren von A besteht? Begründen Sie ihre Antwort. c) Ist A invertierbar? Wenn ja, bestimmen Sie die Inverse. Lösung: a) EW:,, jeweils mit algebr. Multipl. b) Ja, da algebr. und geom. Vielfachheit für jeden EW übereinstimmt. c) Ja (det A = ), A =

11 HS4 Probeprüfung Aufgabe Sei B :=. a) Bestimmen Sie einen vollständigen Satz von Eigenwerten und Eigenvektoren für die Matrix B. b) Hat B drei Orthonormale Eigenvektoren? Falls ja, bestimmen Sie solche Eigenvektoren. c) Ist B positiv definit? Begründen Sie Ihre Antwort. Lösung: a) λ = λ =, λ = 4 b) (Ja da B symm.) HS4 Probeprüfung Aufgabe Sei B :=. v () = (,, ) T, v () = (,, ) T, v () = (,, ) T c) Ja, da alle EW > sind. (oder da die Determinanten aller Hauptdiagonal-Matrizen pos. sind) a) Bestimmen Sie S, S, und D für eine Diagonalisierung S BS = D von B. Lösung: a) S =, S = S T, D = 4 HS Probeprüfung Aufgabe 4 Betrachten Sie die Matrix A := i i. Bestimmen Sie eine Basis, zu der A Diagonalform hat. Lösung:, HS5 Uebungen Serie Aufgabe Finde für jede der folgenden symmetrischen Matrizen eine orthogonale Matrix, welche diese diagonalisiert. A =, B =. Lösung: a) S = b) S = mit S T AS = mit ST BS = 5

12 Differentialgleichungssysteme Vorzeigeaufgaben: Lösen Sie folgendes Anfangswertproblem: y = y + y, y = y y, y () =, y () =. HS Uebungen Serie Aufgabe 5a Lösen Sie folgende Anfangswertprobleme: (a) ẋ = ( + i)x, x() = + i (b) ẋ = x, x() = (c) ẋ ax = x, x( ) = 5 Lösung: (a) x(t) = ( + i)e (+i)t (b) x(t) = e (t ) (c) x(t) = 5e (+a)(t+) HS5 Uebungen Serie Aufgabe Finde die allgemeine Lösung des Differentialgleichungsystems a) y = y + y b) y = y + 4y y = y + 4y y = y y Lösung: a) y(t) = a e t + b e t, a, b R b) y(t) = a e t + b e t 4, a, b R HS Probeprüfung Aufgabe 5 y (t) = y (t) + y (t) (S). y (t) = y (t) y (t) Betrachten Sie das folgende System von Differentialgleichungen: a) Bestimme die allgemeine Lösung des Differentialgleichungsystems. b) Finden Sie die Lösung mit y (log())) =, y (log())) =. Lösung: a) y(t) = a e t + b e t b) y(t) = 4 et 4 et HS5 Uebungen Serie Aufgabe Löse die folgenden Anfangswertprobleme. a) y = y + y, y = y y, y () =, y () =. b) y = y y, y = y y, y = y y, y () =, y () = y () =. Lösung: a) e t + et e t + et b) e t e t e t e t e t e t