Lösungen zu Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT

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1 Prof. N. Hungerbühler ETH Zürich, Sommer 4 Lösungen zu Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT. [ Punkte] Hinweise zur Bewertung: Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch; machen Sie ein Kreuzchen in das entsprechende Kästchen und zwar so: wahr falsch Als Markierungen sind ausschliesslich Kreuzchen erlaubt. Wenn Sie ein Kreuzchen rückgängig machen wollen, streichen Sie es klar erkennbar durch. Jede Teilaufgabe a)-j) gibt einen Punkt, wenn alle Kreuzchen richtig gesetzt sind, falls nicht alle Kreuzchen richtig sind und falls sie unbeantwortet bleibt. Die erreichte Gesamtpunktzahl wird aber nie negativ sein - wir runden auf auf. WICHTIG: Die Reihenfolge der Teilaufgaben a)-j) kann von der auf Ihrem Prüfungsblatt abweichen. a) Der Vektorraum C(R) der stetigen Funktionen von R nach R ist unendlich dimensional (da er alle Polynome enthält). b) Sei A eine n n-matrix, in welcher jeder Eintrag entweder oder ist. Dann ist A orthogonal genau dann wenn sie eine Permutationsmatrix ist. c) Sei e = (,, ) R. Gilt für eine -Matrix A, dass e, Ae, A e eine Basis des R bilden, dann ist A invertierbar. d) Alle stetigen Funktionen f : R R mit f(t) dt = bilden einen 8 Untervektorraum von C(R). Alle stetigen Funktionen f : R R mit f(t) dt = bilden einen 8 Untervektorraum von C(R). e) Seien A, A, A drei linear unabhängige Matrizen im Vektorraum der n n-matrizen. Dann gibt es einen Vektor v R n, so dass A v + A v + A v. f) Die Menge der nn-matrizen, so dass die Summe der Einträge der ersten Spalte gleich der Summe der Einträge der ersten Zeile ist, bildet keinen Untervektorraum des Vektorraums der n n-matrizen. g) Die Polynome p(x) = ax + b, q(x) = cx + d sind genau dann linear abhängig, wenn sie dieselben Nullstellen haben oder wenn mindestens eines das Nullpolynom ist. h) Für eine quadratische Matrix A gilt Rang(A n ) Rang(A n+ ) für jedes n =,,,.... i) Für jeden -dimensionalen Unterraum U von R gibt es eine Matrix A mit im(a) = U = ker(a). j) AB = I impliziert auch BA = I für quadratische Matrizen A und B. wahr AB = impliziert auch BA = für quadratische Matrizen A und B. falsch Bitte wenden!

2 . [ Punkte] Gegeben sei die Matrix 5 5a A = + b a mit a, b R. b + a a) [ Punkte] Welche Bedingungen müssen a, b erfüllen, damit die Matrix A singulär wird? b) [ Punkte] Finden Sie eine Basis für das Bild von A (in Abhängigkeit der Parameter a, b). c) [ Punkt] Für welche Werte von a und b ist A symmetrisch? d) [4 Punkte] Sei A nun die symmetrische Matrix aus c) (also mit den in c) gefundenen Werten eingesetzt). Bestimmen Sie, für welche Werte n =,,,... die Matrix A n positiv definit ist. Lösung: a) Wir errechnen zuerst det(a); z.b. mit der Regel von Sarrus oder entwickeln nach der. Spalte oder.... Man kann sich die Arbeit auch ein wenig erleichtern, indem man zuerst den folgenden Gauss-Schritt (der die Determinante nicht verändert) durchführt 5 5a 5 5a + b a + b a. b + a In allen Fällen erhält man (vereinfacht) det(a) = ab. Die Matrix A ist singulär genau dann wenn det(a) =, also wenn ab =. b) Es gibt Fälle: ab : Dann ist A invertierbar, das Bild also ganz R und eine Basis ist z.b. die Standardbasis. ab = : Dann ist A singulär und das Bild folglich höchstens -dimensional. Das Bild ist aber auch mindestens -dimensional, denn die ersten beiden Spaltenvektoren a, a von A sind linear unabhängig. Beweis: λ 5 + b + λ = b { λ = wegen. Zeile λ = wegen λ = und a Somit ist {a, a } eine Basis von im(a) (genauso ist auch {a, a } eine Lösung, {a, a } allerdings nicht). c) Damit A (mit Einträgen a ij ) symmetrisch ist, muss a = a, a = a und a = a gelten. Die dritte Gleichung ( a = ) impliziert a =, die erste Gleichung ( = + b) impliziert b = / und diese Werte erfüllen auch die zweite Gleichung. Siehe nächstes Blatt!

3 d) Mit den Werten aus c) erhalten wir 5 A =. Alle Matrizen A n, n =,,,... sind symmetrisch und eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Eigenwerte positiv sind. Wir bestimmen zuerst die Eigenwerte von A, also die Nullstellen von det(a λi). Mit der Regel von Sarrus oder entwickeln nach der. Spalte erhalten wir det(a λi) = (5 λ)( λ)( λ) (5 λ) = (5 λ)(λ + λ 6) und die Nullstellen/Eigenwerte sind also λ = 5, λ =, λ =. A ist also nicht positiv definit. Nun gilt ganz allgemein; hat A den Eigenwert λ, so hat A n den Eigenwert λ n. Die symmetrische Matrix A n hat somit die Eigenwerte λ = 5 n, λ = n, λ = ( ) n welche genau dann alle positiv sind, wenn n gerade ist (denn dann ist ( ) n > ). Bemerkung: Es ist nicht nötig die Eigenvektoren von A auszurechnen, um diese Aufgabe zu lösen. Bitte wenden!

4 . [ Punkte] Seien v = (,, ), v = (,, ), v = (, 4, 9). a) [5 Punkte] Wenden Sie das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren auf v, v, v an (in dieser Reihenfolge), um eine Orthonormalbasis zu erhalten. b) [ Punkte] Was sind die Koordinaten von w = ( + 6, 6, + 6) bezüglich der in a) erhaltenen Basis? c) [ Punkte] Berechnen Sie die (euklidische) Norm von w und geben Sie das Resultat in wurzelfreier Form an. Lösung: a) Den ersten Vektor v brauchen wir nur zu normieren um den ersten Vektor b der Orthonormalbasis (ONB) zu erhalten: v = + + = ( ) b =,,. Nach dem Gram-Schmidtschen Verfahren, erhalten wir die noch nicht normierte Version des. Basisvektors b durch b = v b, v b, b, v = 6 = b = v b = (,, ) (,, ) = (,, ) und damit b = b = ( ),,. Die nicht normierte Version b des. Basisvektors errechnet sich durch b = v b, v b b, v b. Wir haben b, v = 4, b, v = 8 = 4 und damit Und noch normieren b = (, 4, 9) 4 ( (,, ) ( 4,, 4) =,, ). b = = 6 b = ( 6, ),. 6 6 b) Die Koordinaten/der Koordinatenvektor eines Vektors w bezüglich einer ONB {b, b, b } ist ( w, b, w, b, w, b ) w, b = = = 6 6 w, b = + + = w, b = = 6 = 6 = Der Koordinatenvektor ist also (,, ). Siehe nächstes Blatt!

5 c) Man könnte die Norm von w direkt bestimmen, aber wir können einfacher die Norm des Koordinatenvektors aus b) berechnen. Denn Basis-/Koordinatenwechsel von einer ONB in eine Andere verändert die Norm nicht. w = (,, ) = = 6 Bitte wenden!

6 4. [ Punkte] Gegeben sei das Differentialgleichungssystem. Ordnung y (t) = y(t) + z(t) z (t) = 6y(t) + z(t). a) [ Punkte] Verwandeln Sie dies in ein Differentialgleichungssystem. Ordnung. Welche Dimension hat der Lösungsraum dieses Systems? b) [5 Punkte] Geben Sie die allgemeine Lösung des in a) gefundenen Systems an. c) [ Punkte] Bestimmen Sie die Lösung zu den Bedingungen y () =, y() =, z() = 5. Lösung: a) Mit y (t) = x(t) erhalten wir für die erste Gleichung in der Aufgabenstellung y (t) = x (t) = y(t) + z(t) und damit als System. Ordnung x (t) x(t) y (t) = y(t). z (t) 6 z(t) Die Dimension des Lösungsraums ist. b) Wir müssen zuerst die EW (Eigenwerte) der Koeffizientenmatrix bestimmen. λ det λ = λ ( λ) 6 ( λ)( ) = λ + λ λ. 6 λ Die erste offensichtliche Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist also λ =. Für die weiteren Nullstellen bleibt die quadratische Gleichung λ + λ = zu lösen und wir erhalten λ =, λ =. EV zum EW λ = ist z.b. (,, ). EV zum EW λ = ist z.b. (,, ). EV zum EW λ = ist z.b. (,, 6). Damit erhalten wir als allgemeine Lösung des Systems. Ordnung x(t) y(t) = c + c e t + c e t z(t) 6 wobei c, c, c R beliebig. c) Setzen wir t = in der allgemeinen Lösung, so erhalten wir, mit den geforderten Anfangsbedingungen, das folgende Gleichungssystem für c, c, c : c = c + c + c = c welches die eindeutige Lösung c = c =, c = hat. Daher also y(t) = +e t, z(t) = +e t (und y (t) = x(t) = e t ). c Siehe nächstes Blatt!

7 Bitte wenden!

8 5. [ Punkte] Gegeben sei die quadratische Form q : R R, q(x) = x + x x + x wobei x = (x, x ). a) [ Punkt] Finden Sie eine symmetrische Matrix A, so dass q(x) = x Ax gilt. b) [5 Punkte] Führen Sie die Hauptachsentransformation y = T x durch und geben Sie die Normalform von q an. c) [4 Punkte] Welche Punkte auf dem Kegelschnitt {x q(x) = } sind dem Nullpunkt am nächsten? Hinweis: Beantworten Sie diese Frage zuerst im y-koordinatensystem der Hauptachsen. Lösung: a) Die einzige symmetrische Matrix, die dies erfüllt ist ( A = ). b) Wir bestimmen zuerst die Eigenwerte (EW) und dann die Eigenvektoren (EV) von A. det(a λi) = ( / λ)(/ λ) /4 = λ! = λ =, λ = EV zum EW λ = : zu lösen ist ( / ) ( / / / v v ) ( ) ( / ) ( / = Und somit ist (, ) ein EV welcher den Eigenraum aufspannt. v v ) ( ) = EV zum EW λ = : (Bemerkung: da A symmetrisch ist, könnten wir auch einfach einen Vektor wählen, der senkrecht auf dem zuvor gefundenen EV steht.) ( ) ( ) ( ) ( / / v / ) ( ) ( ) / v = = / / Und somit ist (, ) ein EV welcher den Eigenraum aufspannt. v Wir normieren die beiden EVen noch, ordnen sie in einer Matrix an und erhalten ( ) T = /. Wir können an den Eigenwerten direkt ablesen, dass die Normalform von q im y = (y, y ) - Koordinatensystem y y ist, oder rechnen ( ) ( ) ( ) q(y) = (T y) A(T y) = y (T AT y )y = y y = y y, denn T AT ist ja gerade die Diagonalmatrix aus der Diagonalisierung von A. Natürlich darf man die Eigenvektoren auch in anderer Reihenfolge in T (bzw. T ) eintragen und erhält als Normalform dann y + y. v y Siehe nächstes Blatt!

9 c) Die Menge {x q(x) = } lautet im y-koordinatensystem {y q(y) = y y = }. Die Punkte die in y-koord. dem Nullpunkt am nächsten sind, entsprechen (über T y = x) den Punkten in x-koord. welche dem Nullpunkt am nächsten sind. Denn die Abbildung T ist orthogonal und verändert somit die Abstände nicht. Um nun zu bestimmen, welche Punkte in {y y y = } dem Ursprung am nächsten liegen, kann man z.b. ganz knapp argumentieren: Damit y y = ist, muss also y bzw. y grösser oder gleich sein (denn y ist nie positiv). Wählen wir y = oder y = und setzten y =, dann sind das Punkte mit Abstand zum Ursprung und somit die, welche diesem am nächsten liegen (alle anderen Punkte in der Menge haben y > und somit Betrag auch > ). Alternativ kann man auch die y Koordinate in Abhängigkeit der y Koordinate ausdrücken: y = + y y = ± + y. Das heisst, die Punkte in {y y y = } sind von der Form (± + y, y ) für beliebige Werte von y und die Norm davon ist + y. Das Minimum davon ist offensichtlich für y = angenommen und wir erhalten wiederum die Punkte ( ) ( ), bzgl. y-koordinaten. In x-koordinaten ergibt dies ( ) T = ( ) (, T ) ( = Hier noch eine Skizze der Menge {x q(x) = } und der Punkte die dem Ursprung am nächsten liegen. 4 )