Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2013): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 Lösungsvorschlag

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1 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 23): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 Lösungsvorschlag 3. Mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen sowie der Tatsache, daß sich die Determinante einer Dreiecksmatrix als Produkt ihrer Hauptdiagonalelemente errechnet, ergibt sich det(a) a) Es ist 2 aus II, 3 aus III, 4 aus IV, 5 aus V II I, III I, IV I, V I (((I+II)+III)+IV)+V Dreiecks- matrix 2 4 ( ) A ( ), also det(a ), A 2, also det(a 2 ), sowie A 3, also det(a 3 ) ++ ( ).

2 b) Für n 4 erhalten wir mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes det(a n ) Zeile.. A n ( ) + ( ) A n 2 +( ) +2 A n Spalte det(a n ) A n 2 det(a n ) det(a n 2 ).. c) Für alle n N mit n 4 gilt und analog det(a n ) det(a n ) det(a n 2 ) det(a n ) det(a n 2 ) det(a n 3 ), woraus det(a n ) det(a n 3 ) folgt. Damit ergibt sich für alle k N det(a 3k+ ) det(a ), det(a 3k+2 ) det(a 2 ) sowie det(a 3k+3 ) det(a 3 ). 3.3 a) Für die gegebene Matrix T n. 2.. R n n erhalten wir für n > 2 mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes det(t n ). T n

3 . ( ) n+(n ) T n ( ) n+n 2 T n ( ) 2n T n 2. +( ) 2n 2 T n T n det(t n ) n te Zeile (n ) te Spalte ( ) (n )+(n ) det(t n 2 )+2 det(t n ) ( ) 2n 2 det(t n 2 )+2 det(t n ) 2 det(t n ) det(t n 2 ). b) Für den Induktionsanfang ergibt sich bei n T ( ) und damit det(t ), und für n 2 T 2 2 und damit det(t 2 ) 2 ; für den Induktionsschritt n n erhält man unter Verwendung von a) det(t n ) 2 det(t n ) det(t n 2 ) Für die in Abhängigkeit vom Parameter α R gegebene Matrix α M α 2 R

4 ergibt sich (M α E 3 ) I II III 2I II αiii I+2II ( ) I ( ) II α α α 2 2 2α α α 2α 2α α 2 2 4α 2α 2α α 2 damit ist M α invertierbar, und für ihre Inverse gilt 2 4α 2α Mα M α 2α α R (E 3 M α ); Alternativ läßt sich die Invertierbarkeit der Matrix M α mit Hilfe ihrer Determinante nachweisen und ihre Inverse Mα über die zu M α komplementäre Matrix M α berechnen: wegen α det(m α ) 2 (+ 4α) ( 4α++) 2 4 Sarrus ist die Matrix M α für alle α R invertierbar, und es gilt M α det(m α ) M α +det(m det(m α ) ) det(m 2 ) +det(m 3 ) det(m 2) +det(m 22) det(m 32) +det(m 3 ) det(m 23 ) +det(m 33 ) 2 +4α 2α 2 4α 2α. 2α α Für die in Abhängigkeit vom Parameter α R gegebene Matrix α α α M α α R 3 3 α α 2α α 2

5 ergibt sich (M α E 3 ) II I III I III II α α α α α α α α α α α α α α α α α α Damit enthält die zur gegebenen Matrix M α zeilenäquivalente Matrix α α α α α R 3 3 α für α in der ersten Zeile eine Nullzeile sowie für α in der zweiten und dritten Zeile jeweils eine Nullzeile und ist damit in diesen Fällen insbesondere nicht invertierbar; folglich ist aber auch M α für α {,} nicht invertierbar. Für α R\{,} ergibt sich ferner α α α (M α E 3 ) α α α α I, α II α α III α α α α α α α I II α α α α α(α ) α II III (E α α 3 M α); α α damit ist M α invertierbar, und für ihre Inverse gilt M α M α α(α ) α α α α α R 3 3. Alternativ läßt sich die Invertierbarkeit der Matrix M α mit Hilfe ihrer Determinante überprüfen und gegebenenfalls ihre Inverse Mα über die zu M α komplementäre Matrix M α berechnen: wegen α α α ( det(m α ) α α 2 +α 2 +α 2) ( α 2 +α+α 3) α α Sarrus. 2α 2 α α 3 α ( α 2 2α+ ) α(α ) 2

6 ist die Matrix M α genau dann invertierbar, wenn det(m α ) α(α ) 2, also α R\{,}, gilt, und in diesem Fall ergibt sich M α det(m α ) M α +det(m ) det(m 2) +det(m 3) det(m α ) det(m 2 ) +det(m 22 ) det(m 32 ) +det(m 3 ) det(m 23 ) +det(m 33 ) α α(α ) α(α ) 2 α(α ) α(α ) α(α ) α(α ) α(α ) α α α α α 3.6 a) Eine Matrix M R n n (hier für n 3) ist genau dann invertierbar, wenn für ihre Determinante det(m) gilt. Wegen s det(a) s s s ( s) 2. Zeile s s. und s s det(b) s s 2 3. Zeile s2 s s für alle s R ist ( s) ( s 2) ( s) 2 (+s) s 2 (s 2 ) s 2 (s ) (s+) die Matrix A genau dann invertierbar, wenn s R\{,} gilt, sowie die Matrix B genau dann invertierbar, wenn s R\{,,} gilt. b) Für s R \ {,,} sind gemäß a) die beiden Matrizen A und B invertierbar; folglich ist auch ihr Matrixprodukt A B invertierbar und besitzt damit vollen Rang. In diesem Fall ist also Rang(A B) 3, und für die verbleibenden Fälle ergibt sich: Für s ist A B I 2 2 und damit Rang(A B). II+2I III 2I

7 Für s ist A B II I ( ) I und damit Rang(A B) 2. Für s ist A B und damit Rang(A B). 3.7 Es ist a b b a b b a b b det(a) b a a a+b a+b 2a III I b a a b a 2a b III II b a a 3a b 3. Zeile ( ) 3+3 (3a b) a b b a (3a b) (a a b b) ( a 2 b 2) (3a b); die Matrix A R 3 3 besitzt nun genau dann den vollen Rang 3, wenn sie invertierbar ist, also genau im Falle det(a), und es gilt det(a) ( a 2 b 2) (3a b) a 2 b 2 und 3a b a 2 b 2 und b 3a. 3.8 a) Die in Abhängigkeit von den Parametern a, b, c R gegebene Matrix a b 2 A a,b,c c 3 R4 4 besitzt die Determinante a b 2 a b 2 det(a a,b,c ) c 3 c 3 II 3 IV Laplace a 2 ( ) 2+3 (c 3) 2. Zeile Laplace (c 3) ( ) Zeile a (c 3) (a ),

8 und damit gilt det(a a,b,c ) (c 3) (a ) ( c 3 oder a ) ( c 3 oder a ). b) Für alle a, b, c R ergibt sich mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen a b 2 A a,b,c c 3 I III II IV a b 2 c 3 a 2 b 3 c I II III b II, IV c II III a I wodurch die folgende Fallunterscheidung motiviert wird: a 2 b, 3 c Sei im ersten Fall a, also a ; wegen A a,b,c a 2 b a 2 b II III 3 c 3 c ergibt sich Rang(A a,b,c ) 3 3 c c 3. Sei im zweiten Fall a, also A a,b,c 2 b ; 3 c für b 2, also 2 b, gilt dann A a,b,c 2 b 3 c IV 3 c 2 b III 2 b und damit Rang(A a,b,c ) 3, und für b 2 gilt A a,b,c III IV 3 c 3 c und damit Rang(A a,b,c ) 3 3 c c 3.

9 Zusammenfassend erhält man demnach Rang(A a,b,c ) 3 (a und c 3) oder (a und b 2) oder (a und b 2 und c 3) 3.9 a) Es ist und damit A 2 a b c d a b a 2 +bc ab+bd c d ac+cd bc+d 2 D E 2 S A+A 2 a b a (ad bc) (a+d) + 2 +bc ab+bd c d ac+cd bc+d 2 ad bc a(a+d) b(a+d) a + 2 +bc ab+bd ad bc c(a+d) d(a+d) ac+cd bc+d 2 ad bc a 2 ad+a 2 +bc ab bd+ab+bd ac cd+ac+cd ad bc ad d 2 +bc+d 2. b) Für gilt im Falle S und D mit Hilfe von a) D E 2 S A+A 2 E 2 +A 2, also A 2 E 2, und im Falle b c und a 2 d 2 gemäß der Rechnung von a) a A 2 2 +bc ab+bd ac+cd bc+d 2 E 2. Für wird A 2 E 2 vorausgesetzt; im Falle S ergibt sich mit Hilfe von a) D E 2 S A+A 2 D E 2 +E 2 (D +) E 2, also D, und im Falle S a+d erhält man gemäß der Rechnung von a) a 2 +bc b(a+d) c(a+d) bc+d 2, also zunächst b c in der Nebendiagonale und danach a 2 d 2 in der Hauptdiagonale. 3. a) Die in Abhängigkeit von a, b, c R mit (a,b,c) (,,) gegebene Matrix a c b A b a c R 3 3 c b a

10 besitzt unter der Voraussetzung a+b+c die Determinante a c b a c b det(a) b a c c b a (III+I)+II b a c a+b+c a+b+c a+b+c (a+b+c) a c b a+b+c aus III }{{} b a c a c b b a c und ist folglich nicht invertierbar. b) Für a ergibt sich mit Hilfe der Regel von Sarrus c b det(a) b c c b ( +c 3 +b 3) (++) b 3 +c 3 ; da A alsnicht invertierbar vorausgesetzt ist, gilt det(a),also b 3 +c 3, woraus sich b 3 c 3 ( c) 3 und damit b c, also b+c ergibt. Mit a ist demnach a+b+c. c) Für a b c ergibt sich die Matrix A R 3 3, die wegen det(a) (++) (++) Sarrus nicht invertierbar ist; es ist aber a+b+c 3. Damit kann in b) auf die Voraussetzung a nicht verzichtet werden. 3. Wir bearbeiten zunächst die beiden Teilaufgaben a) und b) unter Verwendung der Determinante det(m) von M und der zu M komplementären Matrix M: a) Für alle s R gilt s s 2 det(m) s 2 s s s 2 Sarrus (( 3 +s 3 +(s 2 ) 3) ( s 2 s+ s s 2 +s s 2 )) +s 3 +s 6 3s 3 2s 3 +(s 3 ) 2 ( s 3) 2. Die Matrix M ist genau dann invertierbar, wenn det(m) ist; dies ist wegen det(m) ( s 3) 2 s 3 s genau für s R\{} der Fall.

11 b) Für alle s R ergibt sich für die zu M komplementäre Matrix +det(m M ) det(m 2 ) +det(m 3 ) det(m 2 ) +det(m 22 ) det(m 32 ) +det(m 3) det(m 23) +det(m 33) s 3 s( s 3 ) s 3 s( s 3 ), s( s 3 ) s 3 so daß wir für alle s R\{} die zu M inverse Matrix M det(m) M s 3 s( s 3 ) ( s 3 ) 2 s 3 s( s 3 ) s( s 3 ) s 3 s s s 3 s erhalten. Alternativ lassen sich die Teilaufgaben a) und b) auch mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen lösen: Es ist s s 2 (M E 3 ) s 2 s II s2 I s s 2 III s I s s 2 s 3 s s 4 s 2 s 3 s Damit ist für s die Matrix M zur Matrix zeilenäquivalent und folglich nicht invertierbar. Für s ist s 3, und man erhält s s 2 (M E 3 ) s 3 s( s 3 ) s 2 II s 3 s 3 IV s s 3 s s 2 s s2 s 3 s 3 s I s II s 3 s 3 s s s 3 s 3 s2 s 3 s 3 s II s III s 3 s 3 s s 3 s 3 s s 3 s (E 3 3 M ) s s 3 s 3

12 Damit ist M invertierbar mit M M s 3 s s. s Die Bearbeitung für die Teilaufgabe c) ist unabhängig von dem für die beiden Teilaufgaben a) und b) gewählten Lösungsweg. c) Für s ist M nach a) invertierbar; damit besitzt das lineare Gleichungssystem M x b mit b genau eine Lösung, nämlich x M b s s s 3 s s s s. s 3 s s 3 +s+s 2 Für s gilt (M b) Damit ist λ µ L λ λ, µ R µ die Lösungsmenge des durch (M b) gegebenen linearen Gleichungssystems. 3.2 a) Für alle s R gilt s s 2 det(m) s s s 2 s Sarrus (( 3 +s s s 2 +s 2 s s ) ( s 2 s 2 + s s+s s )) ( +s 4 +s 4) ( s 4 +s 2 +s 2) 2s 2 +s 4 ( s 2)2. b) Die Matrix M s ist genau dann invertierbar, wenn det(m) ist; dies ist wegen det(m) ( s 2)2 s 2 s ±

13 genau für s R\{, } der Fall. Für alle s R ergibt sich für die zu M s komplementäre Matrix +det(m M 2 ) +det(m 3 ) s det(m 2 ) +det(m 22 ) det(m 32 ) +det(m 3) det(m 23) +det(m 33) s 2 s( s 2 ) s( s ) s 4 s( s 2 ), s( s 2 ) s 2 so daß wir für alle s R\{, } die zu M s inverse Matrix M s erhalten. det(m s ) M s s 2 s( s 2 ) ( s 2 ) 2 s( s 2 ) s 4 s( s 2 ) s( s 2 ) s 2 s s 2 s +s 2 s s c) Nach dem Kriterium von Hurwitz ist die symmetrische Matrix M s genau dann positiv definit, wenn ihre drei Hauptminoren s s 2 s det(), det s 2 und dets s ( s 2 ) 2 s s 2 s positiv sind; dies ist aber genau im Falle s 2 >, also für s ] ;[. 3.3 a) Für die zu betrachtende Matrix 6 2 A R ergibt sich E 3 A und damit (E 3 A)

14 Wegen (E 3 A) 2 (E 3 A) (E 3 A) E 3 (E 3 A) A (E 3 A) (E 3 A) (A E 3 A A) E 3 A A+A 2 E 3 2A+A 2 gilt also E 3 2A+A 2 und damit E 3 2A A 2 (2E 3 ) A A A (2E 3 A) A; damit ist die Matrix A R 3 3 invertierbar mit der inversen Matrix A 2E 3 A b) Ist λ R ein Eigenwert der Matrix A R 3 3, so gibt es einen Eigenvektor x R 3 mit A x λ x, also und damit (E 3 A) x E 3 x A x x λ x ( λ) x (E 3 A) 2 x ( (E 3 A) (E 3 A) ) x (E 3 A) ((E 3 A) x ) (E 3 A) (( λ) x ) λ R ( λ) ((E 3 A) x ) ( λ) (( λ) x ) ( ( λ) ( λ) ) x ( λ) 2 x. Wegen (E 3 A) 2 gilt ( λ) 2 x (E 3 A) 2 x x, woraus wegen x schon ( λ) 2, also λ bzw. λ, folgt; damit besitzt A höchstens einen Eigenwert, nämlich λ. Wegen A E II 3I III+I 5 2 ist Rang(A E 3 ) < 3; damit ist λ tatsächlich ein Eigenwert der Matrix A mit der geometrischen Vielfachheit γ 3 2. Insgesamt besitzt A R 3 3 genau einen Eigenwert, und der zugehörige Eigenraum ist von der Dimension γ 2; folglich gibt es höchstens zwei linear unabhängige Eigenvektoren von A, insbesondere also keine Basis von R 3 aus Eigenvektoren von A, so daß die Matrix A R 3 3 nicht diagonalierbar ist. 3.4 a) Aufgrund ihrer Symmetrie ist die Matrix B R 4 4 orthogonal diagonalisierbar. Wegen B ( )E 4 B +E 4

15 ist Rang(B+E 4 ) ; damit ist λ ein Eigenwert von B der Vielfachheit 3, und die Vektoren v, v 2, v 3 bilden eine Basis von E Eig(B;λ ). b) Wegen E {x R 4 x +x 2 +x 3 +x 4 } ist E R n mit n. Wegen 3 B n n 3 ist n ein Eigenvektor von B zum Eigenwert λ 2 3. Insgesamt besitzt also B den dreifachen Eigenwert λ sowie den einfachen Eigenwert λ 2 3, so daß sich für das charakteristische Polynom χ B (λ) (λ λ ) 3 (λ λ 2 ) (λ+) 3 (λ 3) ergibt. c) Für b gilt a b b b a det b a b b b b a b det a a a4 ; b b b a a und für b ergibt sich a a b b b b det b a b b b b a b b4 det a b a b4 χ B ( a ) b b b b b a a b ( b 4 a ) 3 ( b + a ) b 3 ( a+b) 3 ( a 3b) (a b) 3 (a+3b). Damit gilt für alle a, b R a b b b det b a b b b b a b (a b)3 (a+3b). b b b a

16 3.5 Eine Matrix A (s,s 2,s 3,s 4 ) R 4 4 ist genau dann orthogonal, wenn ihre Spalten s, s 2, s 3, s 4 eine Orthonormalbasis des R 4 bezüglich des Standardskalarprodukts bilden; folglich sind die Matrizen A und A 2 orthogonal, die Matrizen A 3 und A 4 wegen s s 2 aber nicht. Für alle λ R gilt λ χ A (λ) det(a λe 4 ) λ λ. Zeile λ λ ( λ) λ λ ( ) λ λ 3. Zeile ( λ) 2 λ + λ λ λ ( λ 2 + ) λ λ ( λ 2 + ) (( λ) 2 ( ) ) ( λ 2 + )2 > ; damit besitzt A keinen reellen Eigenwert und ist damit insbesondere nicht reell diagonalisierbar; dagegen ist A 2 als symmetrische Matrix (orthogonal) diagonalisierbar. Für alle λ R gilt λ χ A3 (λ) det(a 3 λe 4 ) 2 λ λ 3 4 λ Dreiecks matrix ( λ) (2 λ) (3 λ) (4 λ); damit besitzt A 3 die vier verschiedenen reellen Eigenwerte λ, λ 2 2, λ 3 3 und λ 4 4 und ist daher als 4 4 Matrix reell diagonalisierbar. Schließlich gilt für alle λ R λ χ A4 (λ) det(a 4 λe 4 ) λ λ λ Dreiecks matrix ( λ)4 ; damit ist λ der einzige Eigenwert der Matrix A 4 ; er besitzt die algebraische Vielfachheit α 4, wegen A 4 λ E 4 aber nur die geometrische Vielfachheit γ 4 Rang(A 4 λ E 4 ) 4 3, weswegen A 4 nicht reell diagonalisierbar ist.

17 3.6 Wir nehmen zum Widerspruch an, es gebe zur Matrix A 2 R eine invertierbare Matrix C R 3 3, so daß b b 2 b 3 B C AC b 22 b 23 R 3 3 b 33 eine obere Dreiecksmatrix ist. Damit sind aber die Matrizen A und B zueinander ähnlich und besitzen gemäß χ B (λ) det(b λe 3 ) det ( C AC λe 3 ) det ( C AC C (λe 3 )C ) det ( C (A λe 3 )C ) det(c) det(a λe 3 ) det(c) det(a λe 3 ) χ A (λ) für alle λ R dasselbe charakteristische Polynom; dies steht allerdings im Widerspruch dazu, daß b λ b 2 b 3 χ B (λ) b 22 λ b 23 Dreiecks- matrix b 33 λ (b λ) (b 22 λ) (b 33 λ) in die drei reellen Linearfaktoren b λ, b 22 λ und b 33 λ zerfällt, während λ χ A (λ) λ 2 3 λ (3 λ) 3. Zeile λ λ (3 λ) (( λ) 2 ( ) ) (3 λ) (λ 2 + ) neben dem reellen Linearfaktor 3 λ auch den quadratischen Faktor λ 2 + ohne reelle Nullstelle beinhaltet. Folglich kann es keine invertierbare Matrix C R 3 3 geben, so daß B C AC eine obere Dreiecksgestalt besitzt. 3.7 Nach Voraussetzung gibt es für die Matrix A R n n eine Orthonormalbasis b,...,b n des euklidischen R n aus Eigenvektoren von A; seien λ,...,λ n die zugehörigen Eigenwerte. Damit ist P (b,...,b n ) O n (R) eine orthogonale Matrix, und mit der Diagonalmatrix D diag(λ,...,λ n ) R n n gilt P A P D bzw. A P D P, wobei P P verwendet wird. Damit ergibt sich wegen D D dann A ( P D P ) ( P ) D P P D P A; folglich ist die Matrix A symmetrisch.

18 3.8 a) Nach dem Determinantenmultiplikationssatz gilt det(a B) det(a) det(b); da nun ein Produkt zweier reeller Zahlen genau dann ist, wenn mindestens einer der beiden Faktoren selbst ist, erhält man damit in det(ab) det(a) det(b) det(a) oder det(b) die Behauptung. b) Die Aussage ist falsch, denn für A und B zwar A und B, aber dennoch AB. R 2 2 gilt c) Zum Eigenwert λ R der Matrix A gibt es einen Eigenvektor x R n mit Ax λx. Damit gilt A 2 x A(Ax) A(λx) λ(ax) λ(λx) λ 2 x; damit ist x Eigenvektor von A 2 zum Eigenwert λ 2. Weiter gilt A 3 x (AA 2 )x A(A 2 x) A(λ 2 x) λ 2 (Ax) λ 2 (λx) λ 3 x; damit ist x Eigenvektor von A 3 zum Eigenwert λ 3. Führt man diese Überlegungen induktiv fort, so erhält man, daß x Eigenvektor von A k zum Eigenwert λ k für jedes k N ist. d) Die Aussage ist falsch, denn für A R 2 2 gilt zwar A E und A E, aber dennoch A 2 E. Damitsinddie Aussagena) undc) richtig, dieaussagen b) undd)dagegenfalsch. 3.9 Eine Matrix M R n n ist genau dann symmetrisch, wenn M M gilt, und genau dann orthogonal, wenn M M E n (oder gleichwertig M M E n ) ist. a) Die Matrizen A und B R 2 2 sind (wegen det(a) und det(b) ) invertierbar und symmetrisch, ihr Produkt A B ist allerdings nicht symmetrisch. a b b) Eine symmetrische Matrix A R 2 2 besitzt die Gestalt A mit b c Koeffizienten a, b, c R, und für die zu A inverse Matrix gilt dann A c b det(a) ; b a folglich ist auch A symmetrisch.

19 c) Es ist ( C AC ) C A (C ) C AC; A A folglich ist C AC eine symmetrische Matrix. d) Es ist (A B) (A B) ( B A ) (A B) B (A A ) B A AE 2 B E 2 B B B E 2 ; damit ist auch A B eine orthogonale Matrix. e) Es ist ( A ) A A A ( A ) A ( A A ) E 2 E 2; damit ist auch A eine orthogonale Matrix. f) Die Matrizen A und C R sind (wegen det(a) und det(c) 2) invertierbar; darüber hinaus ist A (als Einheitsmatrix) sogar orthogonal, aber die Matrix C AC ist etwa wegen det(c AC) 4, also det(c AC) ±, nicht orthogonal. Damit sind die Aussagen a) und f) falsch, die Aussagen b) bis e) dagegen richtig. 3.2 Sind die beiden Matrizen A und B R n n ähnlich, gibt es also eine invertierbare Matrix T R n n mit B T AT, so besitzen sie gemäß χ B (λ) det(b λe n ) det ( T AT λe n ) det ( T AT T (λe n )T ) det ( T (A λe n )T ) det(t) det(a λe n ) det(t) det(a λe n ) χ A (λ) für alle λ R insbesondere dasselbe charakteristische Polynom. Zur Widerlegung der falschen Aussagen wählen wir für n 2 speziell A R sowie T und damit B T A T GL 2 (R) mit T ( )( 2 ) ( 2 2 )( ) insbesondere sind also die Matrizen A und B zueinander ähnlich. ; 2

20 a) Ist λ R ein Eigenwert von A, so ist χ A (λ) ; folglich ist auch χ B (λ), so daß λ auch ein Eigenwert B ist. b) Für den Vektor v R 2 gilt v mit ( ( ( A v R 2 ) 2) ) und B v 2 2 / R ; damit ist v zwar ein Eigenvektor von A, aber nicht von B. c) Ist A invertierbar, so ist λ kein Eigenwert von A; gemäß a) ist dann λ auch kein Eigenwert von B, weswegen B invertierbar ist. d) Die Matrix A ist eine Diagonalmatrix, die Matrix B nicht. e) Ist A E n die Einheitsmatrix, so gilt B T E n T T T E n. f) Es ist det(a) χ A () χ B () det(b). Damit sind die Aussagen a), c), e) und f) richtig, die Aussagen b) und d) dagegen falsch. 3.2 a) Die Aussage ist richtig: so ist etwa 2 v 23, v , v 3, v 4 5 wegen 2 det(v,v 2,v 3,v 4 ) 7 Laplace Spalte ( )4+4 }{{} Laplace 3.Spalte ( )3+3 2 }{{} 7 2 ( 7) ( ) 94 eine Basis von R 4. b) Die Aussage ist falsch: so ist etwa die Matrix A R 2 2 gemäßa Asymmetrischunddamitinsbesonderediagonalisierbar,wegen det(a) allerdings nicht invertierbar.

21 c) Die Aussage ist falsch: so ist etwa die Matrix A R 2 2 wegen det(a) ( ) invertierbar; wegen χ A (λ) det(a λe 2 ) λ λ ( λ)2 ( ) λ 2 + > für alle λ R ist allerdings A ohne Eigenwert und damit insbesondere nicht diagonalisierbar. d) Die Aussage ist richtig: sei A R n n mit A 3 A. Für einen Eigenwert λ R von A gibt es einen Vektor x R n mit A x λ x, und es folgt A 2 x (A A) x A (A x) A (λ x) sowie λ (A x) λ (λ x) (λ λ) x λ 2 x A 3 x (A A 2 ) x A (A 2 x) A (λ 2 x) woraus sich wegen A 3 A zunächst also ergibt; wegen x folgt λ 2 (A x) λ (λ 2 x) (λ λ 2 ) x λ 3 x, λ 3 x A 3 x A x λ x, (λ 3 λ) x λ 3 x λ x, λ 3 λ λ (λ 2 ) λ (λ ) (λ+) und damit λ oder λ oder λ.