Klausur zur Vorlesung Multivariate Verfahren, SS Kreditpunkte, 90 min

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1 Klausur, Multivariate Verfahren, SS 2006, 6 Kreditpunkte, 90 min 1 Prof. Dr. Fred Böker Klausur zur Vorlesung Multivariate Verfahren, SS Kreditpunkte, 90 min Gesamtpunkte: 39 Aufgabe 1 (Punkte: 5) Die Zufallsvariablen X 1, X 2, X 3 seien jeweils N(0, 1)-verteilt und unabhängig. Die Zufallsvariablen Y i, i = 1,..., 4 seien definiert durch: Y 1 = X 1 + X 2 Y 2 = X 1 + 2X 3 Y 3 = X 2 + 3X 3 Y 4 = X 1 + X 2 + X 3 Es sei X t = (X 1, X 2, X 3 ) und Y t = (Y 1, Y 2, Y 3, Y 4 ) Schreiben Sie Y in der Gestalt Y = A t X mit einer geeignet gewählten Matrix A. b) (Punkte: 2) Bestimmen Sie die Kovarianzmatrix von Y, indem Sie die Formel für die Varianz von A t X verwenden. c) (Punkte: 1) Geben Sie die Verteilung von Y an. Aufgabe 2 (Punkte: 4) Es sei X N 3 (µ, Σ), wobei Σ = Mit R wurden die folgenden Berechnungen durchgeführt: Sigma<-matrix(c(9, - 3, - 3, -3, 5, 1, -3, 1, 5), nrow =3) eigen(sigma) $values $vectors Die letzte Matrix stimmt überein mit der Matrix 2/ 6 0 1/ 3 1/ 6 1/ 2 1/ 3 1/ 6 1/ 2 1/ 3 ( )

2 2 Klausur, Multivariate Verfahren, SS 2006, 6 Kreditpunkte, 90 min Führen Sie die Berechnungen für die Bestimmung des Eigenvektors zum Eigenwert λ 2 = 4 durch und bestätigen Sie dadurch die Ergebnisse aus R. Hinweis: In dem zu lösenden Gleichungssystem ist eine Gleichung überflüssig und somit eine Variable frei wählbar. Wählen Sie für eine der Variablen einen geeigneten Wert. Beachten Sie dabei die mit R berechnete Lösung. b) (Punkte: 2) Nach einem Resultat der Vorlesung lässt sich X schreiben als X = µ + BU, wobei U N 3 (0, I 3 ), wobei I 3 die dreidimensionale Einheitsmatrix ist. Bestimmen Sie die Matrix B. Hinweis: Verwenden Sie bei Ihren Berechnungen die Darstellung ( ), vereinfachen Sie Ihre Ergebnisse so weit wie möglich, rechnen Sie jedoch keine Quadratwurzeln mit dem Taschenrechner aus! Aufgabe 3 (Punkte: 14) Die folgenden Datensätze enhalten Messungen der Körpergröße KG, des Brustumfangs BU und des Mittelarmumfangs MAU zweijähriger Mädchen bzw. Jungen. Die Datensätze sind in R unter dem Namen maedchen bzw. jungen gespeichert. maedchen [1,] [2,] [3,] [4,] [5,] [6,] [7,] [8,] [9,] jungen [1,] [2,] [3,] [4,] [5,] [6,] Es ergaben sich folgende Berechnungen in R: apply(maedchen, 2, mean) apply(jungen, 2, mean)

3 Klausur, Multivariate Verfahren, SS 2006, 6 Kreditpunkte, 90 min 3 round(var(maedchen), digits =1) KG BU MAU round(solve(var(maedchen)), digits =1) KG BU Mau round(var(jungen), digits =1) KG BU MAU round(solve(var(jungen)), digits =1) KG BU MAU varges<-(8*var(maedchen) + 5*var(jungen))/13 round(varges, digits=1) KG BU MAU round(solve(varges), digits=1) KG BU MAU Setzen Sie für die folgenden Berechnungen Normalverteilung voraus! a) (Punkte: 6) Prüfen Sie für Jungen die Hypothese: µ = (80, 60, 15) t. Gehen Sie dabei wie folgt vor: i) (Punkte: 2) Geben Sie den Wert der Prüfgröße T 2 an. Hinweis: Falls Sie den Wert für T 2 nicht ermitteln konnten, so rechnen Sie im folgenden einfach mit (dem nicht korrekten Wert) T 2 = weiter. ii) (Punkte: 1) Rechnen Sie jetzt den Wert der zugehörigen F -verteilten Prüfgröße aus. iii) (Punkte: 1) Wie viele Freiheitsgrade hat diese F -Prüfgröße? iv) (Punkte: 2) Verwenden Sie α = 0.05 für Ihre Entscheidung über Ablehnung oder Nicht-Ablehnung der Hypothese. Geben Sie den kritischen Wert und Ihre Entscheidung an.

4 4 Klausur, Multivariate Verfahren, SS 2006, 6 Kreditpunkte, 90 min b) (Punkte: 3) Berechnen Sie simultane Konfidenzintervalle für die Erwartungswerte der drei Variablen zum Konfidenzniveau 1 α = c) (Punkte: 5) Prüfen Sie jetzt die Hypothese µ J = µ M, wobei µ J der Erwartungswert für Jungen und µ M der Erwartungswert für Mädchen ist. i) (Punkte: 3) Geben Sie den Wert der Prüfgröße T 2 an und rechnen Sie anschließend den Wert der F -verteilten Prüfgröße aus. ii) (Punkte: 2) Verwenden Sie α = 0.05 für Ihre Entscheidung über Ablehnung oder Nicht-Ablehnung der Hypothese. Aufgabe 4 (Punkte: 9) Es sei X = (X 1, X 2, X 3, X 4 ) t ein vierdimensionaler zufälliger Vektor mit der Kovarianz- und Korrelationsmatrix 1 1/2 1/2 1/2 Σ = 1/2 1 1/2 1/2 1/2 1/2 1 1/2 1/2 1/2 1/2 1 Die Eigenwerte dieser Matrix sind gegeben durch λ 1 = 2.5, λ 2 = λ 3 = λ 4 = 0.5. Der erste Eigenvektor ist: 2 1 (1, 1, 1, 1)t Schreiben Sie die Formel für die 1. Hauptkomponente auf und geben Sie deren Varianz an. b) (Punkte: 2) Geben Sie an, wieviel Prozent der Gesamtvariation durch die einzelnen Hauptkomponenten erklärt wird. c) (Punkte: 2) Die gegebene Matrix wurde in R mit Sigma2 bezeichnet. Es wurde dann die folgende Berechnung durchgeführt: round(eigen(sigma2)$vectors%*%diag(sqrt(eigen(sigma2)$values)), digits =1) [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] [2,] [3,] [4,] Wie heißt die berechnete Matrix und was geben die Zahlen an? d) (Punkte: 3) Wie viele Hauptkomponenten würden Sie verwenden? Verwenden Sie drei verschiedene Kriterien zur Auswahl der Hauptkomponenten, jedoch nicht den Bartlett-Test.

5 Klausur, Multivariate Verfahren, SS 2006, 6 Kreditpunkte, 90 min 5 Aufgabe 5 (Punkte: 3) Für die Kovarianzmatrix gilt eine Zerlegung Σ = Σ = ΛΛ T + Ψ mit Λ = Aus der Zerlegung der obigen Kovarianzmatrix folgt eine Zerlegung der Korrelationsmatrix P = D 1 ΣD 1 = D 1 ΛΛ t D 1 + D 1 ΨD 1 Mit R wurden dazu folgende Berechnungen durchgeführt: Sigma3 [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] [2,] [3,] [4,] De<-diag(sqrt(diag(Sigma3))) Deinvers<-solve(De) Lambda3 [,1] [,2] [1,] 4 1 [2,] 7 2 [3,] -1 6 [4,] 1 8 round(cov2cor(sigma3)-deinvers%*%lambda3%*% t(lambda3)%*%deinvers, digits = 2) [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] [2,] [3,] [4,] round(deinvers%*%lambda3,digits =2) [,1] [,2] [1,] [2,] [3,] [4,] Nehmen Sie an: Es wurde mit der Korrelationsmatrix eine Faktorenanalyse für die standardisierten Variablen Yj durchgeführt. Geben Sie die Kommunalitäten und die Einzelrestvarianzen an.

6 6 Klausur, Multivariate Verfahren, SS 2006, 6 Kreditpunkte, 90 min Aufgabe 6 (Punkte: 4) Die folgende Tabelle enthält fünf diagnostische Tests zur Aufdeckung einer schwerwiegenden Erkrankung. Die Patienten der Gruppe K leiden an dieser Erkrankung. Die Patienten der Gruppe B haben weniger ernsthafte Beschwerden mit ähnlichen Symptomen. Die letzte Spalte der Tabelle enthält die Werte von Fishers linearer Diskriminanzfunktion (FLD). Gruppe Patient Test FLD B Mittelwert K Mittelwert Beschreiben Sie, wie Sie in diesem Fall mit Hilfe der linearen Diskriminanzfunktion von Fisher entscheiden würden. b) (Punkte: 1) Geben Sie dazu auch genau den Wert an, der zwischen den beiden Gruppen trennt. c) (Punkte: 1) Wie viele der 10 Patienten werden der falschen Gruppe zugeordnet?

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