Universität Bonn 28. Juli 2010 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Statistische Abteilung Prof. Dr. A. Kneip. KLAUSUR Statistik B

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1 Universität Bonn 28. Juli 2010 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Statistische Abteilung Prof. Dr. A. Kneip Sommersemester 2010 KLAUSUR Statistik B Hinweise zur Bearbeitung: Bei allen Teilaufgaben ist die Punktzahl für die richtige Lösung angegeben. Die Gesamtpunktzahl aller Aufgaben beträgt 60. Wenn nicht anders angegeben, rechnen Sie bitte auf 3 Nachkommastellen genau. Es genügt nicht, nur das Endergebnis anzugeben. Ihre wesentlichen Rechenschritte müssen nachvollziehbar sein. Erlaubte Hilfsmittel: nicht-programmierbarer Taschenrechner ohne Textspeicher sowie ohne Infrarot und Funkschnittstelle. Nur dieses Klausurheft wird eingesammelt und ist für die Bewertung relevant. Es darf nicht auseinandergerissen werden. Verwenden Sie bitte den freigelassenen Raum für Ihre Antworten. Falls nötig, benutzen Sie auch die Blattrückseiten des Klausurheftes. Ausserdem können Sie diese als Schmierpapier benutzen. Es darf kein weiteres Schmierpapier benutzt werden. Wir wünschen Ihnen viel Erfolg! Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe Summe: 60 Note:

2 Seite 2 Aufgabe 1 In einer mittelgroßen deutschen Stadt wurden im Jahr 2002 für eine Zufallsstichprobe von n = 50 Einwohnern jeweils die monatlichen Nettoeinkommen X 1,..., X n erhoben. Für die Stichprobe ergab sich (in Euro) x = , S = 656. Das monatliche Durchschnittseinkommen in ganz Deutschland war im Jahr 2002 gleich 2706 Euro. Mittels eines statistischen Signifikanztests soll überprüft werden, ob man davon ausgehen kann, dass das monatliche Nettoeinkommen der Bürger dieser Stadt im Mittel höher ist als der gesamtdeutsche Durchschnitt von 2706 Euro. Nehmen Sie zur Vereinfachung an, dass die monatlichen Nettoeinkommen normalverteilt sind. a) Formulieren Sie Nullhypothese und Alternative des zugehörigen statistischen Testproblems. (2 Punkte) b) Führen Sie einen Signifikanztest zum Niveau α = 5% durch und interpretieren Sie Ihr Resultat. (5 Punkte) c) Illustrieren Sie den Ablehnungsbereich Ihres Tests grafisch. (3 Punkte)

3 Seite 3 Zur Erinnerung: x = , S = 656. d) Man weiß weiterhin, dass die Standardabweichung der Einkommen in Deutschland 800 Euro beträgt. Es soll nun zusätzlich überprüft werden, ob die Standardabweichung der Einkommen aller Bürger der obigen Stadt ebenfalls 800 Euro entspricht. Testen Sie diese Hypothese mit Hilfe eines Signifikanztests zum Niveau 5%. (6 Punkte)

4 Seite 4 Aufgabe 2 Gegeben seien zwei Zufallsvariablen X und Y, die jeweils nur zwei Werte 0 und 4 bzw. 0 und 1 annehmen. Die gemeinsame Verteilung von (X, Y ) ist durch folgende Tabelle gegeben: X\Y 0 1 RV X RV Y a) Sind die Zufallsvariablen X und Y voneinander unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort. (2 Punkte) b) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen Z = X + 2Y. Zu Ihrer Hilfe: Es gilt E(X) = 2, E(Y ) = 0.3. (8 Punkte)

5 Seite 5 Aufgabe 3 Die stetige Zufallsvariable X nehme nur Werte zwischen 0 und 1 an. Die Dichtefunktion von X sei für δ 0 durch { (δ + 1)x δ, x (0, 1) f(x) = 0, sonst gegeben. a) Berechnen Sie die zugehörige logarithmierte Likelihoodfunktion. (6 Punkte) b) Bestimmen Sie die Maximum-Likelihood Schätzfunktion von δ. Welcher Schätzwert ergibt sich, wenn n = 4 und die Stichprobenwerte x 1 = 0.7, x 2 = 0.8, x 3 = 0.9, x 4 = 0.8 betragen? (6 Punkte)

6 Seite 6 Aufgabe 4 Frau B. nutzt zur Verwaltung ihres Accounts einen Spamfilter. Der Filter erkennt Spam mit der Wahrscheinlichkeit von 0.8, während normale s mit Wahrscheinlichkeit 0.05 fälschlich als Spam klassifiziert werden. Es ist weiterhin bekannt, dass 40% der eingehenden s als Spam anzusehen sind. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine eingehende als Spam klassifiziert wird. (4 Punkte) b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine als Spam eingestufte tatsächlich Spam ist. (4 Punkte)

7 Seite 7 Nehmen Sie nun an, dass Frau B. zusätzlich einen zweiten Spamfilter hinzuschaltet, der unabhängig vom ersten Filter agiert. Dieser erkennt Spam mit der Wahrscheinlichkeit 0.9. Normale s werden hingegen mit Wahrscheinlichkeit 0.1 fälschlicherweise als Spam klassifiziert. Eine wird als Spam klassifiziert, falls sie von mindestens einem der beiden Filter als solche erkannt wird. c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine eingehende Spam- nach Durchlauf der beiden Filter als Spam eingestuft wird. (4 Punkte)

8 Seite 8 Aufgabe 5 Clemens hat sich vor kurzem einen orientalischen Teppich gekauft, dessen Neupreis 1000 Euro beträgt. Da er jedoch von seinen Eltern zum Geburtstag einen noch schöneren Teppich erhalten hat, möchte er ihn wieder loswerden. Er spielt mit dem Gedanken, den orientalischen Teppich mit Hilfe einer Erstpreisauktion zu versteigern. Jeder Bieter kann nur ein Gebot abgeben, und der Bieter mit dem höchsten Gebot erhält den Teppich. Clemens möchte gerne mindestens 960 Euro für den Teppich einnehmen. Er unterstellt nun, dass bei n teilnehmenden Bietern die jeweiligen Gebote X 1,..., X n unabhängig und gleichverteilt auf dem Intervall [0, 1000] sind. a) Sei Y die Anzahl aller Gebote, die mindestens 960 Euro betragen. Welche Verteilung besitzt die Zufallsvariable Y bei n Bietern? (4 Punkte) b) Wieviele Bieter muss Clemens dann für die Teppichauktion mindestens begeistern, damit die Wahrscheinlichkeit, dass das höchste Gebot mindestens 960 Euro beträgt, höher als 0.9 ist? (6 Punkte)

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