DIPLOMVORPRÜFUNG GRUNDZÜGE DER STATISTIK, TEIL B WINTERSEMESTER 2006/

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1 Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt DIPLOMVORPRÜFUNG GRUNDZÜGE DER STATISTIK, TEIL B WINTERSEMESTER 006/ Lösung Prof. Dr. R Friedmann / Dr. R. Hauser Hinweise für die Klausurteilnehmer Kleben Sie bitte sofort Ihr Namensschild auf obige Markierung! Die Klausur besteht aus 4 Teilen mit insgesamt 19 Aufgaben. Prüfen Sie die Vollständigkeit Ihres Exemplares nach; spätere Reklamationen können nicht berücksichtigt werden. Es sind insgesamt 10 Punkte (= ) erreichbar. Als Hilfsmittel sind zugelassen: Taschenrechner (auch programmierbar), 4 selbsterstellte DIN-A4 Seiten. Tabellen zur Normal-, t, χ und F -Verteilung sind der Klausur beigefügt. Bitte markieren Sie Ihre Antwort bei den Aufgaben in Teil 1 und durch ein Kreuz. Bei der Korrektur werden nur die Lösungen auf diesen Blättern berücksichtigt. BEWERTUNGSTEIL - Bitte nicht beschreiben Teil richtig beantwortete falsch beantwortete erreichte Punktzahl Fragen Fragen 1 3 Aufgabe 1: Aufgabe 13: Aufgabe 14: Aufgabe 15: Aufgabe 16: Aufgabe 17: 4 Aufgabe 18: oder Aufgabe 19: Gesamt:

2 1.Teil (4 Punkte): Wahr / Falsch Aussagen Für jede richtige Antwort : 3 Punkte Für jede falsche Antwort : -1 Punkt Unbeantwortet : 0 Punkte 1. Ist X 1,..., X n eine einfache Stichprobe vom Umfang n zu einer exponentialverteilten Zufallsvariablen Y, so sind X 1,..., X n stochastisch unabhängig und es gilt Var(X 1 ) = Var(X ) = = Var(X n ).. Es sei X 1,..., X n eine einfache Stichprobe vom Umfang n zur N(µ, σ )-verteilten Zufallsvariablen Y. Dann gilt (unabhängig von µ) E ( 1 n 1 n i=1 (X i X) ) = σ, wobei X = 1 n n i=1 X i. 3. Es sei X 1,..., X n eine einfache Stichprobe vom Umfang n zur N(µ, σ )- verteilten Zufallsvariablen Y. Dann gilt: n i=1 X i N(µ, σ ) n 4. Mit einem statistischen Test soll in einem Fertigungsbetrieb überprüft werden, ob die mittlere Abfüllmenge einer Maschine den Sollwert von µ 0 = 50 ml unterschreitet. Da im Fall der Unterschreitung des Sollwerts eine kostspielige Ersetzung der betreffenden Maschine durchzuführen wäre, möchte der Betrieb die Wahrscheinlichkeit, dass der Test fälschlicherweise für eine Unterschreitung des Sollwerts entscheidet, auf 1% beschränken. Dazu sind die Hypothesen als H 0 : µ 50 ml bzw. H 1 : µ > 50 ml zu formulieren. 5. Obwohl sich der Rechenweg aufgrund der unterschiedlichen Ansätze unter Umständen stark unterscheidet, liefern die Methode der Momente und die Maximum-Likelihood-Methode stets die gleichen Schätzfunktionen. 6. Auf der Grundlage einer zweidimensionalen einfachen Stichprobe, in der Geschlecht des Kunden (m, w) und Wochentag (Di, Mi, Do, Fr, Sa) von 1000 Friseurbesuchen erfasst wurden, soll untersucht werden, ob die beiden erhobenen Merkmale unabhängig verteilt sind. Zur Festlegung des kritischen Bereichs ist dabei das (1 α)-quantil der χ -Verteilung mit 4 Freiheitsgraden zu verwenden. 7. Bei einem statistischen Test zum Signifikanzniveau α ist die minimale Wahrscheinlichkeit für einen Fehler. Art durch 1 α gegeben. 8. Die Schätzung eines Konfidenzintervalls zum Konfidenzniveau 1 α = 0.95 für den Parameter µ einer Normalverteilung mit bekannter Varianz σ 0 ergab das realisierte Intervall [.1, 5.7]. Dann genügt die Kenntnis der entsprechenden Normalverteilungsquantile, um hieraus bereits das Konfidenzintervall zum Niveau 1 α = 0.90 zu berechnen. wahr falsch 1

3 .Teil (18 Punkte): Multiple-Choice (jeweils eine Antwort ist richtig) Für jede richtige Auswahl : 6 Punkte Für jede falsche Auswahl : -1 Punkt Unbeantwortet : 0 Punkte 9. Es sei Y eine normalverteile Zufallsvariable mit unbekanntem Erwartungswert µ und bekannter Varianz σ 0 = 15. Mit einem rechtsseitigen Gauß-Test zum Signifikanzniveau α = 0.05 soll anhand einer Stichprobe vom Umfang n = 100 zwischen H 0 : µ 5 und H 1 : µ > 5 entschieden werden. Welchen Wert nimmt die Gütefunktion dieses Tests an der Stelle µ = 4 an? Hinweis: Die richtige Antwort kann man auch ohne Rechnung finden! a) b) c) d) Sei (X 1,..., X n ) eine einfache Stichprobe zu einer mit unbekanntem Erwartungswert µ und unbekannter Varianz σ normalverteilten Zufallsvariablen Y. Mit Hilfe eines χ -Tests für die Varianz soll zwischen den Hypothesen H 0 : σ = 16 und H 1 : σ 16 entschieden werden. Dann gilt für den kritischen Bereich K : a) K = (, χ n 1;1 ) (χ α n 1;1, ) α b) K = (0, χ n 1; ) (χ α n 1;1, ) α c) K = (, χ n;1 ) (χ α n;1, ) α d) K = (0, χ n; ) (χ α n;1, ) α

4 11. Auf Grundlage einer einfachen Stichprobe X 1,..., X n zu einer N(µ, σ 0) - verteilten Zufallsvariablen wird ein Gauß-Test zur Überprüfung der Hypothesen H 0 : µ 50 gegen H 1 : µ < 50 bei einem Stichprobenumfang von n = 16 betrachtet (σ 0 = 1., α = 0.05). Markieren Sie die Abbildung, welche die Gütefunktionen des oben genannten Tests korrekt darstellt. G(µ) α G(µ) α a) µ b) µ G(µ) α G(µ) α c) µ d) µ 3

5 3.Teil (61 Punkte): Offene Fragen, obligatorisch 1. (6 Punkte) Zur Schätzung des Parameters µ R der Verteilung einer Zufallsvariablen Y aus einer einfachen Stichprobe (X 1,..., X 100 ) vom Umfang 100 zu Y stehen zwei Schätzfunktionen, T 1 und T, zur Verfügung. Die Verteilungen dieser Schätzfunktionen nehmen für beliebiges vorgegebenes µ R die folgende, durch die zugehörigen Dichtefunktionen abgebildete, Gestalt an: T 1 T f T i(z) µ Vergleichen Sie die beiden Schätzfunktionen kritisch miteinander. Würden Sie eine der beiden Schätzfunktion gegenüber der anderen vorziehen, falls ja, welche? Begründen Sie Ihre Antwort! z 4

6 13. (8 Punkte) a) Erläutern Sie das Konzept der Konsistenz im quadratischen Mittel. b) Muss ein konsistenter Schätzer erwartungstreu sein? c) Muss ein konsistenter Schätzer relativ effizient sein? 5

7 14. (10 Punkte) Die Verteilung der Zufallsvariablen Y, die vom unbekannten Parameter φ > 0 abhängt, sei durch die Dichtefunktion gegeben. f Y (y) = φ e πy 3 (y 1) φ y : y > 0 0 : y 0 Der Parameter φ soll auf der Grundlage der einfachen Stichprobe (X 1,..., X n ) vom Umfang n zu Y mit Hilfe der Maximum-Likelihood-Methode geschätzt werden. a) Stellen Sie die logarithmierte Likelihoodfunktion ln L(φ; x 1,..., x n ) auf. b) Berechnen Sie den ML-Schätzer φ für φ. Hinweis: x i > 0 für alle i {1,..., n} darf vorausgesetzt werden! 6

8 15. (15 Punkte) Eine Werbeagentur geht davon aus, dass 35% der Leser der Saarbrücker Zeitung eine von ihr aufgegebene Anzeige lesen. In der Mittwochsausgabe wird wieder eine Anzeige aufgegeben. Bei einer späteren Befragung geben 80 der insgesamt 00 Befragten an, dass sie die in der Mittwochsausgabe aufgegebene Anzeige gelesen haben. a) Testen Sie zum Signifikanzniveau α = 0.05 die Hypothese, dass davon ausgegangen werden kann, dass sich der Anteil der Leser, die die aufgegebenen Anzeigen lesen, verändert hat. b) Bestimmen Sie den p-wert für den Test in a). c) Geben Sie zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 1 α = 0.95 das zweiseitige Konfidenzintervall für den Anteil p der Leser an, die die aufgegebenen Anzeigen lesen. 7

9 16. (1 Punkte) Bei einer repräsentativen Befragung von 100 Autobesitzern wurden folgende Angaben über die jährlichen Inspektionskosten Y [in e] gemacht: jährliche Inspektionskosten Y absolute Häufigkeit n i Y < Y < Y Y > Testen Sie zum Signifikanzniveau α = 0.05 die Hypothese, dass die jährlichen Inspektionskosten einer N(300 ; 100 )-Verteilung gehorchen. 8

10 17. (10 Punkte) Ein Kaufhauskonzern will feststellen, ob verschiedene Werbemaßnahmen den Umsatz beeinflussen. Hierfür werden die Werbemaßnahmen I (Inserate), II (Sonderangebote) und III (Radiowerbung) ausgewählt und auf 4 Filialen aufgeteilt. Die Umsatzsteigerungen wurden in der folgenden Tabelle festgehalten. Werbemaßnahmen Umsatzsteigerungen x ji x j I II III Aus diesen Daten errechnete man n 1 (x 1i x 1 ) =, n i=1 i=1 (x i x ) = 5, n 3 i=1 (x 3i x 3 ) = 94. Prüfen Sie mit Hilfe der Varianzanalyse zum Signifikanzniveau α = 0.05 nach, ob sich die mittleren Umsatzsteigerungen der verschiedenen Werbemaßnahmen signifikant unterscheiden. 9

11 4.Teil (17 Punkte): Offene Fragen, Wahlmöglichkeit Bearbeiten Sie genau eine der beiden Aufgaben 18 ODER 19! 18. (17 Punkte) Der Verband Deutscher Automobilhersteller möchte die Nachfrage im Inland nach Automobilen mit Hilfe folgender Regressionsgleichung modellieren: mit y t = β 1 + β x t + β 3 x t3 + u t mit u t i.i.d. N(0, σ ), t = 1,..., T. y t : Automobilabsatz [in Tausend Stück] im Jahr t, x t : verfügbares Einkommen der privaten Haushalte [in Mrd. e] im Jahr t, x t3 : Benzinpreis, Super bleifrei, [in e/l] im Jahr t, u t : Störvariable im Jahr t. Man erhielt aufgrund der Beobachtungswertmatrix (y, X) die folgenden Ausdrücke: (X X) = , (X X) 1 = , X y = , T yt = 63.5, t=1 T ŷt = a) Berechnen Sie den Kleinst-Quadrate-Schätzer ˆβ und den Schätzwert ˆσ. b) Prüfen Sie mit einem Signifikanzniveau α = 0.05 nach, ob der Benzinpreis einen Einfluss auf den Automobilabsatz hat. c) Geben Sie ein zweiseitiges Konfidenzintervall für β 1 zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 1 α = 0.95 an. d) Testen Sie mit einem Signifikanzniveau α = 0.05 die Nullhypothese H 0 : β + β gegen die Alternative H 1 : β + β 3 < 0.5. e) Berechnen Sie das Bestimmtheitsmaß R und prüfen Sie, ob der Erklärungsansatz insgesamt signifikant ist (α = 0.05). t=1 10

12 19. (17 Punkte) Mit einer Regressionsanalyse in einem linearen Modell mit Absolutglied wurde im Jahr 1988 für 48 US-Bundesstaaten die Häufigkeit von Verkehrsunfällen mit Todesfolge (MRALL) pro Einwohner in Abhängigkeit von der Alkohol-Steuer pro Bierkasten (BEERTAX), des durchschnittlichen Fahraufkommens (VMILES), der Arbeitslosenquote (UNRATE) und des durchschnittlichen persönlichen Einkommens (PERINC) untersucht. Als Schätzergebnis erhielt man: Lineare Regression - Kleinst Quadrate Schaetzung Abhaengige Variable MRALL Beobachtungen 48 Freiheitsgrade 43 R** F p-wert von F Summe der quadrierten Residuen Variable Koeff Std Fehler T-Stat(Koeff=0) p-wert(-seitig) ******************************************************************** 1. Konstante BEERTAX VMILES UNRATE PERINC Beantworten Sie unter der Annahme, dass ein entsprechendes lineares Regressionsmodell gilt, die folgenden Fragen unter Verwendung der obigen Ergebnisse: a) Welcher Anteil der Gesamtvarianz der Häufigkeit von Verkehrsunfällen mit Todesfolge wird durch das lineare Modell erklärt? b) Geben Sie die Realisation eines erwartungstreuen Schätzers für die Varianz σ an. c) Ist der Erklärungsansatz insgesamt signifikant? (Signifikanzniveau α = 0.05) d) Geben Sie den p-wert für den (einseitigen) Test, ob die Arbeitslosenquote einen positiven Einfluss auf die Häufigkeit von Verkehrsunfällen mit Todesfolge hat, an. Wird die Nullhypothese, dass die Arbeitslosenquote keinen entsprechenden Einfluss hat, zum Niveau α = 0.05 verworfen? e) Prüfen Sie zu einem Signifikanzniveau α = 0.05, ob die Höhe der Alkohol- Steuer pro Bierkasten einen Einfluss auf die Häufigkeit von Verkehrsunfällen mit Todesfolge hat. f) Die Variable MLDA, die das in dem jeweiligen Staat gesetzlich vorgeschriebene Mindestalter für den Konsum von Alkohol angibt, wird dem Regressionsmodell als erklärende Variable hinzugefügt. In welchem Intervall wird das Bestimmtheitsmaß im neuen, erweiterten, Modell auf jeden Fall liegen? g) Es soll mit einem statistischen Test überprüft werden, ob die Variablen BEERTAX und UNRATE aus dem Modell entfernt werden können, d.h. ob der 11

13 gemeinsame Einfluss beider Variablen nicht signifikant ist. Mit welchem Test kann dies geschehen? Mit welchem Ergebnis aus der Schätzung des reduzierten Modells könnte dieser Test unmittelbar durchgeführt werden? 1