Profil A 49,3 48,2 50,7 50,9 49,8 48,7 49,6 50,1 Profil B 51,8 49,6 53,2 51,1 51,1 53,4 50, ,5 51,7 48,8

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1 1. Aufgabe: Eine Reifenfirma hat für Winterreifen unterschiedliche Profile entwickelt. Bei jeweils gleicher Geschwindigkeit und auch sonst gleichen Bedingungen wurden die Bremswirkungen gemessen. Die gemessenen Bremswege (in m) sind in der folgenden Tabelle eingetragen. Profil A 49,3 48, 50,7 50,9 49,8 48,7 49,6 50,1 Profil B 51,8 49,6 53, 51,1 51,1 53,4 50, ,5 51,7 48,8 Man kann davon ausgehen, dass die Bremswege normalverteilte Zufallsvariable mit ungleichen Varianzen sind. Die empirischen Varianzen sind s A = 0, 8598 und s B = 1, 956. Testen Sie zum Niveau α = 0, 05, ob sich Reifen mit Profil A in ihrer Bremswirkung von Reifen mit Profil B unterscheiden. (Welch-Test) H 0 : µ 1 = µ H A : µ 1 µ. x 1 = 49, 665; x = 51, 177; s 1 = 0, 8598 und s = 1, 956. ( ) s 1 n 1 s n t m;1 α m = s 1 n 1 s n n 1 1 n 1 = t 16;0,975 =, 1 int t = x 1 x =, 83 s 1 n 1 s n = [16, 9] int = 16 t =, 83 >, 1 = H 0 ablehnen. D.h. die Bremswirkungen beider Profile unterscheiden sich signifikant.. Aufgabe: Der Produzent und der Konsument einigen sich auf Folgendes. Ein Posten mit p 0.01 = p α wird als gut und ein Posten mit p 0.0 = p β als schlecht angesehen. Das Risiko des Produzenten betrage 5%. Das Risiko des Konsumenten betrage 3%. Zur Stichprobenkontrolle soll ein (n,c)-stichprobenplan verwendet werden. a) Bestimmen Sie eine untere Grenze für den Stichprobenumfang n. b) Bestimmen Sie, falls möglich, für n = 1500 und n = 000 einen (n,c)-stichprobenplan, der die Bedingungen erfüllt! c) Wie erfolgt die Stichprobenkontrolle, falls n = 300 und c = 3 ist? p α = 0, 01; α = 0, 05 und damit z 1 α = z 0,95 = 1, 645. p β = 0, 0; β = 0, 03 und damit z 1 β = z 0,97 = 1, 881. a) n = n 184. [ pα (1 p α )z 1 α ] p β (1 p β )z 1 β = 183, 4 p α p β

2 b) np α z 1 α npα (1 p α ) c np β z 1 β np β (1 p β ) n = 1500 : 1, 3 c 19, 8 n = 000 : 7, 3 c 8,. Für n = 1500 ist also kein c bestimmbar. Das ist auch aus a) klar. Für n = 000 ist c = 8. c) Es wird eine Stichprobe vom Umfang 300 geprüft. Sind unter den 300 geprüften Stück mehr als 3 Ausschuss dann wird die Lieferung abgelehnt und sind höchstens 3 Stück Ausschuss, dann wird die Lieferung angenommen. 3. Aufgabe: Die Häufigkeiten von Augenfarben bei n = 1000 Vätern und Söhnen sind in folgender Tabelle gegeben. Sohn \Vater hell dunkel hell dunkel Testen Sie bitte zum Niveau α = 0.05, ob es eine Abhängigkeit gibt zwischen der Augenfarbe des Vaters und der des Sohnes. (Unabhängigkeitstest) H 0 : H A : Augenfarbe von Vater und Sohn sind unabhängig. Augenfarbe von Vater und Sohn sind abhängig. h ij hell dunkel h i hell dunkel h j n=1000 ( ( , 4) t = = 13 oder: da p = q = (Vierfeldertafel) = (150 35, 6) h i h j n hell dunkel hell 384,4 35,6 dunkel 35,6 144,4 (150 35, 6) ) (30 144, 4) t = χ (p 1)(q 1);1 α = χ 1;0,95 = 3, ( ) = 13. t = 13 > 3, 84 = H 0 ablehnen. Es besteht eine signifikante Abhängigkeit der Augenfarbe des Sohnes von der des Vaters.

3 4. Aufgabe: Bei einer medizinischen Studie mit 103 Personen wurde untersucht, ob es einen Zusammenhang zwischen Blutdruck und Cholesterin-Konzentration im Blut gibt. Für die 3 Variablen X 1 -Alter, X -Blutdruck und X 3 -Cholesterin-Konzentration wurden die folgenden Korrelationskoeffizienten aus der Stichprobe ermittelt: r X1,X = 0.333, r X1,X 3 = und r X,X 3 = Bestimmen Sie die partielle Korrelation zwischen Blutdruck und Cholesterin- Konzentration bei Partialisierung, d.h. Eliminierung des Alters. Testen Sie zum Niveau α = 0.05, ob es einen signifikanten linearen Zusammenhang zwischen Blutdruck und Cholesterin-Konzentration nach Eliminierung des Alters gibt. n = 103 : r X,X 3 X 1 = r X,X 3 r X,X 1 r X3,X1 ( ) ( ) 1 r 1 r X,X 1 X 3,X 1 = 0, H 0 : X,X 3 X 1 = 0 gegen H A : X,X 3 X 1 0. t n 3;1 α t = 0, , = t 100;0,975 = 1, 984 = 1, 01 t = 1, 01 1, 984 = H 0 annehnen. Es besteht kein signifikanter linearer Zusammenhang zwischen den Blutdruck und der Cholesterin-Konzentration nach Eliminierung des Alters. 5. Aufgabe: Über einen Zeitraum von 11 Jahren wurde in jedem Jahr die Anzahl der errichteten Einfamilienhäuser (in 1000), der mittlere Preis der Häuser (in 1000 BC) und das Einkommen der Bevölkerung (in Mrd BC) erfasst. Aus diesen Daten wurde folgendes Regressionsmodell geschätzt:

4 a) Wie lautet die geschätzte Regressionsfunktion? b) Welche Tests für die einzelnen Parameter der Regressionsfunktion wurden durchgeführt und wie lauten die Testergebnisse? c) Berechnen Sie das Bestimmtheitsmaß und interpretieren Sie es. a) Anzahl=744,97854,9704 Zeit-4,1783 Preis-0,19554 Einkommen b) Regressionsmodell: Anzahl = a 1 a Zeit a 3 Preis a 4 Einkommen. c) Für alle meist gebräuchliche α gilt: H 0 : a i = 0 H A : a i 0 i = 1,.., 4. i = 1 : p = 0, 0018 < α = H 0 ablehnen, i = : p = 0, 0045 < α = H 0 ablehnen, i = 3 : p = 0, 0000 < α = H 0 ablehnen, i = 4 : p = 0, 3581 > α = H 0 annehmen. Alle Parameter bis auf a 4 sind signifikant von 0 verschieden. Das Einkommen hat also in diesen Modell keinen signifikanten Einfluss. B = SSE 7157, 8 = = 0, 9856 SST 761, 96 98,56 % der Streuung werden durch die Regressionsfunktion erklärt. 6. Aufgabe: a) Für zwei Konfidenzintervalle J 1 und J für den selben Parameter und für die selbe Stichprobe gilt J 1 J. In welcher Beziehung stehen die entsprechenden α-werte α 1 und α? J 1 J Für das kleinere Intervall J 1 ist auch die Überdeckungswahrscheinlichkeit kleiner. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Parameter nicht überdeckt wird, größer. 1 α 1 1 α = α α 1. b) Wie lautet das 0, 3-Quantil der N(0, 4)-Verteilung? X N(0, 4). P(X < t) = 0, 3 ( X µ P < t 0 ) = 0, 3 σ ( ) t Φ = 0, 3 t = z 0,3 = z 0,7 = 0, 54 t = 1, 05.

5 c) Was schlägt sich stärker in der Testgröße des χ -Anpassungstestes nieder: eine große Abweichung in einer Klasse der Stichprobe oder zwei halb so große Abweichungen in zwei Klassen der Stichprobe? Eine große Abweichung in einer Klasse schlägt sich stärker nieder. Der Grund dafür ist, dass die Abweichungen quadratisch in die Testgröße eingehen. Ist die Abweichung in der einen Klasse gleich a und in den beiden Klassen gleich a so gilt: ( a a a > = ). d) Wann ist V ar(x Y ) < V arx V ary? Es gilt: V ar(x Y ) = V ar(x) V ar(y ) Cov(X,Y ). = V ar(x Y ) < V ar(x) V ar(y ) Cov(X, Y ) < 0. X und Y müssen also negativ korreliert sein. e) Wann ist die partielle Korrelation gleich der gewöhnlichen Korrelation, d.h. =? XY Intuitiv ist klar, dass wenn sowohl X als auch Y von U unabhängig sind, dann sind beide Korrelationen gleich. Formell erhält man: XY XU Y = U (1 )(1 Y ) XU U Sind also sowohl X und U, als auch Y und U unkorreliert dann gilt: XU = Y U = 0 = = XY. [ Sind XU und Y U nicht beide gleich 0, dann gilt: = XY XY = f) Warum ist bei der folgenden Stichprobe XU Y U 1 (1 XU )(1 Y U ). x i y i der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient gleich 1, aber der gewöhnliche, d.h. der Pearsonsche Korrelationskoeffizient, nicht? Die Ränge der Daten liegen auf einer Geraden mit positiven Anstieg, darum ist die Rangkorrelation gleich 1. Zwischen den Daten liegt aber kein linearer Zusammenhang vor (sondern ein quadratischer), darum ist der Pearsonsche Korrelationskoeffizient nicht 1. ]

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