Kontingenzkoeffizient (nach Pearson)

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1 Assoziationsmaß für zwei nominale Merkmale misst die Unabhängigkeit zweier Merkmale gibt keine Richtung eines Zusammenhanges an 46 o jl beobachtete Häufigkeiten der Kombination von Merkmalsausprägungen ( a, b ), j, L, k, j l = l =, L, m, ( jl o = ( ) H a j, b l ) e jl erwartete Häufigkeiten, die sich bei Unabhängigkeit von X und Y ergeben n j. n. l e jl : = n Spaltensumme mal Zeilensumme durch Gesamtsumme o = observed und e = expected 47 Konstruktion einer Hilfsgröße: χ k m χ : = j= l = ( o e ) jl jl e jl Kontingenzkoeffizient C: C : = χ χ + n 48

2 Es gilt für den Kontingenzkoeffizienten: 0 C < min min ( k, m) ( k, m) k und m sind die Anzahl der Spalten bzw. der Zeilen der Häufigkeitstabelle korrigierter Kontingenzkoeffizient C: C corr = min min ( k, m) ( k, m) C 49 Es gilt für den korrigierten Kontingenzkoeffizienten: 0 C corr C corr = strikte Abhängigkeit bei Unabhängigkeit gilt: C corr = 0 50 Wichtiger Hinweis: Die oben genannte Hilfsgröße heißt χ, da sie gut durch eine statistische Verteilung, nämlich eine χ -Verteilung beschrieben werden kann. Die χ -Verteilung ist eine stetige (theoretische) Verteilung; hier liegt jedoch nur diskretes Datenmaterial vor. Damit eine Approximation an eine χ -Verteilung gut ist, sollten nach Cochran (954) mindestens 80% aller erwarteten Häufigkeiten e jl einer Mehrfeldertafel die folgende Faustformel erfüllen: e jl 5 5

3 Faustformel: e jl 5 Achtung: Die bei Unabhängigkeit zu erwartenden Häufigkeiten sollen die Faustformel erfüllen, nicht die beobachteten! Ist dies nicht der Fall, so müssen benachbarte Zeilen oder Spalten nach sachlogischen Gesichtspunkten so lange zusammengefaßt werden, bis obige Faustformel erfüllt ist. Die oben erwähnte Korrektur des Kontingenzkoeffizienten ist aber nur dann inhaltlich gerechtfertigt, wenn dadurch keine Verfälschung von Populationsverhältnissen auftritt 5 : Musikgeschmack Im Jugendheim Klingeltown wurden n=5 Jugendliche befragt, ob sie lieber Musik von Joe Cocker (J) oder Prince (P) hören und ob sie Raucher (R) oder Nichtraucher (N) sind. Dabei erhielt man die folgenden 5 Antworttupel als zweidimensionale Urliste (P,R), (P,R), (J,R), (J,R), (J,R), (J,N), (P,N), (P,N), (P,N), (P,N), (J,N), (J,N), (J,R), (J,R), (P,R), (J,R), (J,R), (J,R), (P,R), (P,N), (J,N), (J,N), (P,R), (P,N), (J,N). 53 : Fortsetzung Prince 5 6 Joe Cocker Für die erwarteten Häufigkeiten e jl ergibt sich: Prince Joe Cocker

4 : Fortsetzung Prince 5 6 Joe Cocker Prince Joe Cocker χ = = ( 5 5.7) ( 6 5.8) ( 8 7.8) ( 6 6.7) ( 0.7) ( 0.7) = : Fortsetzung C = 0.35 = (,) (,) min C corr = C = min 0.7 = Somit gewinnt man den Eindruck, dass kein Zusammenhang zwischen und Musikgeschmack vorliegt 56 alternative Maßzahl für zwei nominalskalierte Merkmale X und Y, die jeweils nur über zwei mögliche Ausprägungen verfügen (dichotome Merkmale) Alternative zum Kontingenzkoeffizienten nach Pearson Vorteil: Berechnung sehr viel einfacher und direkter 57 4

5 Assoziationsmaß für zwei dichotome nominale Merkmale misst die Unabhängigkeit zweier Merkmale gibt keine Richtung eines Zusammenhanges an 58 Merkmal Y Summe X b b m a H (a,b) H (a,b) n. a H (a,b) H (a,b) n. Summe n. n. n Seien a, a die Ausprägungen des Merkmals X und b, b die Ausprägungen des Merkmals Y. Dann ist H Q : = H ( a, b ) H ( a, b ) H ( a, b ) H ( a, b ) ( a, b ) H ( a, b ) + H ( a, b ) H ( a, b ) 59 Alternative Schreibweise: o o o : o Q = o o + o o (es werden jeweils die Diagonalelemente miteinander multipliziert) 60 5

6 Für den Koeffizienten gilt: Q. Für Q = 0 liegt Unabhängigkeit vor, für Q = starke Abhängigkeit. Bei der Interpretation des Assoziationskoeffizienten wird i.allg. nur der absolute Wert des Koeffizienten berücksichtigt, nicht aber das Vorzeichen. 6 Vertauschen der Zeilen oder Spalten Wechsel des Vorzeichens für nominale Merkmale gibt es keine natürliche Ordnung der Ausprägungen Nur für Kontingenztafeln bei denen für beide Merkmale eine Ordnung der Ausprägungen gegeben ist etwa gruppierte metrische Merkmale wird das Vorzeichen in die Interpretation einbezogen. 6 : Musikgeschmack Joe Cocker Prince Q = = =

7 : Musikgeschmack Prince 5 6 Joe Cocker Q = = = Bemerkungen Q kann nur dann den Wert Eins annehmen, wenn mindestens ein Wert auf der Nebendiagonale den Wert Null annimmt. X X Y a a Y a a b 00 0 b 00 0 b 0 00 b Tafel A (Q = ) Tafel B (Q = ) 65 Bemerkungen X X Y a a Y a a b 00 0 b 00 0 b 0 00 b Tafel A (Q = ) Tafel B (Q = ) Während bei Tafel A eine wirklich strikte Assoziation zwischen den Merkmalen X und Y vorliegt (zu je einer Ausprägung von X gehört genau eine Ausprägung von Y, ist dies bei Tafel B nicht gegeben. Dort ist nur bei je einer Ausprägung von X bzw. Y eine genaue Vorhersage von Y bzw. X möglich. 66 7

8 Eta-Koeffizient einer Maßzahl für zwei unterschiedlich skalierte Merkmale X und Y. Sei X ein nominales Merkmal mit k Ausprägungen. Sei Y sei metrisches Merkmal. Der Eta-Koeffizient soll messen, inwieweit die Information der nominalen Variablen zur Erklärung der Variabilität der metrischen Variablen herangezogen werden kann. 67 Eta-Koeffizient Berechne von der gesamten Stichprobe das arithmetische Mittel und die empirische Varianz des metrischen Merkmals Y. Sei n j der Umfang der j-ten Teilpopulation, die durch das nominale Merkmal X gebildet wird (k Teilstichproben). Berechne dann zu jeder Teilpopulation das arithmetische Mittel y j Berechne dann das Quadrat des Eta-Koeffizienten mit: k n j n η = i= sy ( y y) j 68 Eta-Koeffizient Berechne dann den Eta-Koeffizienten mit: η = η Der Eta-Koeffizient misst, inwieweit die Information der nominalen Variablen zur Erklärung der Variabilität der metrischen Variablen herangezogen werden kann. Es gilt: 0 η. 69 8

9 : CDs Eta-Koeffizient Geschlecht X m m w m m w w m m w CD-Anzahl Y Wie viel Prozent der Gesamtvariabilität lassen sich durch das Geschlecht erklären? y = 79.6 und sy = y w = = L+ 48 y m = = : Fortsetzung Eta-Koeffizient ( 4 ( ) + 6 ( ) ) η = = 0.04 η = η = 0.04 = 0.33 Knapp ein Drittel der Gesamtvariabilität kann durch das Geschlecht erklärt werden. 7 Zusammenhangsmaße Skalenniveau metrisch ordinal nominal metrisch r xy r s C/C corr /η r xy ordinal r s r s C/C corr nominal C/C corr /η C/C corr C/C corr r s Bei Vorliegen zweier dichotomer Merkmale ist immer auch Q als sinnvolle alternative Maßzahl möglich. 7 9

10 Zusammenhangsmaße Weitere Maßzahlen Kontingenzkoeffizient Phi Maßzahl für die Stärke eines Zusammenhangs zwischen zwei nominalskalierten/dichtomisierten Variablen (x-tafeln). basiert auf der Chi-Quadrat-Statistik o o o Phi : = o o o... o o. Phi. 73 Kontingenzkoeffizient Phi Zusammenhangsmaße Weitere Maßzahlen Für Phi = 0 liegt Unabhängigkeit vor, für Phi = starke Abhängigkeit. Bei der Interpretation des Assoziationskoeffizienten wird i.allg. nur der absolute Wert des Koeffizienten berücksichtigt, nicht aber das Vorzeichen. Bei mehr als zwei Ausprägungen eines Merkmals sollte eine alternative Maßzahl (Cramers V oder der (korrigierte) Kontingenzkoeffizient C) herangezogen werden, hierbei kann sonst Phi den Wert Eins betragsmäßig überschreiten. 74 Zusammenhangsmaße Weitere Maßzahlen Cramers V Maßzahl für die Stärke eines Zusammenhangs zwischen zwei nominalskalierten Variablen. basiert auf der Chi-Quadrat-Statistik V : = χ n(min( k, m) ) V. 75 0

11 Zusammenhangsmaße Weitere Maßzahlen Cramers V Für V = 0 liegt Unabhängigkeit vor, für V = starke Abhängigkeit. Bei der Interpretation des Assoziationskoeffizienten wird i.allg. nur der absolute Wert des Koeffizienten berücksichtigt, nicht aber das Vorzeichen. Bei nur zwei Ausprägungen eines Merkmals sollte eine alternative Maßzahl (Kontingenzkoeffizient Phi) herangezogen werden. 76 Zusammenhangsmaße Skalen niveau nominal ordinal metrisch nominal Für k m-tafeln allgemein: Koeffizienten, die auf Chi- Quadrat beruhen: Cramer-V, (korrigierter) Kontingenzkoeffizient nach Pearson ( C ), Für k m-tafeln allgemein: Koeffizienten, die auf Chi- Quadrat beruhen: Cramer-V, (korrigierter) Kontingenzkoeffizient nach Pearson ( C ), Für k m-tafeln allgemein: Koeffizienten, die auf Chi- Quadrat beruhen: Cramer-V, (korrigierter) Kontingenzkoeffizient nach Pearson ( C ), Speziell für x-tafeln: Yules Q, Phi Speziell für x-tafeln: Yules Q, Phi Speziell für x-tafeln: Yules Q, Phi ordinal Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman (rho), Kendalls τ (tau b, tau c) Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman (rho), Kendalls τ (tau b, tau c) metrisch Einfluss eines nominalen auf ein metrisches Merkmal: Eta-Koeffizient Korrelationskoeffizient nach Pearson (r) (misst lineare (!) Zusammenhänge) 77 Zusammenhangsmaße Literatur: Ostermann R & Wolf-Ostermann K (999): Statistik.. Aufl. Oldenbourg, München 78