Definitionen. b) Was bedeutet V ist die direkte Summe von U und W? V ist direkte Summe aus U und W, falls V = U + W und U W = {0}.

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1 Technische Universität Berlin Wintersemester 7/8 Institut für Mathematik 9. April 8 Prof. Dr. Stefan Felsner Andrea Hoffkamp Lösungsskizzen zur Nachklausur zur Linearen Algebra I Aufgabe ++ Punkte Definieren Sie die folgenden Begriffe: Definitionen a injektive und surjektive Abbildung der Begriff Abbildung muss nicht definiert werden: Seien X, Y Mengen und f : X Y eine Abbildung. f heißt injektiv gdw. für alle x, x X gilt: fx = fx x = x. f heißt surjektiv gdw. zu jedem y Y ein x X existiert mit fx = y. b Lineare Abbildung: Seien V, W Vektorräume über einem Körper K. Eine Abbildung f : V W heißt lineare Abbildung, falls für alle v, v V und λ K gilt: fv + v = fv + fv und fλv = λfv. c Kern und Bild einer linearen Abbildung: Sei f : V W lineare Abbildung. Dann ist Kern f = {v V fv = } und Im f = {fv v V }. Aufgabe ++ Punkte Seien U, W Unterräume eines endlich dimensionalen K-Vektorraumes V. a Wie ist die Summe von U und W definiert?: U + W = {u + w u U, w W }. b Was bedeutet V ist die direkte Summe von U und W? V ist direkte Summe aus U und W, falls V = U + W und U W = {}. c Geben Sie ein konkretes Beispiel eines Vektorraumes V und zwei Unterräumen U und W von V an, so dass V die direkte Summe von U und W ist ohne Begründung!: V = R. U = {x, x R} und W = {, y y R}.

2 Aussagen Aufgabe Punkte Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume der angegebenen Vektorräume? ja nein a {x, y, z R x = y = z} R b {x, y R x = y 4 = } R c {µ + λ, λ R µ, λ R} R d {A M R n n A = A T } M R n n Sei V ein K-Vektorraum und U, W Unterräume von V. V \U ist die Menge aller Vektoren, die in V, aber nicht in U liegen bitte nicht mit dem Quotientenraum verwechseln!. Kreuzen Sie die korrekten Aussagen an: e V \ U ist Unterraum Ob V \ U Unterraum V \ U ist nie Unterraum von V von V ist, ist abhängig von U von V f U W ist immer ein Es gibt Fälle, in denen U W U W ist nie Unterraum Unterraum von V ein Unterraum von V ist von V Aufgabe 4 Punkte Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen wahr oder falsch sind: Sei A eine -Matrix über R und b R. a Ist rga =rga b =, so hat das Lineare Gleichungssystem Ax = b eine eindeutige Lösung. b Das Lineare Gleichungssystem Ax = b ist immer lösbar. c Hat das Lineare Gleichungssystem Ax = b mindestens zwei Lösungen, so hat es auch unendlich viele weitere Lösungen. wahr Es sei nun A eine n n-matrix über einem Körper K und b K n. Welche der folgenden Bedingungen ist oder sind gleichbedeutend mit der eindeutigen Lösbarkeit von Ax = b: d dim Kern A = dim Kern A = n rga = n falsch A sei wiederum eine n n-matrix über einem Körper K und b K n. Sei det A =. Dann ist das Lineare Gleichungssystem Ax = b e nur lösbar für b = lösbar für alle b K n, aber lösbar nur für manche nicht unbedingt eindeutig b K n, aber nie eindeutig Aufgaben Aufgabe 5 + Punkte Eine lineare Abbildung F : R R sei definiert durch die Matrix A = d.h. F x = A x für alle x R.,

3 a Es seien B = R bzw. R. Bestimmen Sie M B B F., Bilder der Basisvektoren: F = = 7 F F = = Also ist M B B F = = = 5, 5 + und B =, Basen vom b Für die Basen B und B aus a sei die lineare Abbildung G gegeben durch MB B G =. Bestimmen Sie G 5. Es ist 5 = + +. G 5 = = B = + = Aufgabe ++ Punkte a Sei A eine n n-matrix über einem Körper K mit der Eigenschaft A = E n E n bezeichne die Einheitsmatrix! Welche Werte kann det A annehmen? mit Beweis = det E n = det A = det A, da det multiplikativ ist. Daraus folgt det A = ±. r b Für welche r R sind die Vektoren, r, R linear unabhängig? r Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn det r r r 8. ist.

4 det r r r r R \ {, }. c Zeigen Sie: det = r + r, also sind die Vektoren unabhängig für alle a a 4 a 7 a a 5 a 8 a a a 9 = für alle a R. Verwendet man z.b. die Regel von Sarrus um die Determinante zu berechnen, dann bekommt man das gewünschte Ergebnis für alle a R. Aufgabe Punkte Sei M R, der Vektorraum der -Matrizen über R. Definiere die Spur einer Matrix a a durch Sp = a a a + a. a Zeigen Sie, dass Sp eine lineare Abbildung von M R, nach R ist. Es ist a a Spλ a a alle λ R und a a Sp a a λa λa = Sp λa λa b b + b b a a = λa + λa = λsp a a a + b = Sp a + b a + b a + b a a = a +b +a +b = a +a +b +b = Sp a a b Zeigen Sie: SpAB =SpBA für alle A, B M R,. Es ist a a Sp a a b b = Sp b b b b b b a a a a = i= j= a ij b ji = i= j= +Sp b ij a ji = b b b b für c Seien A, B ähnliche Matrizen in M R,. Zeigen Sie, dass dann SpA =SpB gilt. Sei S invertierbare -Matrix mit A = SBS. Dann ist wegen b SpA = SpSBS = SpBS S = SpBE = SpB. d Sei A = {,,, } die kanonische Basis von M R, und B = {} Basis von R. Bestimmen Sie MB ASp. Bilder der Basisvektoren: Sp = Sp =.

5 Sp = Sp =. Also ist MB A Sp =. e Bestimmen Sie die Dimension von Im Sp und geben Sie eine Basis von Im Sp an. dim Im Sp = rgmb A Sp =. Damit ist {} eine Basis von Im Sp. f Bestimmen Sie die Dimension von Kern Sp und geben Sie eine Basis von Kern Sp an. Dimensionsformel anwenden ergibt: 4 = dim M R, = dim Im Sp + dim Kern Sp. Also ist dim Kern Sp =. Eine Basis von Kern Sp ist {,, }.