Definition und gemeinsame Eigenschaften der Symplektischen und Orthogonalen Geometrie

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1 Universität Duisburg-Essen, Campus Essen, Fachbereich Mathematik, IEM AG Zahlentheorie Definition und gemeinsame Eigenschaften der Symplektischen und Orthogonalen Geometrie Proseminar Algebra WS 2008/2009, Geometrische Algebra Dozent: Prof. Dr. Dr. h.c. Gerhard Frey Anna Dittmer ( ), Katharina Wikker ( ), Marc Bosse ( ) 1

2 INHALTSVERZEICHNIS 1. Definition der Symplektischen und Orthogonalen Geometrie Motivation Definitionen Gemeinsame Eigenschaften von Orthogonalen und Symplektischen Geometrien Ortogonale Unterräume und Radikal Nicht-singuläre Unterräume Isometrien Isotrope Vektorräume Hyperbolische Ebenen und Räume Fortsetzungen von Isometrien und der Satz von Witt Drehungen und Spiegelungen

3 1. DEFINITION DER SYMPLEKTISCHEN UND ORTHOGONALEN GEOMETRIE 1.1 MOTIVATION Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum. Sei V V K, A, B AB beliebige Bilinearform, K ein kommutativer Körper. Ein Vektor A heißt orthogonal zu einem Vektor B, falls AB = 0. Problem: In welchen metrischen Strukturen ist BA = 0, wenn AB = 0 ist? Annahme: Sei V ein Vektorraum und A, B, C V. Dann gilt: Da K kommutativ ist gilt auch: A AC B AB C = AC AB AB AC = 0 AC B AB C A = 0 AC BA AB CA = 0 AC BA = AB CA (3. 14) Für C = A erhalten wir: A 2 BA = A 2 AB Falls A² 0 BA = AB. Das heißt: Falls BA AB A² = 0. ( ) (analoge Aussage bezüglich B : AB BA B 2 = 0) Seien nun A und B zwei spezielle Vektoren aus V, so dass gilt: BA AB. Wir wollen zeigen, dass C² = 0 für jeden beliebigen Vektor C. i) Dies ist sicherlich richtig, wenn gilt: AC CA, denn AC CA C 2 ii) Also nehmen wir an, dass gilt: AC = CA. Da nach Voraussetzung für spezielle A und B BA ABgilt und außerdem (3. 14) erfüllt sein muss, folgt automatisch: AC = CA = 0. Wir können A und B vertauschen und können deswegen auch BC = CB = 0 annehmen. 3

4 Betrachte: BA = BA + 0 = BA + BC = B(A + C) und AB = AB + 0 = AB + CB = (A + C)B Aber nun folgt wegen der Voraussetzung BA AB: B A + C = BA AB = (A + C)B Daraus folgt: A + C 2 = 0 (wegen ( )) Weil BA AB A² = 0 und AC = CA = 0 folgt, dass C² = 0, denn: A + C 2 = 0 A 2 + AC + CA + C 2 = C 2 = DEFINITIONEN Wir sehen, dass es zwei Typen metrischer Strukturen gibt, die die Eigenschaft AB = 0 BA = 0 haben. 1) Die Symplektische Geometrie Hier fordern wir X 2 = 0 X V (3. 15) Ersetzt man den Vektor X durch eine Summe aus Vektoren X + Y, so erhält man: (X + Y) 2 = X 2 + XY + YX + Y 2 = 0 und deswegen: XY = YX X, Y V Gleichung (3. 16) zeigt, dass AB = 0 tatsächlich BA = 0 impliziert. Weil der Körper K unter Umständen die Charakteristik 2 hat und es damit ein k 0 gibt, so dass trotzdem k = k gilt, können wir mit dem Spezialfall X = Y aus (3. 16) nicht sofort (3. 15) schließen. Sei die Bilinearform durch die Gram sche Matrix G = g 11 g 1j gegeben. Dann gilt in g i1 g ij einer Symplektischen Geometrie g ii = 0, g ij = g ji da g ij = A i A j, A i, A j Basisvektoren von V. Eine solche Bilinearform, für die gilt, heißt schiefsymmetrisch oder alternierend. Wenn erfüllt ist, gilt auch: 4

5 n X 2 = g ij x i x j i,j =1 = 0 Es wird deutlich, dass notwendige und hinreichende Bedingung für eine Symplektische Geometrie ist und dass das Untersuchen einer solche Geometrie gleichbedeutend mit dem Untersuchen von schiefsymmetrischen Bilinearformen ist. 2) Die Orthogonale Geometrie Wenn V nicht symplektisch ist, aber dennoch die Eigenschaft AB = 0 notwendigerweise XY = YX X, Y V Dies ist eine symmetrische Bilinearform. BA = 0 hat, dann gilt Einschub: Quadratische Formen DEFINITION: Eine quadratische Form ist eine Abbildung Q: V K (nicht-linear), die zwei Bedingungen erfüllt: 1. Q ax = a 2 Q X a K, X V 2. X Y = Q X + Y Q X Q(Y) Wenn die Charakteristik von K nicht 2 ist, ist reicht diese Geometrie völlig aus, weil die symmetrischen Bilinearformen in eindeutiger Beziehung zu den quadratischen Formen stehen und man einfach sagen kann, dass X 2 die quadratische Form ist, die zu unserer Bilinearform gehört. Wenn K allerdings die Charakteristik 2 hat, dann sind die symmetrischen Bilinearformen nicht allgemein genug. In diesem Fall beginnt man mit einer beliebigen quadratischen Form Q(X) und definiert die Bilinearform durch Da wegen X Y = XY = Q X + Y Q X Q Y X X = X 2 = Q X + X Q X Q X = Q 2X 2Q X = 2 2 Q X 2Q(X) = 2Q(X) X X = 2Q(X) gilt, wird klar, dass X X = X 2 =

6 gilt (Charakteristik von K ist 2). Die eigentliche Bilinearform ist dann symplektisch, denn wenn die Charakteristik 2 ist, dann gibt es keinen Unterschied zwischen und V hat also eine Symplektische Geometrie, die durch eine Quadratische Form ergänzt wird und sich auf sie durch bezieht. Ist die Charakteristik ungleich 2, so gilt X + Y 2 = X 2 + 2XY + Y 2, ist sie gleich 2, so gilt Q(X + Y) = Q X + Q(Y) (z.b. Satz des Pythagoras in der euklidischen Ebene: X + Y 2 = X 2 + Y 2, weil Katheten X und Y orthogonal sind) 2 GEMEINSAME EIGENSCHAFTEN VON ORTHOGONALEN UND SYMPLEKTISCHEN GEOMETRIEN 2.1 ORTOGONALE UNTERRÄUME UND RADIKAL In diesem Abschnitt werden wir sowohl orthogonale als auch symplektische Geometrien untersuchen. In beiden Fällen ist die Orthogonalität von Vektoren oder Untervektorräumen eindeutig definiert. Ist U ein Unterraum von V, dann hat der orthogonale Unterraum U eine eindeutige Bedeutung: U A V AB = 0 B U} Die zwei Kerne der Bilinearform sind gleich, sie sind der Raum V. ker = A V AB = 0 B V} = V DEFINITION 3.4: V heißt Radikal von V und wird mit rad V bezeichnet. Wenn U ein Unterraum von V ist, dann ist die Bilinearform auf U eingeschränkt vom gleichen Typ wie sie auch als Bilinearform von V ist orthogonal oder symplektisch. U selbst hat ein Radikal, welches aus den Vektoren von U besteht, die auch in U sind. Mit anderen Worten: rad U = U U = A U AB = 0 B U}, U V DEFINITION 3.5: Ist V die direkte Summe V = U 1 U 2 U 3 U r von Unterräumen (d.h. jedes A V lässt sich eindeutig als Summe von A i U 1 6

7 schreiben), die gegenseitig orthogonal zueinander sind, dann nennt man V die orthogonale Summe der U i und benutzt das Symbol V = U 1 U 2 U 3 U r Sei V ein Vektorraum, welcher die direkte Summe von Unterräumen U i ist. Es sei eine geometrische Struktur auf jedem Unterraum gegeben. Dann gibt es einen eindeutigen Weg, diese Strukturen zu einer von V zu erweitern, so dass V zu einer orthogonale Summe der U i wird. Seien X = n A i i=1 n, Y = B i i=1 Vektoren von V und A i, B i U i, dann muss man offensichtlich definieren: XY = A 1 B 1 + A 2 B A r B r definiert eine Bilinearform auf V und V hat eine symplektische bzw. orthogonale Geometrie, wenn alle Geometrien in den U i symplektisch bzw. orthogonal sind. Die Geometrie von V induziert auf jedem U i seine ursprüngliche Geometrie und U i und U j sind orthogonal für i j. Sei V = U 1 + U 2 + U U r, U i orthogonal zu U j für i j, aber sei die Summe nicht direkt. Sei außerdem X = n A i i=1, A i U i und nimm an, dass X rad V = C V CD = 0 D V}, also XC = 0 C V, insbesondere also XB i = 0 B i U i, dann ist entweder A i B i = 0 bzw. A i rad U i : A 1 + A A i + + A r B i = A 1 B i + A 2 B i + + A i B i + A r B i = A i B i = 0 Umgekehrt: Wenn jedes A i rad U i ist, dann ist X rad V. In anderen Worten: Wenn die U i gegenseitig orthogonal zueinander sind, dann ist rad V = rad U 1 + rad U rad U r

8 2.2 NICHT-SINGULÄRE UNTERRÄUME (Ein Vektorraum V ist nicht-singulär, falls rad V = 0.) Sollte jeder Unterraum U i im obigen Fall nicht-singulär sein, dann folgt sofort, dass rad V = 0 und V nicht-singulär ist. In diesem Fall ist die Summe doch direkt: In der Tat können wir annehmen: Falls X = n A i i=1 = 0 (damit ist X rad V, da X der Nullvektor ist) erhalten wir, dass A i B i = 0 für jedes beliebige B i U i. Deshalb sind alle A i rad U i = 0. Wenn jedes U i nicht-singulär ist, können wir deswegen schreiben. Betrachte nun den Unterraum rad V von V und sei U ein rad V zu V ergänzender Untervektorraum (komplementärer Unterraum), also V = rad V U; rad V ist orthogonal zu V und deswegen auch zu U und wir bekommen Wir folgern V = rad V U rad V = rad rad V rad U = rad V rad U Weil die letzte Summe direkt ist, muss rad U = 0. U ist deswegen nicht-singulär. Bemerkung: Die Geometrie auf V induziert im Allgemeinen keine Geometrie auf einem Quotientenraum. Allerdings tut sie dies für den Quotientenraum V rad V. Auf natürliche Art und Weise wird definiert: XY = X + rad V Y + rad V ISOMETRIEN (Eine Isometrie ist ein Isomorphismus, der der die geometrische Struktur bzw. Metrik erhält.) 8

9 SATZ 3.3: Jeder Raum U, der rad V zu V ergänzt, hat eine orthogonale Aufteilung zur Folge. U ist nicht-singulär und kanonisch isometrisch zu V rad V. DEFINITION (UND SATZ) 3.6: Sei V = U 1 U 2 U 3 U r, V = U 1 U 2 U 3 U r orthogonale Zerlegung zweier Vektorräume V und V und nimm an, dass es eine Isometrie σ i von U i nach U i gibt für alle i. Wenn X = r A i i=1, A i U i ein Vektor von V ist, dann kann man eine Abbildung σ: V V durch σx = σ 1 A 1 + σ 2 A σ r A r definieren, die eine Isometrie ist und mit σ = σ 1 σ 2 σ r bezeichnet werden soll. Wir nennen dies die orthogonale Summe der Abbildungen σ i. Beweis: metrik-erhaltend Zu zeigen XY = σ X σ Y Linke Seite: XY = n A i n i=1 j =1 B j = i,j =1 A i B j n Rechte Seite: σ X σ Y = n n n i=1 σ i A i j =1 σ j B j = i,j =1 σ i A i σ j B j = i,j =1 A i B j n zur Isomorphie: injektiv Sei σ X = 0. Zu zeigen X = 0 σ X = σ A 1 + A A r = σ 1 A σ r A r = 0 Weil die U i senkrecht sind (Voraussetzung.: V = U 1 U 2 U 3 U r), muss jeder Summand 0 sein die σ i sind injektiv A i = 0 i X = 0. 9

10 surjektiv V X σ 1 A σ r A r = σ A 1 + A A r dann ist A 1 + A A r = X. SATZ 3.4: Sei V = U 1 U 2 U 3 U r und jedes σ i eine Isometrie von U i nach U i. Dann ist die orthogonale Summe σ = σ 1 σ 2 σ r eine Isometrie von V nach V und man erhält: det σ = det σ 1 det σ 2 det σ r Ist τ = τ 1 τ 2 τ r, wobei τ i ebenfalls Isometrien von U i nach U i sind, so gilt: στ = σ 1 τ 1 σ 2 τ 2 σ r τ r Beweis: σ = σ 1 mit den Blöcken, die berücksichtigen, dass die σ i auf den U i σ r operieren. Dann ist nach LinA 1: det σ = det σ 1 det σ 2 det σ r Sei X = A 1 + A A r. Dann ist σ τ X = σ τ A 1 + A A r = σ τ 1 (A 1 ) + τ 2 (A 2 ) + + τ r (A r ) = σ 1 τ 1 A 1 + σ 2 τ 2 A σ r τ r A r SATZ 3.5: Sei V ein nicht-singulärer Vektorraum, sprich rad V = 0, und sei U irgendein Unterraum von V. Dann gilt immer: dim U + dim U = dim V, U = U rad U = rad U = U U Der Unterraum U ist nicht-singulär U ist nicht-singulär. Ist U nicht-singulär, dann gilt: V = U U Wenn V = U W, dann sind U und W nicht-singulär und W = U. Beweis: 10

11 Da der Kern der Bilinearform 0 ist, folgt aus der allgemeinen Theorie der Bilinearformen und implizieren : U U Dann gelten: rad U = U U = U U und rad U = U U Wenn U nicht-singulär ist, dann zeigt 3. 34, dass U nicht-singulär ist und dass die Summe U + U direkt ist, da der Schnitt leer ist. Weil die Dimensionen gleich sind, erhält man Ist V = U W, dann ist W U und dim W = dim V dim U = dim U ; deswegen ist W = U und rad U = U U = ISOTROPE VEKTORRÄUME DEFINITION 3.7: Ein Vektorraum heißt isotrop, falls alle Produkte zwischen zwei Vektoren 0 sind. Der Null-Vektorraum und das Radikal eines Vektorraums sind Beispiele für isotrope Vektorräume. Ein Vektor A heißt isotrop, falls A 2 = 0. In einer Symplektischen Geometrie ist jeder Vektor isotrop. SATZ 3.6: Sei V ein Vektorraum mit einer Orthogonalen Geometrie und nimm an, dass jeder Vektor von V isotrop ist. Dann ist V isotrop. Beweis: Unter unserer Annahme ist die Geometrie orthogonal und symplektisch. Es gilt deswegen: XY = YX = YX Das impliziert, dass XY = 0, da wir annehmen, dass in einer Orthogonalen Geometrie die Charakteristik des Körpers nicht 2 ist. Der folgende Spezialfall spielt eine besondere Rolle in der allgemeinen Theorie (Motivation für den nächsten Unterabschnitt): Wir nehmen an: dim V = 2 V nicht-singulär (sprich rad V = 0) 11

12 N V wobei N 0 isotrop (sprich N 2 = 0) Wenn A irgendein Vektor ist, der nicht im von N aufgespannten Unterraum < N >, dann wird V von A und N aufgespannt und es gilt: V = < N, A >. Wir versuchen nun einen anderen isotropen Vektor M zu bestimmen, so dass gilt: NM = 1 und M 2 = 0 (für die Isotropie). Setze M = xn + ya (x, y K), dann ist NM = yna, denn: NM = N xn + ya = xn 2 + yna = 0 + yna = yna Wäre NA = 0, dann wäre N rad V. Dies ist aber ein Widerspruch, denn wir haben angenommen, dass V nicht-singulär ist. Deswegen ist NA 0 und wir können y eindeutig bestimmen, so dass NM = 1 ist. Im symplektischen Fall gilt M 2 = 0 automatisch, so dass jedes x möglich ist. Hat V eine Orthogonale Geometrie, muss x bestimmt werden: Da: M 2 = xn + ya 2 = x 2 N 2 + 2xyNA + y 2 A 2 = 2xyNA + y 2 A 2 folgt: M 2 = 0 2xyNA + y 2 A 2 = 0 bzw.: M 2 = 0 x = y2 A 2 2yNA Diese eindeutige Bestimmung von x ist möglich, da 2yNA 0. Wir haben nun also für beide Geometrien V = < N, M > N 2 = M 2 = 0 NM = 1 Andersherum: Wenn V = < N, M > eine Ebene ist, können wir auf ihr eine Geometrie einrichten, die durch die Bilinearform mit Gram scher Matrix G gegeben ist, für die gilt: 12

13 g 11 = g 22 = 0 g 12 = 1 g 21 = 1 im orthogonalen Fall und g 21 = 1 im symplektischen Fall (zur Erinnerung: NM = MN bei orthogonaler, NM = MN bei symplektischer Geometrie. Dann gilt auf jeden Fall N 2 = M 2 = 0 und NM = 1 sowie G orthogonal = bzw. G symplektisch = Betrachte nun einen Vektor X V, dann lässt sich X schreiben als X = xn + ym (x, y K). Ist X rad V, dann ist: XM = 0 und XM = xn + ym M = xnm + ym 2 = x. Also ist dann x = 0. NX = 0 und NX = N xn + ym = xn 2 + ymn = y. Also ist dann y = 0. Daraus folgt, dass V nicht-singulär ist, da nur X = 0N + 0M = 0 rad V ist. Nimm nun an, dass V = < N, M > eine orthogonale Geometrie hat. X = xn + ymist isotrop, wenn X 2 = 2xy = 0, da X 2 = xn + ym 2 = x 2 N 2 + 2xyNM + y 2 M 2 = 2xy. Daraus lässt sich folgern: y = 0, dann ist X = xn oder aber x = 0, dann ist X = ym 2.5 HYPERBOLISCHE EBENEN UND RÄUME DEFINITION 3.7: Eine nicht-singuläre Ebene, die einen isotropen Vektor enthält, heißt hyperbolische Ebene. Sie kann immer durch ein Paar von Vektoren N, M aufgespannt werden, für die gilt: N 2 = M 2 = 0, NM = 1 Man nennt ein solches geordnetes Paar N, M hyperbolisches Paar. Wenn V eine nicht-singuläre Ebene mit einer Orthogonalen Geometrie ist und N 0 ein isotroper Vektor von V, dann gibt es genau ein M in V, so dass N, M ein hyperbolisches Paar ist. Die Vektoren xn und ym sind die einzigen isotropen Vektoren von V. DEFINITION 3.9: Eine orthogonale Summe von hyperbolischen Ebenen P 1, P 2, P 3,, P r heißt hyperbolischer Raum: H 2r = P 1 P 2 P r.er ist nicht-singulär und hat die 13

14 Dimension 2r. Man nennt einen Raum irreduzibel, wenn er nicht als orthogonale Summe von geeigneten Unterräumen geschrieben werden kann. Wegen ("V = rad V U") können wir sehen, dass ein irreduzibler Raum notwendigerweise entweder nicht-singulär (dann ist rad V = 0, und dann ist V = U) oder isotrop sein muss (dann ist rad V = V). Ist er isotrop, dann ist seine Dimension 1 da jede direkte Zerlegung eines isotropen Raumes auch eine orthogonale Zerlegung ist. Um den nicht-singulären Fall zu diskutieren, unterscheiden wir zwei Fälle: 1) Orthogonale Geometrie: Wegen Satz 3.6 muss V einen nicht-isotropen Vektor A enthalten. Der von A aufgespannte Unterraum U =< A > ist nicht-singulär und zeigt, dass U = 0 und dim V = 1. 2) Symplektische Geometrie: Sei N 0 ein beliebiger Vektor von V. Weil rad V = 0, gibt es ein A V, so dass NA 0. Die Ebene U = < N, A > ist nicht-singulär und zeigt wieder, dass U = 0 und V = U. SATZ 3.7: Ein Raum mit einer Orthogonalen Geometrie ist eine orthogonale Summe der Geraden: V =< A 1 > < A 2 > < A n > Die A i werden orthogonale Basis von V genannt. V ist nicht-singulär kein A i ist isotrop. Ein nicht-singulärer symplektischer Raum ist eine orthogonale Summe von hyperbolischen Ebenen, mit anderen Worten ist er ein hyperbolischer Raum. Seine Dimension ist immer gerade. 2.6 FORTSETZUNGEN VON ISOMETRIEN UND DER SATZ VON WITT SATZ 3.8: V nicht-singulär, U ein Unterraum von V U = rad U W N 1, N 2,, N r sei eine Basis von rad U 14

15 1) Wir können Vektoren M 1, M 2,, M r V finden, so dass N i, M i ein hyperbolisches Paar ist und die hyperbolischen Ebenen P i =< N i, M i > sind orthogonal zueinander und orthogonal zu W. V enthält deswegen einen nicht-singulären Raum U = P 1 P 2 P r W welcher wiederum U enthält. 2) Sei σ: U V mit V nicht-singulär. Dann können wir σ zu einer Isometrie σ: U V fortsetzen. Beweis: zu 1) IND.-ANF.: Für r = 0 klar. Sei U 0 < N 1, N 2,, N r 1 > W. U 0 N r aber N r U 0 N r U 0 und N r rad U 0 = rad U 0 = < N 1, N 2,, N r 1 > N r rad U 0 A U 0 mit N r A 0 die Ebene < N r, A > ist nicht-singulär und < N r, A > U 0 N r, M r lässt sich finden, also ex. hyperbolische Ebenen P r =< N r, M r > da P r U 0 U 0 P r U 0 P r (nicht-singulär) dim rad U 0 = r 1 Induktion: U 1 = < N 1, N 2,, N r 2 > W P r 1 =< N r 1, M r 1 > U 0 P r W = U 1 P r 1 P r W U 1 P r 1 P r W = U 2 P r 2 P r 1 P r W U U r = P 1 P 2 P r W zu 2) Da σ Isometrie, wird die geometrische Struktur, die es zulässt, U zu U zu konstruieren, nach V vererbt. Dort ist dann auch, wie oben, die Konstruktion von U möglich. Die Isometrie σ bildet N i und M i entsprechend auf die N i und M i ab. 15

16 SATZ 3.9: (Satz von Witt) V, V nicht singuläre Vektorräume U ein Unterraum von V ρ: V V eine Isometrie σ: U V eine Isometrie Dann kann σ zu einer Isometrie von V nach V fortgesetzt werden. Beweis: 1. Betrachte nur nicht-singuläre Unterräume, denn nach Satz 3.8 lässt sich aus jedem U ein U konstruieren, welches nicht singulär ist und es ein σ gibt, so dass U und V isometrisch sind. 2. Symplektische Geometrie: Da V nicht-singulär ist, lässt sich Vschreiben als V = U U. Da rad U = 0 folgt rad U = 0, deswegen V = U U. 16

17 Bleibt zu zeigen: Es gibt Isometrie zwischen U und U. Da es Isometrie ρ zwischen V und V gibt, gilt: dim V = dim V dim U + dim U = dim U + dim U Es Isometrie σ zwischen U und U gibt, gilt: dim U = dim U dim U = dim U noch zu zeigen: U, U sind nicht-singulär. Annahme: Sie sind es. Dann gilt: rad U 0 rad U. Daraus folgt: rad V 0. Widerspruch! U, U sind also nicht-singulär, außerdem symplektische Geometrie, nach Satz 3.7 lassen sich die Räume also in hyperbolische Räume umwandeln: A lso ist die gesuchte Isometrie σ. 3. Orthogonale Geometrie Annahme: Satz gilt für Unterräume mit kleinerer Dimension als die von U, d.h. man kann σ: U U kl. V fortsetzen. Nimm an: U = U 1 U 2 und U 1, U 2 sind echte Unterräume von U. Sei U 1 σ(u 1 ) und τ: U 1 U 1, d.h. τ σ U1. Dann kann τ: V V nach Annahme fortgesetzt werden, da U 1 kleinere Dimension hat als U. Der Raum U 1 wird dabei genauso in den Raum U 1 abgebildet. Das bedeutet, dass U 1 und U 1 isometrisch sind. 17

18 σ bildet U 2 (orthogonal zu U 1 nach Zerlegung) nach U 1 ab (beachte dabei σ(u 2 ) U 1 ). Dann kann diese Abbildung wieder fortgesetzt werden, da dim U 2 < dim U. Wir nennen diese Fortsetzung λ: U 1 U 1. Die gesuchte Gesamtfortsetzung ist dann τ λ. 4. Bleibt der Fall, dass U nicht-singulär und irreduzibel ist, d.h. es ist keine orthogonale Zerlegung möglich. Sei dementsprechend U =< A > eine Gerade und A 2 0, da U nicht-singulär ist. Sei C = σ A, dann gilt C 2 = A 2, da σ Isometrie ist und die Länge erhalten bleibt. Wir erinnern uns: Es gibt Isometrie ρ: V V. Dann! B V ρ B = C. Wir wollen A 2 = B 2. Wenn wir eine Isometrie τ von V nach V finden, die A nach B abbildet, dann ist ρ τ die gesuchte Isometrie V V, die A nach C abbildet. Konstruktion von τ: Da A 2 = B 2 gelten soll, gilt: A 2 B 2 = 0 = A + B (A B), d.h. (A + B) und (A B) sind orthogonal. Sie können nicht beide isotrop sein, denn: 2A = A + B + (A B) ist nicht isotrop. Sei o.b.d.a. A B der nicht-isotrope Vektor. Da A + B und A B orthogonal zueinander sind, gehört A + B zu der Hyperebene H =< A B >. Dann ist < A B > < A B > = V 18

19 Sei v V und Dann ist: μ v = Addiert man beide Gleichungen erhält man: v, falls v < A B > v, falls v < A B > μ A + B = A + B, μ A B = A + B μ A + B + μ A B = A + B A + B 2μ A = 2B μ A = B Ist A + B der isotrope Vektor, dann μ A = B. Nimm Abbildung ν: V V, X X(offensichtlich eine Isometrie) und ν μ A = B (fertig.) DEFINITION: Ein isotroper Untervektorraum U heißt maximal isotrop, wenn U kein echter Unterraum eines anderen isotropen Untervektorraums von V ist. SATZ 3.10: Alle maximalen isotropen Unterräume von einem nicht-singulären Raum V haben dieselbe Dimension r. r heißt Index von V. Beweis: Seien U 1, U 2 maximal isotrope Unterräume mit dim U 1 dim U 2. Dann können wir eine injektive lineare Abbildung von U 1 nach U 2 finden. Da U 1, U 2 beide isotrop sind, dann gibt es eine Isometrie zwischen beiden. Wegen Satz von Witt folgt, dass diese Isometrie zu einer Isometrie σ: V V fortgesetzt werden kann. σ U 1 U 2 und deswegen U 1 σ 1 U 2. Der Raum σ 1 U 2 ist wieder isotrop. Da U 1 aber maximal isotrop ist, folgt U 1 = σ 1 U 2. Dies zeigt, dass dim U 1 = dim U 2. SATZ 3.11: Die Dimension eines maximal Hyperbolischen Unterraums ist 2r, wobei r der Index von V ist. KOROLLAR: (Kürzungssatz von Witt) V und V isometrisch V ist nicht-singulär U ein Unterraum von V U und U V isometrisch 19

20 Dann folgt: U und U isometrisch. Beweis: Die Isometrie von U nach U lässt sich nach Satz von Witt fortsetzen zu einer Isometrie von V nach V. Diese Isometrie bildet auch von U nach U ab. KOROLLAR (SATZ 3.12): V ist nicht-singulär. U 1, U 2 isometrische Unterräume von V U 1, U 2 sind isometrisch. Beweis: Es gibt Isometrie von V V, nämlich id. Sei σ: V V die Isometrie zwischen U 1 und U 2 fortgesetzt. Deswegen bildet σ auch U 1 nach U 2 ab. 2.7 DREHUNGEN UND SPIEGELUNGEN SATZ 3.13: Sei V = < N 1, M 1 > < N 2, M 2 > < N r, M r > ein hyperbolischer Raum und σ: V V Isometrie wobei σ N i = N i für alle N i. Dann ist σ eine Rotation und es gilt: σ N i = N i, σ M i = N ν a νi + M i r ν=1 Die Matrix (a ij ) ist symmetrisch, wenn die Geometrie symplektisch ist und schiefsymmetrisch, wenn sie orthogonal ist. Beweis: (für den Spezialfall r = 1) Dann ist B = {N, M} die Basis von V. σ N = N σ M = an + bm Da V hyperbolischer Raum, gilt: 0 = σ M 2 = a 2 N 2 + 2abNM + b 2 M 2 = 2ab 1 = σ M σ N = an + bm N = b Aus b = 1 folgt: a = 0. 20

21 Daher ist σ M = M und die Matrix a ij = Für den allgemeinen Fall genauso, Matrix A hat dann die Form: , det a ij = 1, daher Rotation X 1 und det A = 1, daher Rotation. BEZEICHNUNG: Die Abbildung id: V V, X X wird mit 1 bezeichnet. Die Abbildung σ: V V, X X wird mit 1 bezeichnet. DEFINITION: Eine Isometrie σ eines nicht-singulären Raum V heißt Involution, wenn σ 2 = 1. SATZ 3.14: Wenn char(k) 2, dann ist jede Involution von der Form 1 U 1 W. Beweis: Nimm an dass σ 2 = 1. Dann gilt: XY = σ X σ(y) [Isometrieeigenschaft] und σ X Y = σ 2 X σ Y = 1 X = X σ(y) Daraus folgt: σ X X σ Y + Y = σ X σ Y + σ X Y Xσ Y XY = 0 Deswegen sind U = σ V V und W = σ V + V orthogonal zueinander. Ein Vektor σ X X aus U wird auf seinen Gegenvektor abgebildet, ein Vektor + σ X + X wird auf sich selbst abgebildet. Daraus folgt, dass U W = 0. Weil jeder Vektor X geschrieben werden kann als X = 1 2 σ X X σ(x + X) gilt: V = U W und σ = 1 U 1 W. DEFINITION 3.10: Sei char(k) 2. Wenn σ = 1 U 1 W und p = dim U ist, dann nennen wir p den Typ der Involution σ. Es gilt dann det σ = 1 p. Weil U nicht-singulär sein muss, ist der Typ p eine gerade Zahl, wenn V symplektisch ist. Wenn V orthogonal ist, dann kann p irgendeine Zahl n = dim V sein. Eine Involution vom Typ p = 1 wird Symmetrie in Bezug zur Hyperebene W genannt (Spiegelung). Eine Involution des Typs 2 ist eine 180 Rotation (Drehung). 21

22 Der Grund für die Benennung Symmetrie sollte klar sein: U =< A > ist eine nicht-singuläre Gerade, U = W eine nicht-singuläre Hyperebene und das Bild eines Vektors xa + B (mit B W) ist xa + B. Der folgende Satz charakterisiert die Isometrien ±1 V. SATZ 3.15: V nicht-singulär σ: V V Isometrie, welche alle Geraden von V festhält Dann σ = ±1 V Beweis: Wenn σ die Gerade < X > festhält, dann σ X = X a und für ein Y < X > haben wir: σ Y = σ Xb = σ X b = X a b = Y a. Dieses a kann immer noch von der Gerade < X > abhängen, wenn σ jeder Gerade von V festhält. Wenn < X > und < Y > verschiedene Geraden sind, dann sind X und Y linear unabhängige Vektoren. Wir haben einerseits σ X + Y = X + Y c und andererseits σ X + Y = σ X + σ Y = X a + Y b Ein Vergleich zeigt: a = c = b und dann gilt: σ X = X a mit demselben a für alle X. Seien X, Y Vektoren, so dass gilt: XY 0, dann XY = σ X σ Y = X a Y a = XY a 2. Daraus folgt: a 2 = 1. Also ist a = ±1. 22