Vektoren, Vektorräume

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1 Vektoren, Vektorräume Roman Wienands Sommersemester 2010 Mathematisches Institut der Universität zu Köln Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 25

2 Skalare und Vektoren In der mathematischen Beschreibung der Naturwissenschaften unterscheiden wir: Größen, die durch eine Maßzahl (und zugehörige Maßeinheit) vollständig bestimmt sind. Derartige Größen bezeichnen wir als Skalare. Beispiele hierfür sind Temperatur, Dichte und Energie. Größen, zu deren vollständiger Darstellung die Angabe einer Richtung im Raum gehört. Derartige Größen bezeichnen wir als Vektoren. Beispiele hierfür sind die Geschwindigkeit eines Massepunktes oder die Kraft, die auf ihn wirkt. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 25

3 Outline 1 Vektoren im Raum 2 Komponenten und Koordinaten 3 Skalarprodukt 4 Vektorprodukt 5 Analytische Geometrie 6 Lineare Räume, Gruppentheorie Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 25

4 Definition: Vektor Eine Verschiebung im dreidimensionalen Raum ist eine Abbildung, die jedem Punkt P des Raumes einen Punkt Q zuordnet, so dass die Verschiebungsstrecken zwischen Urbild- und Bildpunkten parallel und gleich lang sind. Ein Vektor a ist eine Verschiebung des dreidimensionalen Raumes. Ein Vektor a ist eindeutig bestimmt, wenn man den Bildpunkt Q für nur einen Punkt P kennt. Die gerichtete Strecke PQ heißt Repräsentant von a. Die Menge aller Vektoren des dreidimensionalen Raumes bezeichnen wir mit V 3 Analog lassen sich Vektoren im zwei- bzw. höherdimensionalen Raum definieren. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 25

5 Betrag, Einheitsvektoren, Nullvektor Der Abstand zwischen P und Q heißt Betrag oder Länge des Vektors. Wir bezeichnen ihn mit a oder PQ. Zwei Vektoren sind genau dann gleich, wenn zwei ihrer Repräsentanten in Betrag und Richtung übereinstimmen. Vektoren vom Betrag 1 bezeichnet man als Einheitsvektoren. Die Verschiebung, die jeden Punkt in sich selbst überführt heißt Nullvektor 0. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 25

6 Definitionen: Addition, skalare Multiplikation Addition zweier Vektoren: Unter der Summe a + b zweier Vektoren versteht man die Verschiebung, die entsteht, wenn man die Verschiebungen a und b hintereinander ausführt. Skalare Multiplikation eines Vektors: Unter dem Produkt λ a eines Vektors a 0 und einer Zahl λ 0 versteht man den Vektor mit dem Betrag λ a, der zu a gleichgerichtet bzw. entgegengesetzt ist, je nachdem ob λ > 0 oder λ < 0 ist. Für λ = 0 oder a = 0 definieren wir λ a := 0. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 25

7 Eigenschaften eines Vektorraumes Offensichtlich gilt für Vektoren a, b, c V 3 und Skalare λ, µ IR: (V1) a + 0 = 0 + a = a (neutrales Element) (V2) a + ( 1) a = ( 1) a + a = 0 (inverses Element) (V3) a + ( b + c) = ( a + b) + c (Assosiativität) (V4) a + b = b + a (Kommutativität) (V5) Für a, b V 3 gilt a + b V 3. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 25

8 Eigenschaften eines Vektorraumes Weiterhin gilt: (V6) 1 a = a (neutrales Element) (V7) λ (µ a ) = (λ µ) a (Assosiativität) (V8) (λ + µ) a = λ a + µ a (Distributivität) ( (V9) λ a + ) b = λ a + λ b (Distributivität) Da V 3 gemeinsam mit der Addition und der skalaren Multiplikation die Eigenschaften (V1)-(V9) aufweist, nennt man V 3 einen Vektorraum. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 25

9 Outline 1 Vektoren im Raum 2 Komponenten und Koordinaten 3 Skalarprodukt 4 Vektorprodukt 5 Analytische Geometrie 6 Lineare Räume, Gruppentheorie Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 25

10 Einführung eines Koordinatensystems Bisher: Geometrische Definition von Vektoren und Operationen. Einführung eines rechtwinkligen, kartesischen Koordinatensystems mit Einheitsvektoren e x, e y, e z in Richtung der Koordinatenachsen. Repräsentant 0A des Vektors a mit Anfangspunkt im Ursprung läßt sich als Summe von 3 Vektoren schreiben, die parallel zu den Koordinatenachsen sind: 0A = a = a x + a y + a z. a x, a y, a z heißen die Komponenten des Vektors a. Für den Punkt A mit den kartesischen Koordinaten (a x, a y, a z ) ergeben sich die Komponenten von 0A = a zu a i = a i e i (i = x, y, z) und es gilt: a = a x e x + a y e y + a z e z. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 25

11 Outline 1 Vektoren im Raum 2 Komponenten und Koordinaten 3 Skalarprodukt 4 Vektorprodukt 5 Analytische Geometrie 6 Lineare Räume, Gruppentheorie Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 25

12 Definition: Skalarprodukt, Orthogonalität Das Skalarprodukt a b zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren a und b ergibt die reelle Zahl a b := a b cos ( a, b). Ist einer der beiden Vektoren der Nullvektor, dann definieren wir a b := 0. Sind a, b 0, so gilt a b = 0, genau dann, wenn cos ( a, b) = 0, d.h. wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Wir nennen zwei Vektoren a, b (inklusive des Nullvektors) orthogonal zueinander, wenn a b = 0. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 25

13 Eigenschaften des Skalarprodukts Aus der geometrischen Definition des Skalarprodukts ergibt sich für a, b, c V 3 und λ IR: 1 a b = b a (Kommutativität) ( ) 2 a b + c = a b + a c (Linearität) ( 3 a λ ) ( b = λ a b ) 4 a 2 = a a = a 2 bzw. a = a 2 (Linearität) 5 a b a b (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 25

14 Berechnung des Skalarprodukts Den Vektoren a, b V 3 seien die Koordinatentripel (a x, a y, a z ) bzw. (b x, b y, b z ) zugeordnet. Dann lautet das Skalarprodukt in Koordinatendarstellung: a b = a x b x + a y b y + a z b z. Damit ergibt sich für den (kleineren) Winkel zwischen a und b: cos ( a, b) = a b a b = a x b x + a y b y + a z b z a 2 x + a 2 y + a 2 z + b 2 x + b 2 y + b 2 z. Die Aussagen lassen sich ganz analog für zwei- bzw. höherdimensionale Vektorräume formulieren. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 25

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16 Definition: Vektorprodukt Das Vektorprodukt a b zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren a und b ist definiert als der Vektor a b := a b sin ( a, b) n. Hierbei ist n ein Einheitsvektor, so dass { a, b, n} ein Rechtssystem bildet. Ist a oder b der Nullvektor, dann gelte a b := 0. Der Betrag des Vektorprodukts ist gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Vektoren a und b aufgespannt wird. Aus obiger Definition ergibt sich: Für a 0 und b 0 gilt a b = 0 genau dann, wenn die Vektoren a und b parallel oder antiparallel sind. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 25