Vektorprodukt. Satz: Für a, b, c V 3 und λ IR gilt: = a b + a c (Linearität) (Linearität) b = λ

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1 Vektorprodukt Satz: Für a, b, c V 3 und λ IR gilt: 1 a b = b a (Anti-Kommutativität) ( ) 2 a b + c ( 3 a λ ) b = λ = a b + a c (Linearität) ( a ) b (Linearität) Satz: Die Koordinatendarstellung des Vektorprodukts lautet: a b = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) e x + (a 3 b 1 a 1 b 3 ) e y + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) e z. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 30

2 Vektorprodukt und Determinanten Eine zweireihige Determinante D ist definiert als D := a 1 b 1 a 2 b 2 := a 1b 2 a 2 b 1. Das Vektorprodukt läßt sich somit folgendermaßen darstellen: a b = a 2 b 2 a 3 b 3 e x + a 3 b 3 a 1 b 1 e y + a 1 b 1 a 2 b 2 e z. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 30

3 Anwendung: Drehmoment und Drehimpuls Drehmoment: Ein starrer Körper werde im Ursprung 0 gehalten, wobei im Punkt P die Kraft K angreife. Es sei r = 0P und ϕ = ( r, K ). Gemäß dem Hebelgesetz entsteht ein Drehmoment M senkrecht zur von den Vektoren r und K aufgespannten Ebene mit M = r K und M = r K sin ϕ. Drehimpuls: Ein Teilchen mit der Masse m bewege sich mit der Geschwindigkeit v. Am Punkt P mit r = 0P hat das Teilchen bzgl. des Ursprungs 0 den Drehimpuls: l := r p = m r v, wobei p = m v den Impuls des Teilchens bezeichnet. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 30

4 Outline 1 Vektoren im Raum 2 Komponenten und Koordinaten 3 Skalarprodukt 4 Vektorprodukt 5 Analytische Geometrie 6 Lineare Räume, Gruppentheorie Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 30

5 Analytische Geometrie Darstellung von Geraden, Ebenen, Kreisen, Abständen und Schnittpunkten bzw. Schnittebenen zwischen diesen geometrischen Objekten mit Hilfe der Vektorrechnung. Wir legen ein kartesisches Koordinatensystem mit Ursprung 0 zugrunde. Ein Punkt P ist durch seinen Ortsvektor 0P charakterisiert. Für einen variablen Punkt X bzw. einen fest gewählten Punkt P bezeichnen 0X = r = x y z die zugehörigen Ortsvektoren. bzw. 0P = r 0 = x 0 y 0 z 0 Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 30

6 Geraden Geradengleichung: Die Gerade g verlaufe durch den Punkt P in Richtung des Vektors a. Die Geradengleichung ergibt sich dann zu ( r r 0 ) a = 0. Parameterform der Geradengleichung: r = r 0 + λ a mit λ IR. Der minimale Abstand d eines Punktes Q mit Ortsvektor 0Q = q zu einer Geraden g ergibt sich zu: a ( ) q r 0 d = a. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 30

7 Ebenen Normalform: Eine Ebene E ist bestimmt durch einen Punkt P in a der Ebene und einen Normalenvektor n = b 0, der c ( ) senkrecht auf E steht: r r 0 n = 0. Koordinatenform: ax + by + cz = ax 0 + by 0 + cz 0 =: d. Hessesche Normalform: Ersetzung des Normalenvektors n durch einen parallelen Einheitsvektor e n liefert: r e n p = 0 mit p = r 0 e n. Parameterdarstellung: Zwei nichtparallele Vektoren a und b in der Ebene E spannen diese Ebene auf: r = r 0 + λ a + µ b mit λ, µ IR. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 30

8 Schnittpunkte, Schnittgeraden Gerade mit Gerade: r 0 + λ 0 a 0! = r 1 + λ 1 a 1 mit λ 1, λ 2 IR. 3 Gleichungen mit 2 Unbekannten λ 0, λ 1 ; Geraden können windschief sein. Gerade mit Ebene: r 0 + λ 0 a 0! = r 1 + λ 1 a 1 + µ 1 b1 mit λ 0, λ 1, µ 1 IR. 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten λ 0, λ 1, µ 1. Ebene mit Ebene: r 0 + λ 0 a 0 + µ 0 b0! = r 1 + λ 1 a 1 + µ 1 b1 mit λ 0, λ 1, µ 0, µ 1 IR. 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten λ 0, λ 1, µ 0, µ 1. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 30

9 Beispiel: Geraden Gesucht ist die Gerade g durch die Punkte P 0 = (1, 0, 1) und P 1 = (0, 1, 1). Es gilt a = 1 P 0 P 1 = r 1 r 0 = 1. 0 Damit ergibt sich die Geradengleichung zu ( ) x 1 1 z r r 0 a = y 0 1 = z + 1 = 0 z 1 0 x + y 1 0 bzw. die Parameterform der Geraden λ x r = r 0 + λ a = 0 + λ 1 = λ = y (λ IR) z Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 30

10 Beispiel: Geraden Man beachte: Eliminiert man in der Parameterform der Geraden den Parameter λ durch Addieren der ersten und zweiten Komponente, dann ergeben sich (gemeinsam mit der dritten Komponente) die beiden Gleichungen x + y = 1 und z = 1 und damit dieselben beiden Beziehungen wie in der Geradengleichung darüber. Der minimale Abstand des Punktes Q = (1, 1, 0) von g berechnet sich mit Hilfe von P 0 Q = q r 0 = 1 0 = 1 und a ( ) 1 q r 0 = zu d = a ( ) q r 0 a = 3 2. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 30

11 Beispiel: Ebene Gesucht ist die Ebene E durch die Punkte Q = (1, 1, 0), P 0 = (1, 0, 1) und P 1 = (0, 1, 1), vgl. obiges Beispiel. Parameterdarstellung der Ebene: a = 1 P 0 P 1 = 1, r = 0 + λ 1 + µ b = P0 Q = = q r 0 x = y (λ, µ IR). z Koordinatenform der Ebene: n = a b = 1, d = r 0 n = 0 1 = und damit x + y + z = 2. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 30

12 Beispiel: Ebene Hessesche Normalform: Verwende e n = r e n r 0 e n = x 3 + y 3 + z = 0. Der minimale Abstand des Punktes R = (1, 1, 1) zur Ebene E berechnet sich zu h = = Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 30

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