5 Geraden im R Die Geradengleichung. Übungsmaterial 1

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Holger Holzmann
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1 Übungsmaterial 5 Geraden im R 5. Die Geradengleichung Eine Gerade ist eindeutig festgelegt durch zwei Punkte oder durch einen Punkt und eine Richtung. Beispiel: Die Gerade g durch die Punkte A(-//) und B(/7/-) ist gegeben durch die Gerade durch den Punkt A mit Richtungsvektor AB. Die Geradengleichung lautet g : Man nennt X = A + λ AB = X = A + λ u + λ Punktrichtungsform oder Parametergleichung einer Geraden im Raum. Dabei ist A der Ortsvektor zum Antragspunkt (auch: Aufpunkt) A und u der Richtungsvektor. Beispiel Liegen die Punkte C(-/-5/) und D(//-) auf der Geraden g durch A(-//) und B(/7/-)? Es ist g : X = + λ (siehe oben). C = =? + λ Wir erhalten in jeder Zeile λ = ; C liegt also auf g. D = =? + λ Wir erhalten in der ersten und dritten Zeile λ =, in der zweiten jedoch λ =. D liegt also nicht auf g.

2 Übungsmaterial Spezielle Geraden im Raum Wir können einige spezielle Geraden im Raum nun auch mithilfe ihrer Geradengleichung darstellen: Ursprungsgerade: X = λ v hat Antragspunkt und geht damit durch den Ursprung. Koordinatenachsen: x : X = λ x : X = λ x : X = λ Raumdiagonale: d : X = λ 5. Die Lage zweier Geraden im Raum Zwei Geraden g und h können wie folgt im Raum liegen: a) parallel Die beiden Richtungsvektoren sind parallel, d.h. der eine ist ein Vielfaches des anderen. b) identisch Die Geraden sind parallel und der Anfangspunkt der einen Geraden ist Element der anderen. c) sie schneiden sich Gleichsetzen liefert einen Schnittpunkt d) windschief (siehe Abbildung ) Gleichsetzen liefert keine Lösung x h x g x Abbildung : Windschiefe Geraden

3 Übungsmaterial Vorgehen bei der Untersuchung der Lage zweier Geraden Sind die Richtungsvektoren der Geraden parallel? ) Ja. Ist der Aufpunkt der einen Geraden Element der anderen? a) Ja die Geraden sind identisch b) Nein die Geraden sind echt parallel ) Nein. Ergibt das Gleichsetzen der Geraden eine Lösung? a) Ja dies ist der Schnittpunkt der Geraden b) Nein die Geraden sind windschief Beispiel Untersuche die Lage der Geraden g : X = + λ und h : X = + µ 6. Sind die Richtungsvektoren der Geraden parallel? Ja, denn = 6. Ist der Aufpunkt der einen Geraden Element der anderen? Ja, denn = +. Die Geraden sind identisch.

4 Übungsmaterial 5. Parallelenscharen und Geradenbüschel Enthält eine Geradengleichung in den Koordinaten ihrer Anfangs- und Richtungsvektoren zusätzliche Parameter, erhält man entweder eine Parallelenschar oder ein Geradenbüschel: g a : X = a + λ 5 ist eine Parallelenschar: Die Geraden g a sind alle parallel, nur der Anfangspunkt ändert sich. h a : X = a + λ a ist ein Geradenbüschel: Die Geraden h a haben unterschiedliche Richtung, gehen aber alle durch denselben Punkt (//). Beispiel a A(//), B(/ /) g a : X = + λ a) Beschreibung der Schar g a : Es handelt sich um ein Geradenbüschel. Alle Geraden der Schar haben den Punkt (//) gemeinsam. b) Wie muss a gewählt werden, dass g a parallel zu AB ist? Es ist a AB = 6. Damit dazu parallel ist, muss a = gewählt werden. 5. Aufgabe Gegeben sind die Geraden g : X = + λ 8 und h : X = µ. 6 a) Untersuche die Lage der Geraden g und h und bestimme gegebenenfalls ihren Schnittpunkt.

5 Übungsmaterial 5 b) f a : X = a + τ. Wie muss a gewählt werden, dass f a windschief zu h verläuft? Lösung a) Man sieht sofort, dass g und h nicht parallel sind. Gleichsetzen von g und h führt zu + λ 8 = µ 6 und wir erhalten drei Gleichungen mit zwei Unbekannten (also ein überbestimmtes Gleichungssystem): + λ = µ 8λ = µ 6 λ = µ Aus der ersten und der dritten Zeile folgt 6 λ = + λ 5 = 5λ λ = und daraus µ =. Einen Schnittpunkt erhalten wir, wenn wir λ und µ in die zweite Zeile einsetzen und kein Widerspruch entsteht. In der zweiten Zeile erhalten wir 8 = 6, das ist kein Widerspruch. Die Geraden g und h schneiden sich also in einem Schnittpunkt S. Um die Koordinaten von S zu erhalten, setzen wir entweder λ in g oder µ in h ein. µ eingesetzt in h liefert S = = 6 und wir erhalten als Koordinaten S(/6/). b) f a : X = a + τ, h : X = µ. f a und h sind nicht parallel. Gleichsetzen von f a und h führt zu a + τ = µ

6 Übungsmaterial 6 und wir erhalten wieder drei Gleichungen mit zwei Unbekannten: + τ = µ a + τ = µ τ = µ Aus der ersten und der dritten Zeile folgt + τ = τ τ = τ = und daraus µ =. Damit die Geraden windschief sind, muss die zweite Zeile einen Widerspruch ergeben, wenn wir τ und µ einsetzen. Wir erhalten in der zweiten Zeile a = 6. Dies ist erfüllt für a = 7, für a 7 erhalten wir einen Widerspruch, also windschiefe Geraden. f a und und h verlaufen also windschief für a Aufgabe 7 7 Gegeben sind die beiden Geraden g : X = + λ und g : X = + µ. a) Zeige: g und g sind echt parallel. b) Liegt Q(5/-8/7) auf einer der beiden Geraden? c) Bestimme eine Gleichung der Mittelparallelen von g und g. Lösung a) Die Richtungsvektoren der beiden Geraden sind genau entgegengerichtet, also parallel. Wir prüfen, ob P (//), der Antragspunkt von g, auf g liegt: 7 = + µ Aus der ersten Zeile folgt µ = 7, aus der zweiten Zeile µ =. P liegt also nicht auf g. Die Geraden g und g sind nicht identisch, sondern echt parallel. b) Q liegt auf g, denn 5 7 Q = 8 = +. 7 c) Der Richtungsvektor der gesuchten Mittelparallele ist uns bereits bekannt: Wir können einen der beiden parallelen Richtungsvektoren von g und g wählen. Es fehlt uns also nur noch ein Antragspunkt, den wir M nennen wollen. Wir betrachten hierzu folgende Skizze:

7 Übungsmaterial 7 g m P M g P Der Antragspunkt M der Mittelparallele liegt auf halber Strecke zwischen den Antragspunkten P (//) und P (/ /) der Geraden g und g. Es ist also M = P + P P = +, 5 =, 5 und die Mittelparallele m ist, 5 7 m : X =, 5 + ν.

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