Schnitt zweier Ebenen

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Maike Huber
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1 Schnitt zweier Ebenen. Gegeben sind die beiden Ebenen: E : ( 3 4 x = E : ( 3 x 6 = Bestimme die Schnittgerade. Der Richtungsvektor der Schnittgeraden zweier Ebenen steht senkrecht auf den Normalenvektoren beider Ebenen. Ein Richtungsvektor ergibt sich daher aus dem Vektorprodukt der beiden Normalenvektoren. 3 4 = 4 = n n Ein Stützvektor genügen: x y z müsste beiden Ebenengleichungen 3 4 x y = z x y 6 = 3 z Hierbei kann eine Koordinate z.b. z = vorgegeben werden, x und y sind dann auszurechnen. 3x 4y = x + y = 6 x = y = Insgesamt erhalten wir die Gleichung der Schnittgeraden: g: x = + λ( 7 3. Bestimme die Schnittgerade. ( a E : x 3 = E : b E : ( x 3 = E : ( ( x 4 = x = c Roolfs

2 Schnitt zweier Ebenen. Bestimme die Schnittgerade. a E : ( x 3 = E : Lösung: g: x = + λ 3 ( x 4 = b E : ( x 3 = E : g: x = + λ ( x = 3. Alternativ zum obigen Vorgehen kann auch das Gleichungssystem gelöst werden (z. B. z fest: 3x 4y + z = x + y 3z = 6 ( Lösung: S 3 z z + z 3 z + x = 7 3 z + z = +z = +λ 7 3 c Roolfs

3 Schnittgerade zweier Ebenen mit dem GTR Das unterbestimmte Gleichungssystem, das beim Schnitt von nicht parallelen Ebenen auftritt, kann ohne Mühe mit dem GTR gelöst werden: 3x 4y + z = x + y 3z = 6 Der GTR liefert: Das heißt: x + ( 3 z = y + ( 7 3 z = und damit: x = 3 z + y = 7 3 z + ( Lösung: S 3 z z + z 3 z + x = 7 3 z + z = +z = +λ 7 3 c Roolfs 3

4 Ebenenschar Gegeben ist die Gerade g: x = a+λ u. Wie lautet die Gleichung der Ebenenschar, deren gemeinsame Schnittgerade g ist? g Die Ebenenschar ist von den Parametern k, k abhängig: E k,k : n [ x a] = ( k u 3 mit n = k u 3 k u k u, u = ( u u u 3 n erhalten wir aus der Bedingung n u, d.h. n u =. Die Probe bestätigt die Korrektheit. Ein Beispiel: Sei die Gerade g: x = ( 6 +λ( gegeben. z Die zugehörige Ebenenschar ist dann: E k,k : ( k k [ x ( 6 ] = g oder in Koordinatenform: k x+k y 6k =. Soll als Bedingung die y-achse an der Stelle y = k geschnitten werden, so erhalten wir: E k : kx+6y 6k =. 6 k y Frage: x Sind die Ebenenscharen E k und E k,k identisch? G: x 6 = c Roolfs 4 G E k,k, G / E k

5 Aufgabe Ebenenschar. Gegeben ist die Ebenenschar E t : x +tx +x 3 =, t R Untersuchen Sie, a ob alle Ebenen der Schar eine feste Gerade g gemeinsam haben und geben Sie ggf. die Gleichung dieser Geraden an, b ob es eine Ebene mit größten Abstand vom Koordinatenursprung gibt, c welche Grenzebene sich für t ergibt.

6 Ebenenschar Lösungshinweise. Gegeben ist die Ebenenschar E t : x +tx +x 3 =, t R Untersuchen Sie, a ob alle Ebenen der Schar eine feste Gerade g gemeinsam haben und geben Sie ggf. die Gleichung dieser Geraden an, Die Ebenenschar besitzt eine gemeinsame Schnittgerade, mehrere Begründungen sind möglich (Gleichungssystem, Orthogonalitätsbetrachtung, usw. Eine mögliche Darstellung lautet: g: x = + λ x + t x + x 3 = x + t x + x 3 = Subtraktion und t t führt zu x =. Dann gilt x +x 3 =. x 3 x = = +x 3 x 3 b ob es eine Ebene mit größten Abstand vom Koordinatenursprung gibt, Um den größten Abstand vom Koordinatenursprung zu ermitteln, ist die Normalenform in die HNF zu überführen und das Maximum der Funktion f(t = zu ermitteln. Es liegt an der Stelle t =. t + c welche Grenzebene sich für t ergibt. Division durch t und t führt zu y =, d.h. es ist die xz-ebene. c Roolfs 6

7 Fallschirmsprung Eine Person springt in km Höhe mit einem Fallschirm aus einem Heissluftballon, dessen Flugbahn in der Ebene E: x+y +z = liegt. Auf welcher Geraden g in der xy-ebene befindet sich der Landeplatz? c Roolfs 7

8 Fallschirmsprung Eine Person springt in km Höhe mit einem Fallschirm aus einem Heissluftballon, dessen Flugbahn in der Ebene E: x+y +z = liegt. Auf welcher Geraden g in der xy-ebene befindet sich der Landeplatz? E wird mit der Ebene z = geschnitten: möglich: x = möglich: g: x = +λ, x = +λ, g: x = +λ +λ 8

9 . Ermittle die Schnittgerade der Ebenen E : x+y +z = und E : x y z =.. Gehört die Ebene F: x+y 6z = 8 zur Ebenenschar E a : x+ay (a z = 4? 3. Für welches t ist E t : x+(t 3y +(t+z + = parallel zu einer Koordinatenachse? 4. Gegeben ist die Ebenenschar E a : x+( ay +(a 3z = 3, a R. a Untersuche, ob die Ebene F: x 6y +z = 6 zur Ebenenschar E a gehört. b Weise nach, dass sich E und E schneiden. Bestimme die Gleichung der Schnittgeraden g und zeige, dass diese Schnittgerade in allen Ebenen der Schar liegt (Trägergerade. c Untersuche, ob die Ebene G: y +z = zur Ebenenschar E a gehört und ob G g enthält. 9

10 . Ermittle die Schnittgerade der Ebenen E : x+y +z = und E : x y z =. x = 3 z = 3 +z, = z. Gehört die Ebene F: x+y 6z = 8 zur Ebenenschar E a : x+ay (a z = 4? a =, F = E Gleichung von E a mit multiplizieren und Koeffizienten vergleichen 3. Für welches t ist E t : x+(t 3y +(t+z + = parallel zu einer Koordinatenachse? x-achse nie y-achse für t = 3 z-achse für t = 4. Gegeben ist die Ebenenschar E a : x+( ay +(a 3z = 3, a R. a Untersuche, ob die Ebene F: x 6y +z = 6 zur Ebenenschar E a gehört. F = E 4 b Weise nach, dass sich E und E schneiden. Bestimme die Gleichung der Schnittgeraden g und zeige, dass diese ( 3 Schnittgerade in allen Ebenen der Schar liegt (Trägergerade. g: x = + λ( c Untersuche, ob die Ebene G: y +z = zur Ebenenschar E a gehört und ob G g enthält. G / E a g G

11 Die Trägergerade der Ebenenschar (Ebenenbüschel E a : x+( ay +(a 3z = 3, a R, 3 lautet g: x = +λ. Wie finde ich eine Ebene, die g enthält, jedoch nicht zur Schar E a gehört? g h n a = a 3 + a 3 Die Punkte, die zu den Normalenvektoren als Ortsvektoren gehören, liegen auf der Geraden h. Mit n = erhalten wir die Ebene G: y +z =, (Die Null auf der rechten Seite ergibt sich erst aus der nachstehenden Umformung. von der G / E a und g G nachgewiesen werden kann. Durch Auflösen der Klammern und Ausklammern von a erhalten wir für E a die Darstellung: E a : x+y 3z 3+a( y +z = Für a = ist E unmittelbar zu sehen, sowie g G, beachte g E a, g E. weiteres Beispiel Ebenenbüschel E a : (3 ay +(a z = a Trägergerade g: x = +λ E a : 3y z ++a( y +z =, E : 3y z + = G: y +z =, G / E a, g G

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