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1 Abiturprüfung Mathematik 8 Baden-Württemberg (ohne CAS) Wahlteil Aufgaben Analytische Geometrie II, Aufgabe II. Die Punkte A(//), B(//), C(//), F(//), G(//) und H(//) sind die Ecken eines dreiseitigen Prismas mit Grundfläche ABC. a) Stellen Sie das Prisma in einem Koordinatensystem dar. Bestimmen Sie eine Koordiantengleichung der Ebene E, in der die Fläche BGHC liegt. Unter welchem Winkel schneidet E die x x -Ebene? Berechnen Sie den Abstand des Punktes A von der Geraden CG. (6 VP) b) Im Prisma liegt ein Zylinder mit Radius, und Grundkreismittelpunkt M(/,/,), dessen Achse parallel zur x-achse verläuft. Ermitteln Sie die Abstände des Punktes M von den drei rechteckigen Seitenflächen des Prismas. Berührt der Zylinder alle drei rechteckigen Seitenflächen des Prismas? Ein anderer Zylinder mit Radius r und Grundkreismittelpunkt M*(/r/r), dessen Achse ebenfalls parallel zur x-achse ist, soll alle drei rechteckigen Seitenflächen des Prismas von innen berühren. Bestimmen Sie den Radius r dieses Zylinders. (6 VP) Aufgabe II. Hinweis: ab der Abiturprüfung nicht mehr prüfungsrelevant In einem Viereck ABCD gilt für die Diagonale AC: AC, AB AD. Zeichnen Sie ein solches Viereck ABCD. In welchem Verhältnis wird die Diagonale AC von der anderen Diagonalen geteilt? ( VP) Zuletzt aktualisiert:..

2 Zuletzt aktualisiert:.. Abiturprüfung Mathematik 8 Baden-Württemberg (ohne CAS) Lösungen Wahlteil Analytische Geometrie II, Aufgabe II. a) Aufstellen der Ebenengleichung durch B, C und G: E: s r x mit,s r R Normalenvektor von E mit dem Kreuzprodukt: n n Koordinatengleichung von E: x x Die rechte Seite der Koordinatengleichung erhält man durch Einsetzen eines bekannten Punktes der Ebene, z.b. B(//). Schnittwinkel von E mit der x x Ebene (Koordinatengleichung x ):, 9 6 cos α α

3 Abstand des Punktes A von der Geraden CG: Eine Gleichung der Geraden durch C(//) und G(//) lautet: x r Hilfsebene H durch Punkt A und orthogonal zur Geraden: H: x x x Schnittpunkt S von H und der Gerade: ( r) (r) ( r) 8 r 9r 6 6r r 6 r S(, /,96 /,7) d(a,g) AS (,) (,96) (,7),88, b) Abstand des Punktes M von der Seitenfläche BGHC entspricht Abstand des Punktes M von der Ebene E. x x Hesse sche Normalenform von E:,, d (M,E),7 Abstand des Punktes M von der Seitenfläche ADCH entspricht der x -Koordinate von M, also Abstand,. Abstand des Punktes M von der Seitenfläche ABGF entspricht der x -Koordinate von M, also Abstand,. Der Zylinder berührt nicht alle drei Seitenflächen, da er von der Seitenfläche BGHC den Abstand,7 besitzt, der größer ist als der Radius des Zylinders. Der Abstand des Punktes M*(/r/r) von der Seitenfläche ADCH entspricht der x -Koordinate von M*, also Abstand r. Abstand des Punktes M* von der Seitenfläche ABGF entspricht der x -Koordinate von M, also Abstand r. Damit der Zylinder alle drei Seitenflächen berührt, muss für die dritte Seitenfläche gelten: r r d (M*,E) r Diese Betragsgleichung muss mithilfe einer Fallunterscheidung gelöst werden: 7r.Fall: r r 6 7r.Fall: r r Der gesuchte Radius des Zylinders ist r. Die Lösung r 6 des.falles würde eine Berührung des Zylinders an die drei Seitenflächen von außen darstellen. Zuletzt aktualisiert:..

4 Aufgabe II.: Zeichnung des Vierecks ABCD: Vorgehen: Wähle z.b. AB cm, dann gilt, AB cm. Nach cm auf der Strecke AB wird eine Parallele zum Vektor AD eingezeichnet (der hier aus Vereinfachungsgründen orthogonal auf dem Vektor AB steht) und dann der Punkt C abgetragen. Wie teilt der Punkt S die Diagonale AC und die Diagonale DB? Hierzu werden zwei linear unabhängige Vektoren in der Figur eingeführt: AB und AD Nun muss ein geschlossener Vektorzug aufgestellt werden, der den Teilungspunkt S enthält: AS SD DA (*) Die einzelnen Vektoren müssen nun durch die linear unabhängigen Vektoren AB und AD dargestellt werden: AS t AC t (, AB AD) gemäß Vorgabe SD s BD s ( AB AD) DA AD Zuletzt aktualisiert:..

5 Der Vektorzug (*) kann nun folgendermaßen dargestellt werden:,t AB t AD s AB s AD AD Umstellung des Terms ergibt: AB (,t s) AD (t s ) Da die Vektoren AB und AD linear unabhängig sind, folgt daraus, dass die Klammerausdrücke Null werden:,t s t s Das Gleichungssystem liefert t und 7 S teilt die Diagonale AC im Verhältnis : S teilt die Diagonale BD im Verhältnis : s. 7 Zuletzt aktualisiert:..

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