Pflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1...

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1 Pflichtteil... Wahlteil Analysis... Wahlteil Analysis... Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie... Wahlteil Analytische Geometrie...

2 Lösungen: 00 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 00: Pflichtteil Benötigte Kenntnisse: Analysis: Ableiten, Integrale berechnen, Gleichungen lösen, Tangenten berechnen, Differenzialrechnung. Analytische Geometrie: Lineare Unabhängigkeit von Vektoren, Lage zwischen Gerade und Ebene, Abstandsberechnung, Spiegelung an einer Geraden. Aufgabe : Die Ableitung der Funktion f mit f() = sin(3 + ) muss mit der Produktregel bestimmt werden. Mit u() = und v() = sin(3 + ) erhält man: u () = und v () = 3cos(3 + ). (Hinweis: Man beachte, dass v() = sin(3 + ) mit der Kettenregel abgeleitet werden muss.) Mit der Produktregel folgt: f () = sin(3 + ) + 3 cos(3 + )= sin(3 + ) + 3 cos(3 + ) Ergebnis: Die erste Ableitung von f ist f () = sin(3 + ) + 3 cos(3 + ). Aufgabe : Es ist: d = 0,5 d = 0,5 = 0,5 0,5 = = ( ) (8 ) = Ergebnis: d =. Aufgabe 3: Die Lösungen der Gleichung ( 8) (e ) = 0 erhält man mit dem Satz vom Nullprodukt. Demnach muss gelten: (I) ( 8) = 0 und (II) (e ) = 0 Aus Gleichung (I) folgt: 8 = 0 +8 = 8 : = = und = Aus Gleichung (II) folgt: e = 0 + e = ln = ln : 3 = ln Ergebnis: Die Lösungen der Gleichung sind =, = und 3 = ln. Mathematik-Verlag,

3 Lösungen: 00 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 00: Pflichtteil Aufgabe : Zunächst muss der Wendepunkt der Funktion f mit f() = bestimmt werden. Die Ableitungen von f sind: f () = 3 + f () = + f () = Mit dem Ansatz f () = 0 erhält man: + = 0 w = Wegen f () 0 ist an der Stelle w = ein Wendepunkt. Die y-koordinate des Wendepunkts ist y w = f() = W( ) Die Tangentengleichung kann folgendermaßen berechnet werden: Jede Tangente hat die allgemeine Form y = m + c (mit der Steigung m und dem y-achsenabschnitt c). Mit m = f () erhält man: m = Damit lautet die (unvollständige) Tangentengleichung: y = + c. Den Wert für c erhält man durch Einsetzen der Koordinaten des Wendepunkts W( ): = + c c = (Hinweis: Man kann die Gleichung der Wendetangente auch mit der Formel y = f ( w )( w ) + f( w ) berechnen. Mit w =, f () = und f() = erhält man dasselbe Ergebnis.) Ergebnis: Die Gleichung der Tangente im Wendepunkt ist y =. Aufgabe 5: a) Es gilt f() = F (). Somit ist das Schaubild von f identisch mit dem Schaubild von F. Man muss also von dem Schaubild von F auf das Schaubild von F schließen. Etremstellen: Da das Schaubild von f bzw. F im Bereich < < 7 zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel hat (bei = und = ), hat das Schaubild von F zwei Etremstellen. (Bei = einen Hochpunkt und bei = einen Tiefpunkt.) Wendestellen: Da das Schaubild von f bzw. F im Bereich < < 7 eine Etremstelle hat (Tiefpunkt bei T = 0), hat das Schaubild von F an dieser Stelle eine Wendestelle. Nullstellen: Ob das Schaubild von F im Bereich < < 7 Nullstellen hat, kann nicht beurteilt werden, da jede Funktion G mit G() = F() + c auch eine Stammfunktion von f ist. Mit anderen Worten: Wie weit das Schaubild von F parallel zur y-achse verschoben ist, kann anhand des Schaubilds von f bzw. F nicht beurteilt werden. Somit ist auch keine Aussage über die Nullstellen möglich. b) Wegen f() d = F() F() beschreibt der Term F() F() die Fläche zwischen dem Schaubild von f und der -Achse im Intervall. Wie man am Schaubild von f erkennt, ist diese Fläche größer als. (Hinweis: Im Schaubild hat ein Kästchen den Flächeninhalt.) Mathematik-Verlag, 3

4 Lösungen: 00 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 00: Pflichtteil Aufgabe : Wenn die Vektoren r 3 + s 3 + t 3, 3 und linear unabhängig sind, darf die Gleichung = 0 nur die Lösung r = 0, s = 0 und t = 0 haben. Zur Bestimmung der Lösung dieser Gleichung, muss das entsprechende Gleichungssystem gelöst werden: r + s + t = 0 3r + 3s t = 0 r s + t = 0 (I) (II) (III) r + s + t = 0 (IV) s + 0t = 0 (V) = 3 (I) + ( ) (II) s + 5t = 0 (VI) = (II) + (III) r + s + t = 0 (VII) s + 0t = 0 (VIII) 5t = 0 (IX) = (V) + ( ) (VI) Aus Gleichung (IX) folgt: t = 0 Einsetzen in Gleichung (VIII) ergibt: s = 0 s = 0 Einsetzen von t = 0 und s = 0 in Gleichung (VII) ergibt: r = 0 r = 0 Ergebnis: Da die Gleichung r 3 + s 3 + t sind die drei Vektoren linear unabhängig. = 0 nur die Lösung r = 0, s = 0 und t = 0 hat, Aufgabe 7: a) Um die Ebene E: + = im Koordinatensystem darstellen zu können, muss man zuerst die Spurpunkte (= Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) berechnen. 3 Schnitt mit der -Achse: Mit = 0 und 3 = 0 folgt: = und damit S ( 0 0) E Schnitt mit der -Achse: Mit = 0 und 3 = 0 folgt: = und damit S (0 0) Schnitt mit der 3 -Achse: Mit = 0 und = 0 folgt: 0 =, falsche Aussage. Es gibt also keinen Schnittpunkt mit der 3 -Achse. Das heißt, die Ebene E verläuft parallel zur 3 -Achse. S 3 3 S Mathematik-Verlag,

5 Lösungen: 00 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 00: Pflichtteil b) Um die gegenseitige Lage zwischen g und E zu untersuchen, muss man die Schnittpunkte zwischen g: = 3 + r und E: + = berechnen. 3 0 Einsetzen der Koordinaten von g ( = + r, = 3 r und 3 = 3) in die Ebenengleichung ergibt: ( + r) + (3 r) = = Das ist unabhängig vom r-wert eine wahre Aussage. Die Gleichung hat also unendlich viele Lösungen. Das heißt, alle Geradenpunkte liegen in der Ebene E. Ergebnis: Die Gerade g liegt in der Ebene E. c) Der Abstand des Ursprungs O(0 0 0) von der Ebene E: + = wird mit der Hesse-Normalform (HNF) von E berechnet. Der Betrag des Normalenvektors n = von E ist: n =. 0 Damit lautet die HNF: + Einsetzen der Koordinaten von O(0 0 0) ergibt den gesuchten Abstand d: d = = = Ergebnis: Der Ursprung hat den Abstand d = von der Ebene E. Aufgabe 8: Den Ortsvektor des Bildpunkts A berechnet man mit der. A Vektorgleichung Wegen OA' = OA + AF + FA'. FA' = AF folgt: OA' = OA + AF (siehe Figur ) Zur Berechnung des Punktes F muss man die Hilfsebene E H, die senkrecht zu g steht und den Punkt A enthält, mit der Geraden g schneiden (siehe Figur ). Da der Richtungsvektor von g der Normalenvektor von E H ist, kann man die Koordinatengleichung von E H : n + n + n 3 3 = c (bis auf die Konstante c) sofort angeben. Die Konstante c kann dann durch Einsetzen der Koordinaten von A bestimmt werden. O. F... A' Figur E H A. g g. F Figur Mathematik-Verlag, 5

6 Lösungen: 00 Wahlteil Analysis Lösungen zur Prüfung 00: Wahlteil - Analysis Benötigte Kenntnisse: Asymptoten, Nullstellen, Etremstellen, Flächenberechnung mit Integralen, Abstandsberechnung, Etremwert berechnen, vollständige Induktion. Aufgabe a): Asymptoten des Schaubilds von f: Waagrechte Asymptoten: Um das Schaubild von f auf waagrechte Asymptoten zu untersuchen, muss man das Verhalten der Funktionswerte f() für ± untersuchen. Es ist: lim =. ( ) ± Damit ist y = eine waagrechte Asymptote des Schaubilds von f. (Hinweis: Da die Variable im Funktionsterm nur als vorkommt, ist das Verhalten von f() für + und für gleich.) Senkrechte Asymptoten: Um das Schaubild von f auf senkrechte Asymptoten zu untersuchen, muss man das Verhalten der Funktionswerte f() an den Definitionslücken untersuchen. Die Definitionslücken von f bestimmt man, indem man den Nenner gleich Null setzt: ( ) = 0 = und =. D = R \ { ; } Verhalten bei = : lim = ( ) + Damit ist an der Stelle = die senkrechte Asymptote =. (Hinweis: Der links- und rechtsseitige Grenzwert sind hier identisch, da der Nenner in Werte annehmen kann.) ( ) nur positive Verhalten bei = : lim = ( ) Damit ist an der Stelle = die senkrechte Asymptote =. (Hinweis: Auch hier sind der links- und rechtsseitige Grenzwert aus dem oben genannten Grund identisch.) Nullstellen von f: Zur Berechnung der Nullstellen muss man den Funktionsterm gleich Null setzen: = 0 + ( ) ( ) = ( ) mit D ( ) ( ) = : ( ) = ± Mathematik-Verlag,

7 Lösungen: 00 Wahlteil Analysis Lösungen zur Prüfung 00: Wahlteil - Analysis Gleichung (I): = + Gleichung (II): = + = + ±,8 und,8 (Hinweis: Die Nullstellen können auch mit dem GTR bestimmt werden.) = + ± 3 3,5 und 3,5 Das Schaubild von f: (Die Asymptoten sind rot eingezeichnet.) 7 y Nachweis von genau einer Etremstelle von f: Zum Nachweis der Etremstelle muss die Gleichung f () = 0 gelöst werden. Außerdem muss die zweite Ableitung f () an der Etremstelle 0 sein. Zur Ableitung von f() = ( ) sollte man den Funktionsterm umschreiben zu: f() = ( ). Dann kann man mit der Potenz- und der Kettenregel ableiten. Man erhält: f () = 00 ( ) 3 = 00 ( ) 3 00 = 3 ( ) Die zweite Ableitung muss mit der Quotientenregel bestimmt werden. Mit u() = 00 und v() = ( ) 3 ist u () = 00 und v () = ( ). Man erhält: 00 ( ) 00 ( f () = ( ) 3 ) 00 ( = ( ) 00 ) = ( ) 00 f () = 0 ergibt: 3 ( ) = 0 = 0. Wegen f (0) = 0, ist bei = 0 ein Hochpunkt. Es gibt also nur eine Etremstelle, was zu zeigen war. Mathematik-Verlag, 7

8 Lösungen: 00 Wahlteil Analysis Lösungen zur Prüfung 00: Wahlteil - Analysis Aufgabe b): Berechnung der Kubikmeter Stein für die Brücke: Das Volumen der Brücke erhält man, indem man den Inhalt der markierten Fläche mit der Breite der Brücke (= 0 m) multipliziert. Aus Symmetriegründen braucht man nur den Inhalt einer der beiden Hälften dieser Fläche berechnen. 7 y 5 A 0 3 A A Für den Inhalt A 0 einer Flächenhälfte gilt: A 0 = m A A (Hinweis: m ist der Flächeninhalt des blauen Rechtecks.) Dabei sind A und A die (schraffierten) Flächeninhalte unterhalb der Brückenbögen, die mit Integralen berechnet werden können. 3,5 7 Man erhält mit dem GTR: A = f() d 7 m und A = f() d 3 m 0 Damit folgt: A 0 = m 7 m 3 m = m Der gesamte Inhalt der Seitenfläche beträgt somit m = 38 m. Für das Volumen der Brücke erhält man somit: V = 0 m 38 m = 380 m 3 Ergebnis: Für die Brücke wurden 380 m 3 Stein verbaut.,8 Hinweis: Etwas umständlicher könnte man den Inhalt A 0 einer Flächenhälfte auch so berechnen: 3,5 7 A 0 = 7 f() d + 7 (,8 3,5) + 7 f() d 0,8 Mathematik-Verlag, 8

9 Lösungen: 00 Wahlteil Analysis Lösungen zur Prüfung 00: Wahlteil - Analysis Aufgabe c): Abstands des Zugs zur Wandfläche der Brücke: Die kürzeste Entfernung des Zuges zur gewölbten Wandfläche ist der kürzeste Abstand d der Ecke P(,5 ) zum Schaubild von f (siehe Zeichnung). 7 y 5 P d. A( f()) 3 Zugprofil Zur Berechnung dieses Abstands drückt man die Entfernung von P(,5 ) zu einem beliebigen Kurvenpunkt A( f()) zunächst in Abhängigkeit von aus. Mit dem Satz des Pythagoras gilt: d() = (f() ) + (,5) Mit f() = ( ) d() = erhält man: d() = (f() ) + (,5) mit 0 3,5 ( ) ( ) + (,5) Der gesuchte Abstand d ist das Minimum dieser Funktion. Mit dem GTR erhält man: min,58 m und d min = d(,58),38 m Schaubild der Abstandsfunktion d: y = d() Ergebnis: Der kürzeste Abstand des Zugs zur Wandfläche ist,38 m. d min min Mathematik-Verlag,

10 Ende der Musterseiten zu den Lösungen 00. (Die Original-Datei umfasst Seiten.) Mathematik-Verlag, 0