Mathematik Name: Nr.5 K2 Punkte: /30 Note: Schnitt:

Transkript

1 Pflichtteil (etwa 40min) Ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen abgegeben sein, ehe der GTR und die Formalsammlung verwendet werden dürfen.) Vorbemerkung: Viele schreiben einfach noch immer keinen Tet aber andere erzählen zuerst, was sie machen werden. Das ist zwar schön, aber das ist nicht gemeint. Ihr sollt mit dem Tet, dem Leser (und Euch selbst) zeigen, was ihr gerade für ein Zwischenziel habt, ihr sollt Euer Vorgehen gliedern, strukturieren. Also nicht: Ich muss jetzt die Ableitung Null setzen und dann dieses Ergebnis in die zweite Ableitung einsetzen, sondern: Wenn ein Etremum ist, dann gilt f '( ) 0, also.. Da f ''( a).. 0 ist dies a ein Hochpunkt. Es gilt also das Vorgehen mit Worten zu gliedern!! Mathematik ist Denken, nicht rechnen! Siehe auch weitere Bemerkungen am Ende Aufgabe 1: [P] Bestimmen Sie die erste Ableitung und vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich: 3 f ( ) cos 3 Lösungsvorschlag 1: Die Produkt- und Kettenregel liefert: 3 f '( ) 3 cos 3 sin cos 3 6 sin 3 Aufgabe : [P] Berechnen Sie das Integral e d. 4 Lösungsvorschlag : Bevor wir die Stammfunktion bestimmen, wandeln wir um (falls dies nötig ist). Nach dem Bilden der Stammfunktion überprüfen wir, ob die Ableitung der Stammfunktion der Integrand ist und vor allem schreiben wir die Funktion in der üblichen Form: f ( ) d e d 4e e 3 e 3e e 1 3 Anmerkung: Kürzt möglichst früh! Ihr, setzt Klammern und rechnet zu Ende! Aufgabe 3: [3P] Ermitteln Sie die Gleichung der Wendetangente an das Schaubild von f ( ) 8 Lösungsvorschlag 3: Müssen wir einen Wendepunkt bestimmen, ist es sinnvoll die drei ersten Ableitungen zu bestimmen. 1 f ( ) f '( ) 8 3

2 3 16 f ''( ) f '''( ) Sei der Wendepunkt, dann gilt die notwendige Bedingung: f ''( ) 0, also 0 oder. 3 Es gibt also höchstens einen Wendepunkt. Da die hinreichende Bedingung erfüllt ist, nämlich f '''() 0 ist a der gesuchte Wendepunkt. Die Tangente ist t( ) f '()( ) f (). 8 8 Es gilt f '() 6 und f () 0 Damit ist die Tangente im Punkt a : 4 t( ) 6 ( ) Aufgabe 4: [5P] Gegeben sind die Ebene E : und die Gerade g : 5 t a) Zeigen Sie, dass E und g parallel zueinander sind. b) Bestimmen Sie den Abstand von E und g. c) Bestimmen Sie eine Ebene F, die senkrecht zu E ist und g enthält. Lösungsvorschlag 4: 8 zu a) Die Normale der Ebene ist ne 1, der Richtungsvektor der Geraden u g 4. Die Ge- 4 1 rade ist genau dann parallel zur Ebene, wenn das Skalarprodukt dieser Vektoren 0 ist. Dies ist der Fall, da 8 1 ne ug Anmerkung: Solche Aufgaben erfordern von Euch die Fähigkeit, mit Händen und Fingern Euch die Aufgabe klar zu machen. Ihr müsst wissen, dass die Normale senkrecht auf der Ebene steht und der Richtungsvektor in Richtung der Geraden zeigt. Damit sollte klar sein, dass dann, wenn E und g parallel ist, die beiden Elemente senkrecht stehen müssen. Bitte beginnt nicht mit neug 0 und endet dann bei 0=0. Dies ist logisch falsch: Mit der Aussage 0=0 könnt ihr nichts ableiten. Gegenbeispiel: Ich nehme an, dass 1= ist. Jetzt multipliziere ich mit 0 und erhalte 0=0. Dieses Vorgehen ist richtig, aber nutzlos, weil ich aus 0=0 nicht ableiten könnt, dass 1= ist. Das Vorgehen: Wenn 1= ist, dann ist notwendigerweise 0=0 ist richtig. Aber aus einer notwendigen Bedingung folgt nie, dass die ursprüngliche Aussage richtig ist es folgt nur sehr oft, dass nur eine oder mehrere Lösungen möglich sind. Die Eistenz muss man dann immer durch eine Probe (oder eine hinreichende Bedingung) nachweisen. 1 zu b) Da die Gerade parallel zur Ebene ist, ist der Abstand von der g zu E der Abstand eines Punktes von g zu E. Wir wählen den Stützvektor P. Die Hessesche Normalenform der Ebene ist

3 8 y 4z y 4z 8 E : ein, erhalten wir d 9. 9 Anmerkung: Bei der HNF steht kein Betragszeichen, beim Abstand aber schon!! Setzten wir die Koordinaten von P(7 5-7) zu c) (etwas schwieriger) Die Ebene F senkrecht zu E durch g wird, vom Richtungsvektor von g und dem Normalenvektor von E aufgespannt. (Eigentlich solltet ihr das mit Euren Händen erkennen können.) Also: F : 5 t 4 s (Wer will kann natürlich noch die Normalen- oder Koordinatenform ausrechnen, aber gefragt war das nicht.) Aufgabe 5: [3P] Gegeben sind eine Ebene E und ein Punkt P, der nicht auf E liegt. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man diejenige Ebene F findet, die parallel zu E ist und durch den Punkt P geht. Wie weit liegen diese Ebenen auseinander? Lösungsvorschlag 5: Zwei Ebenen sind genau dann parallel, wenn sie denselben Normalenvektor haben. Damit ist die zu E parallele Ebene durch P gegeben durch den Normalenvektor von E und dem Stützvektor OP. Der Abstand der Ebenen ist der Abstand von P zu E. Dies bestimmt man am einfachsten mit der Hesseschen Normalenform der Ebene E, in die man den Punkt einsetzt und damit den orientierten Abstand ausrechnet. Der Betrag dieser Zahl ist der Abstand.

4 Wahlteil (etwa 40 min) Mit GTR und Formelsammlung nach Abgabe des Pflichtteils kann der GTR und die Formelsammlung verwendet werden. Aufgabe 6: In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( 3 0 ), B( ) und C( 15-4 ) gegeben. Außerdem sei für jedes ar eine Gerade ga gegeben a ga : 6 s a 1 1 a) [4P] Bestimmen Sie die Parameter- und eine Koordinatendarstellung der Ebene E durch die Punkte A, B, C. (Teilergebnis: 3 + y + 6z = 1) und skizzieren Sie die Ebene E b) [4P] Bestimmen Sie den Schnittpunkt Sa der Geraden ga mit der Ebene E. Für welchen Wert von a ist die Gerade ga parallel zur Ebene E? Liegt diese Gerade ga dann in der Ebene oder nicht? Begründen Sie Ihre Antwort mit Worten. Lösungsvorschlag 6: 4 0 Zu a) Die Parameterform der Ebene lautet: E : 3 r 3 s Sei nun n y die Normale, so gilt, da sie auf den Spannvektoren senkrecht steht: z 4 0 n 3 4 3y z 0 und n 1 1y 4z Wir suchen nun nicht alle Lösungen dieser beiden Gleichungen, sondern nur eine. Da die. Gleichung nur zwei Variable enthält und ihre rechte Seite 0 ist, wählen wir z=3 und y=1 Die erste Gleichung liefert uns nun , so dass 6 1,5 ist. Ein Normalenvektor ist also 4 1,5 n 1 3 Alle Vielfachen davon sind ebenfalls Normalenvektoren. Wenn wir den Normalenvektor mit dem Hauptnenner seiner drei Komponenten multiplizieren, erhalten wir einen weiteren Normalenvektor, der 3 3 nur ganz Zahlen enthält. n Die Normalenform der Ebene ist also E: Multiplizieren wir sie aus, erhalten wir die Koordinatengleichung: E :3 y 6z 1. Um die Ebene zu skizzieren, bestimmen wir die Schnittpunkte mit den Achsen: Sei S der Schnittpunkt der -Achse, so gilt S(/0/0). Da S auch auf der Ebene liegt, folgt aus der Koordinatengleichung 3 1. Also ist S(4/0/0). Ebenso erhalten wir Sy(0/6/0) und Sz(0/0/). Damit können wir die Ebene skizzieren

5 (siehe das Portable Programm Vektor im Ordner T:\gzg\Freigabe\PoProgs\MatNat\vektor auf dem Schulserver.) Mit diesem einfachen Programm kann man einfach Geometrieaufgaben nachrechnen, wohl einfacher als mit dem Programm Vektoris3D.0 auf der CD, die dem Lambacher-Schweizer beiliegt) Zu b) Sei Pa / y / z ein Schnittpunkt der Geraden ga mit der Ebene E. Damit gelten die vier Glei- sa chungen: y 6 sa z 1 s 3 y 6z 1 Ersetzen wir die Variablen in der 4. Gleichung mit Gleichungen 1 bis 3, erhalten wir 3 sa s 6sa 6 1 s 1. Diese Gleichung liefert uns dann s in Abhängigkeit von a, so, dass wir mit den ersten beiden Gleichungen die Koordinaten des Schnittpunktes a P / y / z bestimmen können. Wir multiplizieren die Klammern aus: 63s a 6s 1 s a 66s 1 oder 5s a 0. Wir müssen nun eine Fallunterscheidung machen (wie immer, wenn wir ein Produkt haben, das Null ist) Wenn a 0 ist, dann dürfen wir für s jede beliebige Zahl einsetzen. Das bedeutet natürlich, dass die Gerade g a in der Ebene E liegt, da es unendlich viele Schnittstellen gibt. Sie ist damit parallel zu E. a Wenn a 0ist, dann muss s gleich Null sein. Damit kann nur OPa 6 0 a 6 ein Schnittpunkt sein. Damit ist P / 6 / 1 a für alle a 0 ein Schnittpunkt von der Ebene E mit der Geraden g a. (Für a=0 übrigens auch, da in diesem Fall die Gerade ja ganz in E liegt und P a auch auf ihr liegt.) Sei nun a so, dass die Gerade ga parallel zur Ebene E ist (notwendige Bedingung). Dann muss der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zur Normalen der Ebenen sein. Also gilt: 3 a a 3a a 6 3a 6 a 6 5a Dies kann nur für a=0 der Fall sein. Oben haben wir bereits gezeigt, dass die Gerade g a=g 0 in der Ebene E liegt (hinreichende Bedingung).

6 Aufgabe 7: Die Ebene E enthält die Punkte A(6 1 0), B( 3 0) und P(3 0,5). a) [4P] Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E. Stellen Sie die Ebene E in einem Koordinatensystem dar. Unter welchem Winkel schneidet E die 1-Achse? E : (Teilergebnis: ) b) [3P] Welche Punkte der -Achse bilden jeweils mit A und B ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse AB? Lösungsvorschlag 7: zu a) Eine Parametergleichung von E lautet: E : 1 r s 1 Eine Normal berechnet sich wie üblich: Sei n y, so ergibt sich das LGS 0 0,5 z 4 y 0 3 y,5z 0 Das wir nur eine Lösung suchen, ergibt sich laut Gl1 = 1 und y = als Lösung. Damit liefert Gl,5z 3 oder z = Damit ist die Normale 1 n. Also ist die Koordinatenform E : Die Schnittpunkte mit den Achsen: Ist S( 0 0) der Schnittpunkt mit der - Achse, dann ergibt sich mit der KF: =8. Also ist S(8 0 0) Ebenso berechnet man Sy(0 4 0) und Sz(0 0 4). Skizze: Für den Schnittwinkel der Ebene E mit der -Achse gilt - da der Richtungsvektor der 1 -Achse u 0 ist sin( ), d.h. 19,5 31 3

7 zu b) Für den Punkt Q( 0 0) der -Achse, der die gewünschten Eigenschaften hat, gilt: 6 0 QAQB Die MNF liefert: 1/ 5 / 3. Somit gibt es zwei Punkte, nämlich Q1(3/0/0) und Q(5/0/0) mit den gewünschten Eigenschaften. Anmerkungen: 1) Bitte schreibt nie mehr: Um einen Schnittpunkt zu bestimmen, muss man die Gerade und die Ebene gleichsetzen. Oder so etwas Ähnliches. Das ist Unsinn. ) Gliedert!!!! Schreibt Tet - aber nicht einen Tet, in dem ihr die Algorithmenreihenfolge, sondern in dem ihr das mathematische Vorgehen beschreibt. Also nicht: Ich löse die Gleichung, sondern Wenn man annimmt, dass es einen Schnittpunkt gibt, kann man folgende Gleichungen aufstellen (dass ihr diese nun lösen werdet, ist doch klar!) Die Lösung der Gleichung, etwa die Zahl t, liefert nur eine notwendige Bedingung, d.h. wenn es z.b. einen Schnittpunkt gibt, dann kann es nur der durch diese Zahl bestimmte Punkt sein! (Allerdings müsste man dies noch durch eine Probe nachweisen.) 3) Geraden haben keine Normale. Geraden werden durch einen Stützpunkt und einen Richtungsvektor. Ebenen werden entweder durch einen Stützvektor und zwei Spannvektoren (oder Richtungsvektoren beschrieben, die in verschiedene Richtung zeigen!) oder durch einen Stützvektor und eine Normale beschrieben. Mit Hilfe dieser Vektoren kann man Gleichungen ableiten, mit denen man bestimmte Dinge berechnen kann, z.b. Schnittpunkte. 4) Das Problem von Schülern ist meist, dass sie meinen, in Mathe beschäftige man sich nur mit Zahlen und Gleichungen. Das ist aber falsch. Wichtige Objekte sind Funktionen, Ableitungen (eigentlich ein recht komplees Verfahren, der Fachausdruck ist Operator) und auch Vektoren (in der Geometrie) 5) Ihr müsst lernen, wie man in Mathe vorgeht diese Vorgehensweisen machten Mathe in den Naturwissenschaften erfolgreich! Merkregeln mögen ja mitunter sinnvoll sein, aber sie sind nicht das, was ihr lernen sollt. Glaubt ihr wirklich, dass das Lernen der Merkregel Kreuzprodukt etwas ist, das ihr später je wieder braucht? Also kann ist das Kreuzprodukt nicht wichtig. Allerdings spielen mathematische Denkweisen in vielen Fächern eine große Rolle. 6) Wichtig: Ihr müsst in Mathe viele neue Konzepte, Begriffe sowie Sprech- und Denkweisen erlernen. Das ist das Entscheidende in der Oberstufe, nicht mehr das Rechnen, das solltet ihr bereits gelernt haben ( auch wenn wir alle wissen, dass das nur beschränkt richtig ist). Ihr müsst nicht zeigen, dass ihr einen mehr oder weniger kompleen Algorithmus anwenden könnt, sondern ihr sollt zeigen, dass ihr mathematisch modellieren könnt, dass ihr mathematische Denk- und Vorgehensweisen anwenden könnt. Abschließend noch ein Beispiel, das Punkt 6 veranschaulicht: Aufgabe Für jede reelle Zahl a bestimme man sämtliche Paare (, y) reeller Zahlen, die das Gleichungssystem - y + = 1

8 + y = a erfüllen. Lösung (nicht von mir, sondern eine offizielle) Angenommen, die Zahlen und y erfüllen das Gleichungssystem, dann lassen sich zwei Fälle unterscheiden. Fall 1: y. Dann ergibt sich - y = y -, und wir erhalten die Lösung y = 1 und = a - 1. Die Voraussetzung y ist für dieses Lösungspaar genau für a erfüllt. Fall : > y. Aus - y = - y folgt dann y = - 1. Eingesetzt in die zweite Gleichung folgt 3-1 = a, also = (a + 1)/3. Aus y = - 1 ergibt sich daraus der zugehörige Wert y = (a 1)/3. Die Voraussetzung > y, also (a + 1)/3>(a 1)/3, ist jetzt äquivalent zu a <. Die Fallunterscheidung ist vollständig, damit sind alle möglichen Lösungen gefunden. Zusammenfassung: Für a < gibt es zwei mögliche Lösungen, (1, y1) = (a - 1, 1), (, y) = ((a + 1)/3, (a-1)/3. Für a = gibt es eine mögliche Lösung, (1, y1) = (1, 1). Für a > gibt es keine Lösung. Die Probe bestätigt die Richtigkeit der gefundenen Lösungen. Aufgabe und Lösung: DMO, Regionalrunde, 014, 1. Aufgabe (alle Schüler, die in Mathe mindestens gut (10 Punkte) haben oder haben wollen, sollten die Aufgabe richtig lösen können), siehe (Benutzer: gzg / Kennwort MP3@467)