Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen

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1 13. Geometrie mit Geraden und Ebenen 13.1 Geraden- und Ebenengleichungen 13.1 Geradengleichungen Ist A ein Punkt des Anschauungsraumes mit Ortsvektor, dann ist eine Gerade g durch diesen Punkt bestimmt durch eine vom Punkt aus gesehene Richtung; diese Richtung wird durch einen Vektor, den Richtungsvektor der Geraden, dargestellt. (Punkt-Richtungsform der Geradengleichung) Legt man eine Gerade g im Raum durch zwei Punkte fest, wählt einen der beiden als Aufpunkt und den Verbindungsvektor der beiden Punkte als Richtungsvektor, dann erhält man eine zur Punkt-Richtungsform verwandte Form der Geradengleichung. (Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung) Eine Geradengleichung zur Geraden g mit Form der Geradengleichung. nennt man Zwei-Punkte- Beisp: (Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung) Bestimme die Gleichung der Geraden g durch A (2/3/-1) und B(1/1/1)! Beisp: (Die Geradengleichungen der Koordinatenachsen) Die x-achse (x1-achse) ist bestimmt durch die beiden Punkte O(0,0,0) und A(1,0,0). 274

2 Für die beiden anderen Achsen erhält man demnach analog: Beisp: (Prüfung, ob drei Punkte auf einer Geraden liegen) Um zu untersuchen, ob A(1 / 2/ 0), B(2/ -1/ 3) und C(-3/ 4/ 5) auf einer Geraden liegen, prüft man, ob C auf der Geraden g durch die beiden Punkte A und B liegt. AB Wenn der Punkt C auf g läge, dann müsste sein Ortsvektor die Geradengleichung erfüllen; der Ansatz zur Prüfung lautet: Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem mit widersprüchlichen Lösungen für : Die Annahme, C läge auf g Punkt C nicht auf g. AB AB, hat damit zu einem unstimmigen Ergebnis geführt; folglich liegt der Die Zwei-Punkte-Gleichungsform und die Punkt-Richtungs-Gleichungsform nennt man Parameterformen der Geradengleichung; die üblicherweise mit griechischen Buchstaben bezeichneten Faktoren vor den Richtungsvektoren, im obigen Beispiel ist es die Zahl, heißen Parameter der Gerade. Zwischen den einzelnen Punkten der betreffenden Gerade und den Parametern besteht eine eindeutige Beziehung: Jedem Parameter-Wert entspricht genau ein Geradenpunkt. Unterwirft man also den Parameter gewissen Beschränkungen, dann erhält man eine Beschreibung von Teilstücken der Gerade. Beisp: (Teilstück einer Koordinatenachse) Die Menge aller Punkte X mit Ortsvektor 2 beschreibt den positiven Zweig der x2-achse einschließlich des Ursprungs, weil 0 für alle. 275

3 Beisp: (Teilstück einer Gerade) Mit Hilfe der Ortsvektoren zweier Punkte A und B werden die Ortsvektoren von Punkten X beschrieben: 2 Da -1-1 identifiziert man die in der folgenden Zeichnung angedeuteten Punkte X: Beisp: (Zusammenhang zwischen Geradengleichungen verschiedenen Typs) Im zweidimensionalen Raum ist die Verbindung zwischen den Geradengleichungen der Analysis in der Form g: y = mx + b und der Betrachtungsweise der analytischen Geometrie leicht herzustellen: Von der Darstellung der Analysis... y = m x + b... zur Darstellung der analytischen Geometrie Man liest einfach aus der Zeichnung ab: g: Von der Darstellung der analytischen Geometrie zur Darstellung der Analysis g: m = Also g: y = x + b Setze dann A( a 1 / a 2 ) ein, um b zu bestimmen Geraden lassen sich auch in einer parameterfreien Form darstellen. Man veranschaulicht sich dazu, dass genau all diejenigen Punkte X auf einer Gerade g mit Richtungsvektor und Aufpunkt A liegen, für die der Vektor in die selbe Richtung zeigt wie, für die also und linear abhängig sind. Formuliert man diese lineare Abhängigkeit mit Hilfe des Vektorproduktes, ergibt sich die folgende parameterfreie Darstellung einer Geradengleichung. (Plücker-Form der Geradengleichung) Mit X bzw. mit dessen Ortsvektor sei ein beliebiger Punkt einer Gerade g bezeichnet; mit A ihr Aufpunkt, mit dessen Ortsvektor, mit schließlich der Richtungsvektor von g. Die Geradengleichung g: heißt Plücker-Form der Geradengleichung. 276

4 13.2 Ebenengleichungen in Parameterform Bei zur Herleitung der Geradengleichungen analoger Vorgehensweise beschreibt man eine Ebene e im Raum durch einen Aufpunkt A sowie zwei unterschiedliche Richtungen. Genauer formuliert bedeutet diese Unterschiedlichkeit so: Die Richtungsvektoren müssen linear unabhängig sein. (Punkt-Richtungsform der Ebenengleichung) Die Menge e aller Punkte X mit Ortsvektor und der Eigenschaft heißt Ebene e durch den Aufpunkt A (zugehöriger Ortsvektor und. Man schreibt kurz: ) mit den Richtungsvektoren Diese Gleichung heißt Punkt-Richtungsform der Ebenengleichung. Eine Ebene im Raum ist auch durch drei Punkte festlegbar, sofern diese nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. (Drei-Punkte-Form der Ebenengleichung) Eine Ebenengleichung zur Ebene e mit nennt man Drei-Punkte-Form der Ebenengleichung. Es folgen Beispiele zu den bisher genannten Typen von Ebenengleichungen: 277

5 Beisp: (Ermitteln einer Ebenengleichung; Prüfen, ob ein Punkt in der Ebene liegt) Bestimme die Gleichung der Ebene e durch A(2/1/1), B(1/0/4) und C(2/2/2)! Liegt der Punkt P(1/-1/1) in e? Die Ebenengleichung lautet: Man prüft mit folgendem Ansatz, ob P in e liegt: Die Auswertung der ersten und zweiten Gleichung liefert Lösungen für und : Das unbedingt notwendige Einsetzen in die dritte Gleichung bestätigt das Ergebnis; also liegt P in e. Beisp: (Die Koordinatenebenen) Die Gleichung der x1-x2-ebene e 12, die durch die x1-achse und die x2-achse aufgespannt wird, ist bestimmt durch die drei Punkte O(0/0/0), A(1/0/0) und B(0/1/0); ihre Gleichung Analog findet man für die anderen Koordinatenebenen: Wie man bei Geradengleichungen Werten des Parameters eindeutig Geradenpunkten zuordnen konnte, so kann man auch den in den genannten Ebenengleichungen auftretenden Parameterpaaren (, ) eindeutig mit zugehörigen Ebenenpunkten identifizieren. Durch Manipulation an den Parametern gelingt es - vergleichbar mit dem Vorgehen bei Geradenstücken - auch hier, Punktmengen, die Teilmenge der Ebene sind, zu beschreiben. Beisp: (Beschreibung eines Parallelogramms in der Ebene) Sind A, B und C drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, dann hat die durch diese drei Punkte festgelegte Ebene e, die Gleichung Für 0, 1 erhält man dann die Punkte einer Parallelogrammfläche, deren Ecken A, B, C, D 278

6 eindeutig durch Parameterwerte beschrieben sind. Man erkennt am Beispiel, dass die Parameter der Ebene als Koordinaten verwendet werden können; diese Koordinaten sind ebenenspezifisch und haben mit den Koordinaten, die gerade im Anschauungsraum aktuell sind, unmittelbar nichts zu tun. Man kann mit diesen neuen Koordinaten arbeiten und etwa versuchen, damit in der Ebene liegende Geraden und Strecken näher zu beschreiben. Beisp: (Parameter von Ebenenpunkten, die eine Gerade bilden) Bei der Beschäftigung mit Geradengleichungen im üblichen zweidimensionalen Koordinatensystem beschreibt man die erste Winkelhalbierende durch die Gleichung y = x; analog formuliert man für die Verbindungsgerade AD (siehe oben), denen die Parameterwerte (, ) = (0, 0) und (, ) = (1,1) zugeordnet sind, die Geradengleichung =, wenn man - im Vergleich mit gewohnten Bezeichnungen - AC als y-achse und AB als x-achse ansieht. Für die Verbindung von (0,1) und (1,0) findet man entsprechend = 1- + = 1 und hat damit die Gerade BC beschrieben. Arbeitet man mit diesen Ergebnissen weiter, dann werden zum Beispiel Punkte des Dreiecks BCD beschreibbar durch folgende Parameterwerte von und : Ebenengleichungen in Normalenform Zur Herleitung weiterer gängiger Ebenengleichungen wird der Begriff des Normalenvektors benötigt. (Normalenvektor) Ein Vektor heißt Normalenvektor einer Ebene e, wenn er zur Ebene senkrecht steht. Das bedeutet für alle Ebenenpunkte A, B:, also Natürlich hat eine Ebene unendlich viele Normalenvektoren gleicher Richtung, aber unterschiedlicher Länge. Mit Hilfe eines Normalenvektors zu einer Ebene e zusammen mit den Koordinaten eines Aufpunktes A dieser Ebene kann man alle Ebenenpunkte X genau beschreiben, wenn man berücksichtigt, dass nur für Punkte X der Ebene der Verbindungsvektor von A und X und der Normalenvektor zueinander senkrecht stehen, für Punkte außerhalb der Ebene aber nicht. 279

7 (Punkt-Normalen-Form der Ebenengleichung) Ist ein Vektor Normalenvektor einer Ebene e und ist A irgendein Ebenenpunkt, dann lautet die Punkt-Normalenform der Ebenengleichung zur Beschreibung der Ebenenpunkte X mit Ortsvektor : Durch einfache Umrechnungen gelangt man von der Punkt-Normalengleichung der Ebene zu zwei weiteren Ebenengleichungsformeln, der allgemeinen Normalenform der Ebenengleichung und der Koordinatenform der Ebenengleichung; beide Formen werden zunächst am Beispiel, dann per Definition erklärt. Beisp: (Punkt-Normalenform, allgemeine Normalenform, Koordinatenform der Ebenengleichung) Gegeben sind ein Punkt A und ein Normalenvektor einer Ebene e: Die Punkt-Normalengleichung dieser Ebene lautet: Multipliziert man das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor und dem Ortsvektor des Aufpunktes aus, erhält man die allgemeine Normalenform der Ebenengleichung. Multipliziert man auch das letzte verbleibende Skalarprodukt aus, erhält man die Koordinatenform der Ebenengleichung: 280

8 (Allgemeine Normalenform der Ebenengleichung) Ist Normalenvektor einer Ebene e, und ist d, dann lautet die allgemeine Normalenform der Ebenengleichung zur Beschreibung der Ebenenpunkte X mit Ortsvektor durch: Für die Koordinatenform findet man: (Koordinatenform der Ebenengleichung) Ist Normalenvektor zu einer Ebene e, und ist d, dann lautet die Koordinatenform der Ebenengleichung zur Beschreibung aller Ebenenpunkte X mit Ortsvektor n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 - d =0 Ein Beispiel verdeutlicht die Bedeutung der Normalenformen der Ebenengleichungen. Beisp: (Symmetrieebene zu zwei Punkten) Bestimme eine Gleichung der Ebene e, die zu den Punkten A(1/ 2/ 1) und B(-1/0/3) symmetrisch liegt! Der Zeichnung entnimmt man den Lösungsplan: Der Verbindungsvektor zwischen den Punkten A und B ist Normalenvektor der gesuchten Ebene, der Mittelpunkt M der Strecke AB ist ein Ebenenpunkt; damit ist die Ebenengleichung in Punkt-Normalenform ermittelbar. Von dort aus ist die allgemeine Normalenform leicht zu errechnen. Die zugehörige Rechnung lautet: Wenn eine Ebene über eine Normalengleichung angegeben ist, dann hat man es besonders leicht, sich einen zeichnerischen Eindruck ihrer Lage zu verschaffen, wenn man die Schnittpunkte der Ebene mit den 281

9 Koordinatenachsen berechnet. Diese Hilfsrechnung kann man im Kopf erledigen, wenn man berücksichtigt, dass für Punkte der x1-achse x 2=x 3=0, für Punkte der x2-achse x 1=x 3=0 und für Punkte der x3-achse ist x =x =0 gilt. 1 2 Beisp: (Zeichnerische Darstellung einer Ebene in Normalenform) Gegeben ist eine Ebene e über ihre Koordinatengleichung. e: 3x 1 + 2x 2 - x 3 = -6 Man ermittelt die Schnittpunkte P, Q und R von e mit den Koordinatenachsen durch: P = e x -Achse: Q = e x -Achse: R = e x -Achse: x = -6 P(-2/0/0) x - 0 = -6 Q(0/-3/0) x = -6 R(0/0/6) 3 3 Die zeichnerische Darstellung deutet den Verlauf der Ebene an: Alle Ebenengleichungsformen, die wir bis hierher kennen gelernt haben, ob es sich um Parametergleichungen oder um Normalengleichungen handelt, haben einen Nachteil gemeinsam: Sie sind nicht eindeutig, weil die Richtungsvektoren in den Parameterformen und die Normalenvektoren in den Normalenformen in ihrer Länge nicht festgelegt sind und die Normalenvektoren zum Ursprung hin oder davon weg zeigen können. Um diesem Mangel abzuhelfen, wollen wir nun eine Form der Ebenengleichung in Normalenform kennen lernen, die sich dadurch von den anderen unterscheidet, dass sie eindeutig ist. Dazu wird der Normalenvektor auf die Länge 1 gebracht und vom Ursprung zur Ebene zeigend orientiert. Die rechnerischen Einzelheiten dieses Vorganges entnimmt man den folgenden Ausführungen: (HESSE-Normalenform der Ebenengleichung) Eine Normalengleichung einer Ebene e, für die ein Normalenvektor der Länge 1 so gewählt ist, dass er vom Ursprung zur Ebene zeigt, heißt HESSE-Normalenform der Ebenengleichung. Man schreibt in Formeln: Beisp: (HESSE- Normalenform der Ebenengleichung) 1 2 Gegeben sind zwei Ebenen e, e, die jeweils in HESSE-Normalenform dargestellt werden sollen, durch 282

10 Für e 1 erhält man die HESSE-Normalenform aus der vorgegebenen allgemeinen Normalenform, indem man ihre Gleichung durch die Länge des Normalenvektors dividiert: Bei der Umformung von e 2 ist außerdem zu berücksichtigen, dass d=-3, also negativ ist; folglich teilt man die in allgemeiner Normalenform vorgegebene Ebenengleichung durch die Gegenzahl der Länge des Normalenvektors: 3 Die Übertragung des Konzeptes der Normalengleichung für Ebenen im dreidimensionalen Raum auf den 2 2 zweidimensionalen Raum führt zur Normalengleichung von Geraden in, selten genutzt, aber zum Beispiel für die Berechnung spezieller Abstandsprobleme in der Ebene nützlich. Beisp: (Normalengleichung von Geraden im zweidimensionalen Raum 2 ) Eine Gerade der Form g: y = m x + b lässt sich, wie wir weiter oben gesehen haben, in Vektorschreibweise darstellen: Normalengleichungen dieser Gerade sind: In Punktnormalenform g: Ein Normalenvektor zu g ist zum Beispiel In allgemeiner Normalenform g: In Hesse-Normalenform g: In Koordinatenform g: - m x + x - b = 0 x = m x + b Diese Gleichung ist in anderer Schreibweise wieder gleich zu g: y = m x + b 283

11 13.4 Umrechnung von Ebenengleichungen a) Von den Parameterformen zu Normalenformen der Ebenengleichung Ist eine Ebene e in Parameterform angegeben, dann ermittelt man eine Normalengleichung von e über die Punkt-Normalenform, wozu aus dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren von e der Normalenvektor ermittelt und der Aufpunkt der Ebene eingerechnet wird. Beisp: (Umformung von der Punkt-Richtungsform in die allgemeine Normalenform) Gegeben ist eine Ebene e in Punkt-Richtungsform durch Wir errechnen den Normalenvektor und mit dessen Hilfe die Ebenengleichung in Punkt- Normalenform und anschließend in allgemeiner Normalenform. b) Von den Normalenformen zu den Parameterformen der Ebenengleichung Man gelangt von den Normalenformen zu den parameterabhängigen Formen der Ebenengleichung dadurch, dass man drei Punkte der Ebene identifiziert, die nicht auf einer Geraden liegen, und diese in die Drei-Punkte-Form der Ebenengleichung einsetzt. Häufig kann man die genannten drei Punkte über die Koordinatenform der Ebenengleichung einfach ermitteln. Beisp: (Umformung von der allgemeinen Normalenform in die Punkt-Richtungsform) Gegeben ist eine Ebene e in allgemeiner Normalenform, beziehungsweise Koordinatenform, durch: Der Einfachheit halber wählt man drei Punkte von e, bei denen möglichst viele Koordinaten 0 ergeben, hier etwa: A(2/0/0), B(0/4/0), C(0/0/-4). Damit erhält man: 13.5 Die Lage von Geraden und Ebenen im Raum Wir wollen nun die verschiedenen erarbeiteten Darstellungen von Geraden und Ebenen dazu nützen, die Lage von Geraden und Ebenen im Raum zu untersuchen. 284

12 Die möglichen Lagen zweier Geraden im Raum Die folgende Tabelle gibt Auskunft über mögliche Lagen zweier Geraden g 1 und g 2 mit Gleichzeitig gibt die Übersicht zugehörige Rechenmethoden an die Hand. Geometrische Lage in Zeichen Rechnerisches Kriterium g 1 und g 2 sind parallel. g1 g2 Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander. g 1 und g 2 sind gleich. g 1=g2 g 1 g 2 und der Aufpunkt von g 1 liegt auf g 2. g 1 und g 2 schneiden sich in einem Punkt P. g 1 g 2 = {P} Das Gleichsetzen der Geradengleichung liefert genau eine Lösung. g 1 und g 2 sind windschief. (nicht parallel, ohne Schnittpunkt) g 1 g 2 = {} g g 1 2 Keiner der zuvor genannten Fälle trifft zu. Beisp: (Lage von Geraden im Raum) Gegeben sind vier Geraden: g 1 und g 3 verlaufen ebenso wie g 2 und g 4 jeweils parallel zueinander, denn: g 1 und g 3 sind sogar gleich, weil zusätzlich der Aufpunkt von g 3 auf g 1 liegt, denn: g 2 und g 4 sind dagegen parallel aber nicht gleich, weil der Aufpunkt von g 2 nicht auf g 4 liegt, denn das entsprechende Gleichungssystem liefert widersprüchliche Lösungen: 1 2 g und g sind nicht parallel, weil ihre Richtungsvektoren nicht Vielfache voneinander sind; Sie haben den Schnittpunkt S(3/3/1), der sich nach folgender Rechnung ergibt: 285

13 g 1 und g 4 sind windschief, denn sie verlaufen nicht parallel, weil die Richtungsvektoren nicht Vielfache voneinander sind, und weisen auch keine gemeinsamen Punkte auf, wie die widersprüchlichen Ergebnisse der folgenden Rechnung belegen Die möglichen Lagen einer Gerade und einer Ebene im Raum Die folgende Tabelle gibt Auskunft über mögliche Lagen einer Geraden g zu einer Ebene e, welche in allgemeiner Normalenform vorgegeben ist. Deren Gleichungen lauten: Gleichzeitig informiert die Übersicht über die zugehörigen Rechenmethoden. Geometrische Lage in Zeichen Rechnerisches Kriterium g und e sind parallel. e g Die Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Gerade stehen senkrecht zueinander; ihr Skalarprodukt ergibt 0. g liegt in e. g e g e und der Aufpunkt von g liegt in e. g und e schneiden sich in einem Punkt P. g 1 e = {P} Die Einsetzung der Geradengleichung in die Ebenengleichung liefert genau eine Lösung. Beisp: (Lage von Geraden und Ebenen im Raum) Gegeben sind drei Geraden und eine Ebene durch: g 1 und g 2 sind jeweils parallel zu e, g 3 ist nicht parallel zu e denn 2 1 Die Gerade g liegt sogar ganz in e, denn zusätzlich liegt ihr Aufpunkt in e; die Gerade g verläuft dagegen echt parallel zu e, weil ihr Aufpunkt nicht in e liegt, denn: 286

14 g 3 hat mit e einen Schnittpunkt, den man ermittelt, indem man die Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzt. Setzt man das gefundene in die Geradengleichung ein, ergibt sich der Schnittpunkt S der Gerade g mit der Ebene e: 3 Beisp: (Spurpunkte) Gegeben ist die Gerade g durch Wir berechnen die Schnittpunkte von g mit den Koordinatenebenen, also jeweils den Schnittpunkt von g mit der x-y-ebene, der x-z-ebene oder der y-z-ebene. Diese Punkte nennt die Spurpunkte der Gerade. Die Gleichungen der Koordinatenebenen lauten in allgemeiner Normalenform: Damit errechnen sich die drei Spurpunkte S xy, S xz und S yz wie folgt: 287

15 Die möglichen Lagen zweier Ebenen im Raum Die folgende Tabelle gibt Auskunft über mögliche Lagen zweier Ebenen e 1 und e 2; gleichzeitig werden die zugehörigen Rechenwege angedeutet. Geometrische Lage in Zeichen Rechnerisches Kriterium e 1 und e 2 sind parallel. e 1 e2 Die Normalenvektor der beiden Ebenen sind Vielfache voneinander. e 1 und e 2 sind gleich. e 1 = e2 e 1 e 2 und ein Punkt von e 1 liegt in e 2. e 1 und e 2 schneiden sich in einer Gerade g. e 1 e 2 = g Beisp: (Lage von Ebenen im Raum) Gegeben sind vier Ebenen e 1, e 2, e 3 und e 4 durch: Die Einsetzung einer Ebenengleichung in Punkt-Richtungs- Form in die zweite in allgemeiner Normalenform führt zur Gleichung der Schnittgerade. Wir ermitteln die Normalenvektoren, um eventuell Parallelitäten erkennen zu können. Also erfüllen je zwei der Ebenen e 1, e 3und e 4das Parallelitätskriterium, sind also alle untereinander parallel; die Ebene e jedoch ist zu keiner der anderen parallel. 2 Ein ausgewählter Punkt auf e 3ist P(0/0/3); dieser Punkt liegt auch auf e 1; also sind e 1 und e 3 gleich. Dagegen sind e 1 und e 4 nicht gleich, sondern echt parallel, weil der Aufpunkt A 4(3/0/0) von e 4 nicht in e liegt. Die zugehörigen Rechnungen lauten: 1 Das Beispiel wird abgeschlossen von der Berechnung der Schnittgeraden von e 1 und e 2; dazu wird die Gleichung von e in die von e eingesetzt

16 Das gefundene wird in die Gleichung von e 2 eingesetzt; nach einigen sortierenden Umformungen erhält man daraus die gesuchte Gleichung der Schnittgerade g. Beisp: (Spurgerade) Gegeben ist die Ebene e und die Koordinatenebene e xy durch: Gesucht ist die Schnittgerade g von e mit der angegebenen Koordinatenebene, die man Spurgerade von e in der x-y-ebene nennt Einige geometrische Grundaufgaben a) Das Lot von einem Punkt auf eine Ebene Man fällt das Lot von einem Punkt P auf eine Ebene e nach folgender Anweisung: - Bilde diejenige Lotgerade l, deren Richtungsvektor gleich dem Normalenvektor der Ebene und deren Aufpunkt P ist. - Errechne den Lotfußpunkt L als Schmitt von l mit e. Die Zeichnung gibt weitere Auskunft über den geometrischen Sachverhalt: 289

17 Beisp: (Lot von einem Punkt auf eine Ebene) Gegeben sind ein Punkt P und eine Ebene e durch P(2/1/-5) und e: -2x 1 - x 2 + 3x 3 = 8 Wir fällen das Lot von P auf e nach der Anweisung oben: b) Der Spiegelpunkt eines Punktes an einer Ebene Den Spiegelpunkt P eines Punktes P an einer Ebene e erhält man, wenn man den Lotfußpunkt L von P auf e bereits gefunden hat, so: Der Lotfußpunkt L mit Ortsvektor ist Mittelpunkt der Verbindungsstrecke von P und P ; also ist: Die Zeichnung stellt den Zusammenhang graphisch dar: Beisp: (Spiegelung eines Punktes an einer Ebene) Wir nehmen das Beispiel zur Bestimmung des Lotfußpunktes wieder auf und berechnen den Spiegelpunkt P des Punktes P(2/1/-5) an der Ebene e mit e: -2x - x + 3x = Der Lotfußpunkt L(-2/-1/1) ist bereits oben berechnet worden; mit Hilfe seines Ortsvektors und dem Ortsvektor von P berechnen wir P durch seinen Ortsvektor: 290

18 c) Die orthogonale Projektion einer Geraden in eine Ebene Man muss zur Berechnung der senkrechten Projektion g einer Gerade g in eine Ebene e zwei grundsätzlich verschiedene Lagen zwischen Geraden und Ebenen berücksichtigen. - Schneiden sich g und e in einem Punkt S, dann ist S gemeinsamer Punkt von e, g und g. Zur Ermittlung der Gleichung von g benötigt man einen zweiten Punkt T, der auf g liegt; diesen ermittelt man, indem von irgendeinem Geradenpunkt P, der nicht gleich S sein darf, das Lot in e fällt. - Verlaufen e und g parallel, dann besitzen g und g die gleiche Richtung. Zur Ermittlung der Punkt-Richtungsform der Geradengleichung von g benötigt man noch einen Punkt von g, den man findet, wenn man von irgendeinem Punkt auf g, zum Beispiel vom Aufpunkt, das Lot in e fällt. Die entsprechenden Zeichnungen findet man in den folgenden Beispielen. Beisp: (Projektion einer Gerade in eine Ebene, wenn Gerade und Ebene sich schneiden) Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene e durch: Gesucht ist die Projektion von g in e. Zur Lage: g und e verlaufen hier nicht parallel, denn der Normalenvektor von e und der Richtungsvektor von g sind nicht zueinander senkrecht, weil ihr Skalarprodukt nicht gleich 0 ergibt: Die Aufgabe hat also nebenstehende graphische Darstellung: Wir bestimmen zunächst S: Ein von S verschiedener Geradenpunkt auf g ist zum Beispiel P(2/2/3), den man erhält, wenn man in der Geradengleichung von g =1 setzt. Das Lot von P in e liefert, unter Zuhilfenahme der Lotgerade l, den Lotfußpunkt T: Also 291

19 Die gesuchte Gerade g erhält man als Verbindung von S und T: Beisp: (Projektion einer Gerade in eine Ebene, wenn Gerade und Ebene parallel verlaufen) Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene e durch: g und e sind hier parallel, denn der Normalenvektor von e steht zu dem Richtungsvektor von g senkrecht, weil ihr Skalarprodukt 0 ergibt: Also stellt sich die Aufgabe graphisch so dar: Die gesuchte Gerade g hat den gleichen Richtungsvektor wie g; zu berechnen ist also nur noch der Aufpunkt L von g, der sich ergibt, wenn mit Hilfe der Lotgeraden l vom Aufpunkt P(-2/1/1) der Geraden g das Lot in die Ebene e gefällt wird: Damit ergibt sich die gesuchte Projektionsgerade: d) Die Spiegelung einer Gerade an einer Ebene Analog zur Aufgabe Senkrechte Projektion einer Gerade in eine Ebene unterscheiden wir zwei Fälle: 292

20 - Falls die zu spiegelnde Gerade g und die Ebene e sich schneiden, ist S gemeinsamer Punkt der Geraden g, der Ebene e und der Spiegelgeraden g'. Einen weiteren Punkt von g findet man, wenn ein Punkt P auf g, der nicht gleich S ist, an e in einen Punkt P gespiegelt wird. g ergibt sich dann als Verbindungsgerade von P und S. - Falls die zu spiegelnde Gerade g und die Ebene e parallel verlaufen, weisen g und die Spiegelgerade g die gleiche Richtung auf. Einen Aufpunkt für g findet man, wenn man einen Punkt von g, zum Beispiel den Aufpunkt, an e in einen Punkt P spiegelt. Wir greifen in den beiden folgenden Beispielen die obigen Aufgaben zur Projektion einer Gerade in eine Ebene wieder auf: Beisp: (Spiegelung einer Gerade an einer Ebene, wenn Gerade und Ebene sich schneiden) Eine Gerade g und eine Ebene e sind gegeben: Gesucht ist die Spiegelgerade g von g an e entsprechend der Zeichnung oben. Wir haben früher bereits festgestellt, dass sich g und e im Punkt S(-1/3/0) schneiden; auch der Lotfußpunkt T des Lotes vom gewählten Punkt P(2/2/3) in e ist bereits berechnet. Damit ergibt sich der Spiegelpunkt P von P an e durch die Berechnung seines Ortsvektors, die Gleichung der Spiegelgerade g als Verbindung von P und S: Beisp: (Spiegelung einer Gerade an einer Ebene, wenn Gerade und Ebene parallel verlaufen) Gegeben sind eine Gerade und eine Ebene Gesucht ist die Spiegelgerade g von g an e. g und e sind, wie wir oben schon festgestellt haben, parallel. Also stellt sich die Aufgabenstellung graphisch so dar: Die gesuchte Gerade g hat den gleichen Richtungsvektor wie g; es ist also nur noch ein Aufpunkt von g, etwa der Spiegelpunkt P von P an e zu errechnen. Der Ortsvektor von P lässt sich aus dem Ortsvektor von P und dem Ortsvektor des oben schon ermittelten Lotfußpunktes L des Lotes von P auf e errechnen. Also: 293

21 e) Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade Sind g und P gegeben, dann nimmt man zur Ermittlung des Lotfußpunktes L eine Ebene e zur Hilfe, die senkrecht zu g ist und P enthält. Man erhält die Gleichung von e über die Punkt- Normalenform der Ebenengleichung, wenn man als Normalenvektor von e den Richtungsvektor von g und P als erforderlichen Punkt annimmt. L erhält man dann als Schnittpunkt von e und g. Das folgende Beispiel bezieht sich auf das hier in der Theorie erläuterte Verfahren: Beisp: (Lot eines Punktes auf eine Gerade) Gegeben sind ein Punkt P und eine Gerade g durch: Bestimme das Lot - man sagt auch: die Projektion - von P in g! f) Der Spiegelpunkt eines Punktes an einer Geraden Ist der Lotfußpunkt L des Lotes von einem Punkt P auf eine Gerade g bereits berechnet, dann erhält man die Koordinaten des Spiegelpunktes P von P an g so, wie man in vergleichbarer Situation Spiegelpunkte an Ebenen berechnet hat: Der Ortsvektor von P ergibt sich aus den Ortsvektoren von P und L durch: In Erweiterung des Beispiels Lot eines Punktes auf eine Gerade rechnet man also: 294

22 Beisp: (Spiegelpunkt eines Punktes an einer Gerade) Errechne den Spiegelpunkt P des Punktes P an g mit den Koordinaten Der Lotfußpunkt L(3/2,5/-2,5) ist bereits im vorangegangenen Beispiel berechnet. Daraus ergibt sich der Ortsvektor von P und damit P selbst: 13.7 Abstandsberechnungen Die Grundprobleme der Abstandsberechnung zwischen Punkten, Geraden und Ebenen sind: 1. Die Berechnung des Abstandes zweier Punkte 2. Die Berechnung des Abstandes eines Punktes von einer Ebene Andere Abstandsprobleme zwischen Punkten, Geraden und Ebenen werden auf die Lösung dieser Aufgaben zurückgeführt. a) Der Abstand zweier Punkte Wie man den Abstand zweier Punkte P und Q mit Hilfe ihrer Ortsvektoren errechnet, haben wir bereits bei der Untersuchung des Skalarproduktes herausgefunden: b) Der Abstand eines Punktes von einer Ebene Der Abstand d(p,e) eines Punktes P von einer Ebene e ist durch folgende Konstruktion bestimmbar: Ermittle den Lotfußpunkt L des Lotes von P auf e und rechne d(p,e) = d(p,l). Beisp: (Abstand eines Punktes von einer Ebene) Berechne den Abstand des Punktes P von der Ebene e mit: Wir berechnen den Lotfußpunkt L als Schnitt der Ebene e und der Gerade l, welche durch P und senkrecht zu e verläuft und mit dessen Hilfe den gewünschten Abstand. 295

23 Aus dem im Beispiel verwendeten konstruktiven Verfahren lässt sich eine Formel zur Berechnung des Abstandes eines Punktes von einer Ebene ermitteln, wenn man den Vorgang theoretisch nachvollzieht, wie es der Beweis des folgenden Satzes zeigt. Satz: (Abstand eines Punktes von einer Ebene) Ist eine Ebene e in allgemeiner Normalenform gegeben durch, dann berechnet man den Abstand d(p,e) von e zu P (Ortsvektor ) durch: Bew: Wir vergleichen die ermittelte Formel zur Berechnung des Abstandes eines Punktes P von einer Ebene e mit der HESSE-Normalengleichung dieser Ebene: 296

24 Man stellt erhebliche Ähnlichkeiten zwischen dem Term auf der linken Seite der HESSE-Gleichung und der ermittelten Formel fest; daraus ergibt sich folgende Faustregel zur Berechnung des Abstandes zwischen einer Ebene e und einem Punkt P: Setze in den Term der linken Seite der HESSE-Normalengleichung der Ebene e für den Unbekanntenvektor den Ortsvektor des Punktes P, rechne aus und bilde den Betrag der errechneten Zahl; der gefundene Wert bedeutet den Abstand von P und e. Mit Hilfe dieser Faustregel berechnen wir das schon konstruktiv gelöste Beispiel anders: Beisp: (Abstand eines Punktes von einer Ebene) Berechne den Abstand des Punktes P von der Ebene e mit: Wir bilden zunächst die HESSE-Normalengleichung der Ebene: Nun wird zur Berechnung des Abstandes von P und e der Ortsvektor von P in die linke Seite eingesetzt und der Betrag über den entstehenden Term gebildet: Aus der HESSE-Normalengleichung einer Ebene e lässt sich ihr Abstand zum Ursprung unmittelbar ablesen: Satz: (Abstand einer Ebene zum Ursprung) Ist eine Ebene in HESSE-Normalenform gegeben durch 0 dann berechnet man den Abstand d(e,o) von e zum Ursprung O durch d(e,o)= d. Bew: Aus der Herleitung der HESSE-Normalengleichung und der Formel zur Berechnung des Abstandes eines Punktes P zu einer Ebene e folgert man: 297

25 Beisp: (Abstand einer Ebene zum Ursprung) Berechne den Abstand von O zu folgender Ebene e mit Man berechnet die HESSE-Normalengleichung von e und liest ab: c) Der Abstand zweier Ebenen Der Abstand zweier Ebenen e 1 und e 2 errechnet sich, wenn man jeweils die Abstände der Ebenen zum Ursprung kennt, nach folgender Übersicht: (Abstand zweier Ebenen) Der Abstand zweier Ebenen e 1 und e 2 ist definiert als der kürzestmögliche Abstand, den irgend zwei Punkte P e und P e voneinander haben können Die einfachste Lösung dieses Abstandsproblems gibt der folgende Satz: Satz: (Abstand zweier Ebenen) Falls e 1 und e 2 nicht parallel sind, dann ist d(e 1, e 2 ) = 0 Falls e 1 und e 2 parallel sind, dann ist d(e 1, e 2 ) = d(a 1, e 2). Wenn beide Ebenen in HESSE-Form vorliegen, kann man den Abstand auch auf andere Weise bestimmen. Das Vorgehen orientiert sich an folgender Zeichnung: Man erkennt hier: Im Allgemeinen findet man folgenden Zusammenhang: 298

26 Satz: (Berechnung des Abstandes zweier Ebenen) Ob der Ursprung zwischen zwei parallelen Ebenen liegt oder nicht, erkennt man an den Normalenvektoren von e 1und e 2in der jeweiligen HESSE-Normalengleichung. Sind beide gleich, dann liegen die beiden Ebenen auf einer Seite des Ursprungs, sind Sie Gegenvektoren voneinander, dann liegen beide Ebenen auf verschiedenen Seiten des Ursprungs. Beisp: (Abstand paralleler Ebenen) Gegeben sind drei Ebenen e 1, e 2 und e 3 durch: Diese drei Ebenen sind jeweils parallel zueinander, weil die entsprechenden Normalenvektoren Vielfache voneinander sind. Die Länge der Normalenvektoren beträgt jeweils 7; also lauten die HESSE-Normalengleichungen der drei Ebenen: Man liest ab: d(e 1,O) = 2 d(e 2,O) = 1 d(e 3,O) = 3 Der Ursprung liegt zwischen e 1 und e 2, weil die entsprechenden Normalenvektoren Gegenvektoren voneinander sind. e 2 und e 3 liegen auf derselben Seite des Ursprungs, weil die beiden Normalenvektoren gleich sind; also gilt: d(e 1,e 2) = 2+1 = 3 d(e 1,e 3) = 2+3 = 5 d(e 2,e 3) = 3-1 = 2 d) Der Abstand eines Punktes von einer Gerade (Abstand eines Punktes von einer Gerade) Der Abstand eines Punktes P von einer Gerade g ist definiert als der kürzestmögliche Abstand, den irgendein Geradenpunkt von P haben kann. Damit liegt anschaulich auf der Hand, dass man den Abstand eines Punktes von einer Geraden mit Hilfe der Grundaufgabe Lot von einem Punkt auf eine Gerade berechnen kann. 299

27 Satz: (Abstand eines Punktes von einer Gerade) Der Abstand d(p,g) eines Punktes P von einer Gerade g ist gleich dem Abstand d(p,l) von P zum Lotfußpunkt L des Lotes von P auf g. Wir nehmen das Beispiel zur Grundaufgabe Lot von P auf g wieder auf und rechnen: Beisp: (Abstand eines Punktes von einer Gerade) Gegeben sind ein Punkt P und eine Gerade g durch: Berechne den Abstand von P und g! Der Lotfußpunkt L(3/2,5/-2,5) des Lotes von P auf g ist früher bereits berechnet. Damit ergibt sich für den Abstand von P und g: e) Der Abstand einer Gerade von einer Ebene (Abstand einer Ebene von einer Gerade) Der Abstand einer Ebene e von einer Gerade g ist definiert als der kürzestmögliche Abstand, den irgendein Geradenpunkt von e haben kann. Rechnerisch ergibt sich damit folgende Anweisung zur Berechnung des Abstandes einer Ebene: Satz: (Abstand einer Ebene von einer Gerade) Der Abstand d(e,g) einer Ebene e von einer Gerade g mit Aufpunkt A g ist: Beisp: (Abstand einer Ebene von einer Gerade) Gegeben sind zwei Geraden g 1 und g 2 und eine Ebene e durch: 2 2 g und e verlaufen nicht parallel, weil der Normalenvektor von e und der Richtungsvektor von g nicht zueinander senkrecht stehen, denn das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren ergibt nicht 0. g 2 und e besitzen also einen Schnittpunkt; ihr Abstand ist

28 Der Richtungsvektor von g 1 verläuft senkrecht zum Normalenvektor von e, denn ihr Skalarprodukt ergibt 0; also ist g 1 parallel zu e. Der Abstand von g 1und e errechnet sich also aus dem Abstand des Aufpunktes von g zu e. 1 f) Der Abstand zweier Geraden (Abstand zweier Geraden) Der Abstand d(g 1,g 2) einer Gerade g 1 von einer Gerade g 2 ist definiert als der kürzestmögliche Abstand, den zwei Punkte P g und P g haben können Die Berechnung des Abstandes zweier Geraden orientiert sich an möglichen Lagen der beiden: Satz: (Abstand zweier Geraden) Sind zwei Geraden g 1 mit Aufpunkt A g1 und g 2 gegeben, und sind außerdem für den Fall, dass g 1 und g 2 windschief sind, zwei parallele Ebenen e 1 und e 2 so gebildet, dass e 1 die Gerade g 1 und e 2 die Gerade g 2 enthält, dann berechnet man den Abstand d (g 1, g 2 ) der beiden durch: Das Vorgehen im windschiefen Falle wird durch die folgende Skizze illustriert: Beisp: (Abstand zweier Geraden) Gegeben sind drei Geraden durch: g 1und g 2haben den gemeinsamen Punkt P(1/1/0), wie man sieht, wenn man für =0 und =-1 setzt; also ist der Abstand von g zu g gleich

29 g 1 und g 3 sind parallel, weil Sie denselben Richtungsvektor aufweisen. Also ist der Abstand von g1 und g 3gleich dem Abstand des Aufpunktes von g 1zu g 3. Die zugehörige Rechnung wird analog zum entsprechenden früheren Beispiel durchgeführt. g 2 und g 3 sind windschief. Zur Berechnung des Abstandes dieser beiden Geraden bilden wir eine Ebene e 2, welche g2 ganz enthält, und als zweite Richtung den Richtungsvektor von g3 aufweist, sowie eine Ebene e 3, welche g3 ganz enthält, und als zweite Richtung den Richtungsvektor von g2 aufweist. Diese beiden Ebenen erfüllen den Anspruch, parallel zu sein, weil beide die gleichen Richtungsvektoren aufweisen. Die Berechnung ihres Abstandes, der gleich dem gesuchten Abstand der beiden Geraden g 2 und g 3 ist, erfolgt dann über die entsprechenden HESSE- Normalengleichungen Winkel zwischen Geraden und Ebenen a) Der Winkel zwischen zwei Geraden Beim Schnitt zweier Geraden erhält man zwei Paare von Scheitelwinkeln. Man muss also festlegen, welcher der in Frage kommenden beiden Winkel der Schnittwinkel sein soll. (Schnittwinkel zweier Geraden) Schneiden sich zwei Geraden rechtwinklig, beträgt der Schnittwinkel 90. Schneiden sie sich nicht rechtwinklig, nennt man den kleineren der beiden Scheitelwinkel, die entstehen, Schnittwinkel von g und g. 1 2 Dass der Schnittwinkel zweier Geraden vom Verlauf der Richtungen der beiden Geraden abhängt, ist anschaulich klar; rechnerisch findet man: 302

30 Satz: (Schnittwinkel zweier Geraden) Ist der Schnittwinkel zweier Geraden g 1 und g 2 mit Richtungsvektoren und, dann gilt: Bew: Der Winkel zwischen den beiden Geraden g 1 und g 2 ist gleich dem kleineren der beiden möglichen Winkel zwischen deren Richtungsvektoren. Aus den Rechenregeln für das Skalarprodukt weiß man über den Winkel zwischen den Richtungsvektoren: Erhält man aus dieser Formel für cos eine positive Zahl oder 0, dann ist 0 90 und ist mit gleichzusetzen. Findet man dagegen für cos eine negative Zahl, dann ist 90< 180 und ist der Komplementwinkel zum Winkel ; also = Da aber dann cos = cos (180- ) = -cos, gilt auch hier die behauptete Formel. Beisp: (Die winkelhalbierenden Geraden zu zwei sich schneidenden Geraden g 1 und g 2) Berechne die Gleichungen der beiden winkelhalbierenden Geraden Die Zeichnung weist darauf hin, dass ein gemeinsamer Punkt aller vier Geraden der Schnittpunkt S(1/1/0) von g 1 und g 2 ist. Außerdem erkennt man - unter Erinnerung an die Berechnung eines winkelhalbierenden Vektors im Allgemeinen-, dass sich die Richtung der winkelhalbierenden Gerade g aus, die der winkelhalbierenden Gerade g aus errechnet. 3 4 Die Rechnung ergibt folgende Zahlen: 303

31 Also ist b) Der Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene (Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene) Der Schnittwinkel zwischen einer Gerade g und einer Ebene e ist definiert als der Winkel zwischen g und der Projektionsgerade g' von g in e. Mit dieser Definition ist das Problem zurückgeführt auf das schon gelöste Problem der Winkelmessung zwischen zwei Geraden. c) Der Winkel zwischen zwei Ebenen (Winkel zwischen zwei Ebenen) Sind e 1 und e 2 zwei sich schneidende Ebenen, dann ist deren Schnittwinkel gleich dem Schnittwinkel zweier Geraden g e und g e Da die beiden Richtungsvektoren der in der Definition angesprochenen Geraden g 1und g 2 gleich den Normalenvektoren von e und e sein müssen, rechnet man: 1 2 Satz: (Winkel zwischen zwei Ebenen) Ist der Schnittwinkel zweier Ebenen e 1 und e 2 mit Normalenvektoren,, dann gilt: Beisp: (Die winkelhalbierenden Ebenen zu zwei sich schneidenden Ebenen e 1 und e 2) Gegeben sind die beiden Ebenen Gesucht sind deren winkelhalbierende Ebenen. Wir wählen hier - aus Interesse - einen anderen Zugang als bei der Ermittlung von winkelhalbierenden Geraden und stellen fest: Winkelhalbierende Ebenen bestehen aus all denjenigen Punkten, die von den beiden gegebenen Ebenen den gleichen Abstand aufweisen. Also alle Punkte X mit Ortsvektoren, die folgende Bedingung erfüllen: 304

32 Also ergeben sich zwei winkelhalbierende Ebenen e 3 und e 4: e 3 und e 4 entstehen also durch Subtraktion beziehungsweise Addition der beiden Hesse- Normalenformen von e 1und e 2. Das Ergebnis deckt sich analog mit den Ergebnissen der Herleitung der winklelhalbierenden Geraden zu einem gegebenen Geradenpaar. Die Rechnung in Zahlen ergibt mit den Hesse-Normalenformen der Ebenen e 1 und e