Übungen 4 Gerade, Ebene - Kurze Aufgaben Ebene: Spurpunkte, Spurgerade, Achsenabschnittsform Gerade, Ebene U04 Übungen 4 - Seite 1 (von 5)

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1 Übungen Gerade, Ebene - Kurze Aufgaben ) Gesucht ist Normalenform einer Ebene, die den Punkt P( ) enthält und auf der x- Achse senkrecht steht. ) Gegeben ist die Ebene E: x ( Gesucht ist der Winkel zwischen E und g. ) = und die Gerade g: x = ( 7 ) Eine Ebene enthält die Punkt A( ), B(- ) und C( - ). Gesucht sind zwei mögliche Koordinatengleichungen der Ebene -mit gleichem Aufpunkt. ) Gegebene Punkte A( 7) und B(- ). Gesucht die Gleichung der Geraden, die durch den Mittelpunkt zwischen A und B geht und senkrecht auf der Verbindungslinie AB steht. Ebene: Spurpunkte, Spurgerade, Achsenabschnittsform ) Gesucht sind die Schnittpunkte der Ebene E: x + y + z = mit den Koordinatenachsen. Angabe: Spurpunkte und zusätzlich Spurgeraden, Achsenabschnittsform Gerade, Ebene ) Gegeben sind die beiden Geraden g : x = ( ) + s ( Gesucht ist der Abstand zwischen beiden Geraden. ) und g : x = ( 7) Gegeben sind jeweils Ebenen, gesucht ist jeweils der Abstand. a) E : x = ( ) + r ( ) + s ( 7 ); E : x = ( b) E : wie bei a) E : x = ( b) E : wie bei a) E : x = ( ) ) ) 9 ). 8) Gegeben sind parallele Ebenen. E enthält die Punkt A( ), B( ) und C(-,,). In Ebene E liegt eine Gerade g. Deren Aufpunkt liegt in Richtung der Normalen auf E mit einem Abstand zum Punkt A von E. Ein zweiter Punkt der Geraden liegt mit demselben Abstand auf einer Normalen zum Punkt B. Gesucht ist die Gleichung der Geraden g (aller Geraden, falls es mehrere gibt). ). U Übungen - Seite (von )

2 c ), c - irgendeine (reelle) Konstante Man kann auch fordern, dass als Vektor für die Achse der Einheitsvektor benutzt werden soll. Dann ist c =. c E: (x - a) n = [x ( )] ( ) = ) Vektor in Richtung der x-achse: ( ) Am sinnvollsten ist die Anwendung einer vorhandenen Formel! (siehe L) sin( ) = n u / { n u }; n Normale auf die Ebene, u Richtungsvektor der Geraden n u = ( ) ( ) = -8; n = = ; ; u = = 9 sin( ) = 8 /,97, ) Punkte: A( ), B(- ), C( - ) Richtungsvektoren: u = b - a = ( Normale: u x v = = ), v = c - a = ( ) = i - j + k = - i - j + 7 k = ( a n = ( ) ( 7 ) 7 = ) = = 9 Für. Form gleiches a, anderes n, z.b. Doppeltes. Dann auch a n doppelt so groß. Koordinatengleichung: x n x + y n y + z n z = a n E: - x - y + 7 z = 9 E: - x - y + z = 8 ) Punkte: A( 7), B(- ). Mittelpunkt M(- ); Richtungsvektor u = b - a = ( ); Normale n = ( ) Gerade g: x = ( ) ) Spurpunkte und Spurgeraden Spurpunkte Schnittpunkte der Ebene mit den Achsen Spurgeraden Verbindungsgeraden der Spurpunkte damit auch Schnittgeraden der Ebene mit den Koordinatenebenen Am schnellsten (und sinnvollsten) ist die Rechnung in der Koordinatenform der Ebene. E: x + y + z =. Ein Punkt auf der x-achse hat die y- und z-koordinate, also P(x ). Eingesetzt in die Ebenengleichung folgt x =. Schnittpunkt mit der x-achse ist S X ( ). U Übungen - Seite (von )

3 Analog mit y = S Y ( ) und mit z = S Z ( /). Die Geraden durch jeweils Spurpunkte: Verbindet man so S X und S Y liegt die Gerade in der X-Y-Ebene. Die Spurgerade g XY ist damit auch die Schnittgerade der Ebene E mit der X-Y-Koordinatenebene. g XY : x = a + t (b - a) = ( In gleicher Weise: g XZ : x = ( ) = ( ) / ) und g YZ : x = ( ) / Man kann auch Ax + By + Cz = D durch D dividieren. Dann folgt E: x / (D/A) + y / (D/B) + z / (D/C) =. Dann ist der Nenner jeweils gleich dem Spurpunkt: D/A S X, D/B S Y, D/C S Z. Diese Darstellung der Ebene nennt man die Achsenabschnittsform. E: x / + y / + z / (/) = Ergänzung: NICHT ein anderer Rechenweg - NUR zur Vertiefung! Die Spurgerade ist die "Schnittgerade der Ebene E mit einer Koordinatenebene". Die "direkte Umsetzung" liefert auch die Spurgeraden. E: (x - a) n = x n = a n; n = ( ); a n = X-Y-Ebene: Normale ist die z-achse, n = ( k ); k (reelle) Konstante, k Als Aufpunkt am Einfachsten der Koordinatenursprung, O( ). Damit a n =. Gleichungssystem: [] x + y + z = [] x + y + k z = Aus [], wegen k, z =. In [] als freier Parameter y = t x + t = x = - t Aufgespalten und geordnet: x = ( ) und mit der Wahl t = : ( Es folgt dieselbe Spurgerade, wie direkt und einfacher aus den zwei Spurpunkten. ) Ergänzung: nicht vorgeschlagener Rechenweg für E in der Parameterform Eine mögliche Parameterform ist E: x = ( 8 Gleichsetzen eines Punkts P(x ) und x liefert ein Lineares Gleichungssystem (analog für y, z) P(x ): [] x = - + 8s + t; [] y = = + s; [] z = = - s - t []: s = -; in []: t = + = t = /; in []: x = = S X ( ) P( y ): [] x = = - + 8s + t; [] y = + s; [] z = = - s - t [] + []: - + t = t = /; in []: s = - t = ; in []: y = + S Y ( ) ) U Übungen - Seite (von )

4 P( z): [] x = = - + 8s + t; [] y = = + s; [] z = - s - t []: s = -; in []: t = - 8s = t = /; in []: z = + - / = / S Z ( /) ) g : x = a + s u = ( ); g : x = ( 9 ) Bevor man sofort losrechnet (Lineares Gleichungssystem) sollte man auf die Sonderfälle prüfen! a) Es mit einem Blick erkennbar, dass u(g ) = - u(g ). Die Geraden sind parallel. b) a(g ) + u(g ) = a(g ) ein Punkt auf g liegt auch auf g identische Geraden Dafür: Abstand = 7) Eine Möglichkeit ist, jeweils mit x(e ) = x(e ) ein Lineares Gleichungssystem zu lösen. Schneller ist, in der Normalenform zu arbeiten. ) + r ( ) 7 n = u x v = = i 7 - j 7 + k = 7 = - i - j - k = ( ) ) + q ( ) n = u x v = = i - j + k = = - i - j - k = ( ) ) + q ( ) u x v enthält nur eine Vertauschung der Zeilen, n ist daher gleich dem n von a). E : x = ( a) E : x = ( b) E : x = ( c) E : x = ( n = u x v = ) + q ( ) = i = - i - j - k = ( - j + k ) = Parallele Ebenen E und E bei a) und b). Nicht parallel bei c) E und E schneiden sich, also Abstand = Bei a) und b) muss nun untersucht werden, ob die Ebenen identisch sind. (Liegt ein Punkt der einen Ebene auch in der anderen?) Einsetzen eines Punkts von E - z.b. des Aufpunkts - in E - am einfachsten in der Normalenform. U Übungen - Seite (von )

5 E : (x - a) n = (b - a) n =? (Für einfachere Rechnung kollinearen Vektor -n benutzt.) a) [( b) [( ) ( )] ( ) = ( ) ( ) ( )] ( ) = ( ) ( ) = ) = - a) identische Ebenen, also Abstand = b) parallele Ebenen, es gibt einen Abstand. Berechnung "Punkt/Ebene" d = (p - a) n o - als p am einfachsten den Aufpunkt von E n = + + = ; schon berechnet (b - a) n = - b) Abstand d = / 8) E : Punkte A( ), B( ) und C(-,,). E : Aufpunkt A, Richtungsvektoren AB und AC E : x = a + r v + s w = ( Normale: v x w = ) + r ( ) = i - j + k = - i - j + k = ( ) = E hat dieselbe Normale. Die Gerade g in dieser Ebene sei g: x = f + t u Der Aufpunkt F liegt auch auf der Geraden g N : f = a + q n. Als "Abstandsproblem" haben wir (Hesse-Normalenform): Punkt A zur Ebene E. E hat den Aufpunkt a + q n und die Normale n. d = [a - (a + q n)] n o = - q n n / n = ; n n = = ; n = 7 q = Aufpunkt F: f = ( ) ( ) f = ( ); f = ( ) 7 Den. Punkt H der Geraden können wir analog bestimmen - wenn wir das wollen (s.u.!) 8 h = b + q n h = ( ) ( ) h = ( ); h = ( ) Alternativ liegt H bei f + v, weil B bei a + v liegt. h = ( ) + ( ) = ( ); h = ( 7 8 ) + ( ) = ( ) 7 Und schließlich hätten wir uns die Berechnung des. Punkts H gänzlich sparen können! Gefragt ist nur die Gerade g. Deren Richtungsvektor u ist gleich h - f, also v! Relativ zur Ebene E gibt es parallele Ebenen mit dem gleichen Abstand, also auch darin liegende Geraden g. g : x = ( ); g : x = ( 7 7 ) U Übungen - Seite (von )