5. Ebenengleichungen. Dr. Fritsch, FGG Kernfach Mathematik Klasse 11-A18

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1 5. Ebenengleichungen Eine Ebene im Raum wird durch einen Punkt und zwei nicht parallele Richtungsvektoren bzw. durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, eindeutig festgelegt. vektorielle Parametergleichung: + + : Punktrichtungsgleichung : = + + : Dreipunktegleichung mit dem Stützvektor OA und den Richtungs-/Spannvektoren u, bzw., AB und mit den reellen Ebenenparametern, z x y Beispiel: 3 Punkte &1 0 3+,& ,& definieren eine Ebene. Stützvektor: 1 =/ 00 3 Richtungsvektoren: =/ vektorielle Ebenengleichung: Übung: LB KL. 11, S. 19, Nr. HA: LB Kl. 11, S. 0, Nr =/ 00, =/ =/ =/ 00+ / 00+ / Das Vektor-/Kreuzprodukt der Richtungsvektoren = und = der Ebene wird als ein Normalenvektor 3 der Ebene bezeichnet, wobei 4 ^ und 4 ^. : = + + = + 9

2 6 7 4 =& = =0 Normalengleichung einer Ebene: 9 : 4 =0 mit dem Stützvektor und einem Normalenvektor Beispiel: vektorielle Parametergleichung =/ 00+ / 00+ / Normalenvektor: 4 =/ 00 / 50=/ Normalengleichung: : < / 00= / 90=0 3 0 Übung: LB Kl. 11, S., Nr. 8 Multipliziert man in der Normalengleichung der Ebene die Klammer im Skalarprodukt aus, so erhält man die Koordinatengleichung einer Ebene: bzw. +>+?=@ mit einem Normalenvektor 4 =/ Beispiel: Normalengleichung : < / 00= / 90= =1 5+0 & =65 Koordinatengleichung: Übung: LB Kl. 11, S. 6, Nr >+0?=65 HA: LB Kl. 11, S. 7, Nr. 14, 18 Dividiert man die Koordinatengleichung durch der rechten Seite, so entsteht mit B= C D, E= C F, G= C H die sogenannte Achsenabschnittsgleichung einer Ebene: 10 I J +K L +M N =1 mit den Achsenschnittpunkten O I &B 0 0+, O K &0 E 0+ und O M &0 0 G+ Beispiel: Koordinatengleichung : 5 9>+0?=65 65 QI RQ SK RQ +TUM RQ =1 Achsenabschnittsgleichung: Achsenschnittpunkte: Kürzen: HA: LB Kl. 11, S. 6, Nr. 13 I VW K XY Z + M [\ ] =1 O I & , O K^0_ RQ S _0`, O M&0 0 VW a +

3 6. Lagebeziehungen bei Ebenen 6.1. Die Lage von Punkt und Ebene Die Lagebeziehung eines Punktes b zu einer Ebene wird durch die Punktprobe (Einsetzen des Punktes in die Ebenengleichung) geklärt. Beispiel: Übersicht zu Lagebeziehungen von Punkt und Ebene Form der Gleichung von c Gleichung von c d& e fg g+ liegt auf c Vektorform Normalform =/ 00+ / 00+ / 50 / 100=/ 00+ / 00+ / für =1 und = (als Lösung des linearen Gleichungssystems) < / 00= / 90=0 </ 100 / 00= / 90= bzw. & & & 9++&0 3+ 0=0 Koordinatenform 5 9>+0?=65 5 & 5+ 9 & =65 Achsenabschnittsform Übung: LB Kl. 11, S. 9, Nr.1, 13 > ? 13 4 =1 Beispiel: Lage von Punkt und geometrischer Figur (Parallelogramm) Vier Punkte &3 0 5+, &4 4 1+, & bilden ein ebenes Parallelogramm im Raum. (a) Zu untersuchen ist, ob der Punkt b&1 3+ innerhalb des Parallelogramms liegt oder nicht. & & =1

4 (b) Zu prüfen ist auch, ob sich der Punkt b&1 3+ innerhalb des oder innerhalb des befindet. 3 1,3 vektorielle Ebenengleichung: / 00k / 40 / 00 5, ,3 Punktprobe (b?): / 0/ 00k / 40 / ,4 0, 1,3 (a) Das lineare Gleichungssystem / 0k / 40 / 00 liefert die Parameter-,,4 0 werte k V und T Q. Beide Parameterwerte liegen im Intervall m0 ;1o, so dass der Punkt R b&1 3+ im Parallelogramm liegt. (b) Um im zu liegen, muss die Summe der Parameter ebenfalls im Intervall m0 ;1o liegen. Hier ist aber k V T Q p q1. Also liegt b im R R 6.. Die Lage von Gerade und Ebene Geradengleichung für r: k s b Parametergleichung der Ebene : t bzw. Koordinatengleichung der Ebene : mit dem Normalenvektor 4 / 0 Untersuchungsschema: >?@ ja Sind g und c parallel? (s 40) nein ja Gilt g c? (Punktprobe: t g b ) nein Schneiden sich g und c? (g in einsetzen) g liegt in (g ). g und E sind echt parallel (g, g ). g und schneiden sich (g = {S}). 1

5 Beispiel: Untersuchung der Lage der Ebene : 3>+5?= 9 mit dem Punkt t&1 1+ und zu den Geraden r: =/ 00+k / 60, h: =/ 0+k / 40, z: =/ 0+k / Unter Beachtung von = > } und 4 =/ 30 betrachtet man? 5 4 r und : s 4 =/ 60 / 30= 76 0, d.h. r G, also r schneidet Schnittpunkt/Durchstoßpunkt: O&0 3 0+, weil 3>+5?=& 4k+ 3&0+6k++5&5 10k+=9 76k= den Parameter k=0,5 für =/ O 00+0,5 / 60=/ 30 liefert h und : s 4 =/ 40 / 30=0, d.h. r. 5 Punktprobe: / 0=/ 0+k / Gerade h in der Ebene. z und : Punktprobe: z.b. t&1 1+ in h einsetzen k = 1 k = 1 k = 1 1 s 4 =/ 10 / 30=0, d.h. r. 1 5 z.b. b&7 3+ in einsetzen "=", d.h. t h und damit liegt die 7 3 & ++5 & 3+=5 9, d.h. b und damit sind die Gerade z und die Ebene E echt parallel. Übung: LB Kl. 11, S. 33, Nr. 8 HA: LB Kl. 11, S. 33, Nr. 6.(a-b), 7.(a-c) 13

6 Schnittwinkel von Ebene und Gerade r: ƒ =_ 3 3 mit der Ebene : = + + b V : Parametergleichung +>+?=@ : Koordinatengleichung,, mit dem Normalenvektor 4 = =/ 0 und der Geraden r: = +k s b T _ Beispiel: Ebene : 3>+5?= 9 4 Gerade r: =/ 00+k / Schnittwinkel: Œ = &, r+ = arcsin& T Ža / ŽW0 / R0 Q ŽVU T Ža / ŽW0 / R0 Q ŽVU +=arcsin&_ Ž R _+=90 Wp VQT 6.3. Die Lage von Ebene und Ebene Ebenengleichungen: V : = + b V + V V : Parametergleichung +>+?=@ : Koordinatengleichung,, mit dem Normalenvektor 4= V V =/ V 0 T : = + b T + T T : Parametergleichung B+E>+G?= : Koordinatengleichung,, B mit dem Normalenvektor 4= T T = T E} G 14

7 Untersuchungsschema: Sind die Ebenen c f und c parallel? ( 4 V 4 T ) Sind die Ebenen c f und c identisch? [Punktprobe: b V T oder b T V ] Die Ebenen c f und c schneiden sich. [Schnittgerade r: V = T Schnittwinkel Œ: ( V, T ) = (4 V,4 T )] c f und c identisch c f und c echt parallel Beispiel: Lagebeziehungen einer Ebene ( =,3,4) zur Ebene V :,1,1,1,1,1 / 00 / 00 / 40 mit 4/ V 00/ 40/,30,1,3>,4?,4 3 0,4 T : >?8 mit 4/ T 10,1 V T 4 V 4 T? 4/ V,30 / 10 4 T,4,6,3, d.h. die Ebenen sind nicht parallel und schneiden sich damit mit der Schnittgeraden r: V in T einsetzen: &,, +&4 +& , 4 4 4, 4,4 4,... mit dem Geradenparameter,1,1 in V einsetzen: / 00 / 00&, + / &,1+,1, &, r: / / 0, 4 0/ 80 /,80... Schnittgerade 0 0 3, W : 13>4?4 mit 4/ W 30 4 "~" 15

8 V W 4 V 4 W? d.h. die Ebenen sind parallel. 1 1 =/ 4 V 30= / 30= 4 W 4 4 = 1 = 1 "=" = 1 b V & 0 0+ in W einsetzen ( Punktprobe ): =4 4=4 w.a. d.h. wegen b V W sind beide Ebenen identisch. 1 a : 1+3>+4?=33 mit 4=/ a 30 4 V a 4 V 4 a? d.h. die Ebenen sind parallel. 1 1 =/ 4 V 30= / 30= 4 a 4 4 = 1 = 1 "=" = 1 b V & 0 0+ in a einsetzen ( Punktprobe ): =33 4=33 f.a. d.h. wegen b V a sind beide Ebenen echt parallel. Als Spurgeraden bezeichnet man die Schnittgeraden einer Ebene mit der xy-ebene (?=0), der xz-ebene (>=0) und der yz-ebene (=0+. Schnittwinkel zweier Ebenen: œ =_ 3 f 3 _ 3 f 3 mit dem Normalenvektor 4 V der Ebene V und dem Normalenvektor 4 T der Ebene T. 1 Beispiel: V : 1 3> 4?= 4 mit 4=/ V 30 4 T : +>+?=8 mit 4=/ T 10 & V, T += &4,4 V + T = arccos ŽVT T / ŽW0 / V0 Ža T ŽVT T / ŽW0 / V0 Ža T ŽWQ =arccos =6,18 VRS S Übungen: LB Kl. 11, S. 66, Nr. 11, 1 16

9 7. Abstandsberechnungen Abstand zweier Punkte b V & V > V? V + und b T & T > T? T +: &b V,b T +=žbž=ÿ& V b T V T + T +&> V > T + T +&? V? T + T 7.1. Abstand Punkt Gerade gegeben: Punkt b U & U > U? U + und Gerade r: = +k b V Vorgehensweise: (1) Bestimmung der Normalengleichung einer Hilfsebene H, welche orthogonal zur Gerade r ist und den Punkt b U enthält () Berechnung des Lotfußpunktes als Schnittpunkt der Geraden r mit der Ebene H (3) Abstandsberechnung: &b U,r+= &b U, +=žb ž U 1 1 Beispiel: r: =/ 70+k / 0 und b U & Hilfsebene : < / 0= / 0=0 mit r ^ Lotfußpunkt (r ): </ 70+k / 0 / 0= / 0=</ 90+k / 0= / 0= k=0 k= VR Q = 3, 1 1, =/ 70 3, / 0=/ 0,60 &, 0, , Abstand: &b U,r+= &b U, += /,6 0 =Ÿ& 5,+ T +,6 T +0 T =5,81 LE 0 Übung: LB Kl. 11, S. 76, Nr Abstand Gerade Gerade gegeben: Geraden r V : = +k b V V und r T : = +k b T T Abstand paralleler Geraden: Da parallele Geraden überall den gleichen Abstand haben, nimmt man den Punkt b T von r T und berechnet den Abstand &b T,r V +wie in Beispiel: r V : =/ 70+k / 0 und r T : =/ 00+ / 0 (r V r T )

10 3 1 Hilfsebene : < / 00= / 0=0 mit r ^ Lotfußpunkt (r ): </ 70+k / 0 / 00= / 0=</ 70+k / 0= / 0= k=0 k= VT Q =, ,4 =/ 70,4 / 0=/,0 & 1,4, ,4 Abstand: &r V,r T += &b T, += /,0 =Ÿ& 4,4+ T +, T +3 T =5,76 LE 3 Abstand windschiefer Geraden: &r V,r T +=_ [ & [ [ Beispiel: r V : =/ 30+k / 0 und r T : =/ 0+ / &r V,r T += ažs ŽR a / TŽW0 / T0 / V0 VŽp V ŽW ŽR a / T0 / V0 V ŽW = ŽQ Ž / ŽV0 / ŽVa0 Ž ŽVa Ž / ŽVa0 ŽVa + =_ Va _=7 LE aav _ Übungen: LB Kl. 11, S. 77, Nr. 14(b).I und S. 81, Nr Abstand Punkt Ebene HESSEsche Normalform einer Ebene c: mit dem Normaleneinheitsvektor 4 U = Abstand eines Punktes d g von einer Ebene c: 9I Ž : [ = DI FK HMŽC D F H V / 0 ( 4 =1) U ª + + =0 &b U,+=«9 b U : b V 4 4 &b U,+=_ T W V T T VŽp _=_ T T V T S _=T 0,67 LE W 18 «= U+> U +? T + T + T Beispiel: : +>+?=8 mit 4=/ 10 und b U &3 1+

11 Übung: LB Kl. 11, S. 73, Nr Abstand Gerade Ebene bzw. Ebene Ebene bei der Abstandsbetrachtung von zwei parallelen Ebenen bzw. von einer Gerade parallel zu einer Ebene reduziert sich das Problem auf die bereits unter 7.3. betrachteten Abstandsberechnung eines Punktes von einer Ebene mittels der HESSEschen Normalform (HNF) der Ebene dafür wird der Punkt b V aus der Geradengleichung von r bzw. aus der Ebenengleichung von V in die HNF der Ebene T eingesetzt: r: = +k s b V V : = + b V + V V &r, T +=_ 9 Ž [ : =_ DI [ FK [ HM [ ŽC _ D F H _ T : = + b T + T T mit 4= T T =/ T 0 & V, T +=_ 9 Ž [ : _. =_ DI [ FK [ HM [ ŽC _ D F H 1 1 Beispiel: V : =/ 00+ / 00+ / 40 mit b V & 0 0+ und T : 1+3>+4?=33 mit 4=/ T 30 4 HNF von T : VTI WK amžww VRS =0 & V, T +=_ VT T W U a UŽWW _= ŽS 0,7 LE VRS VW komplexe Übungsaufgaben: LB Kl. 11, S