Grundwissen. 2.Aufstellen von Geradengleichungen: Man nimmt einen Startvektor und bildet aus 2 Punkten einen Richtungsvektor!

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Gundi Siegel
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1 Grundwissen 1.Aufstellen eines Vektors: Merkregel: Spitze minus Fuß! 2.Aufstellen von Geradengleichungen: Man nimmt einen Startvektor und bildet aus 2 Punkten einen Richtungsvektor! 3.Aufstellen von Ebenengleichungen (in Parameterform): Man nimmt einen Startvektor und bildet aus 3 Punkten 2 Richtungsvektoren!

2 4.Überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt? Punkte in Gerade einsetzen und überprüfen, ob für ein Lambda alle 3 Gleichungen stimmen! 5.Überprüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt? Punkt in Ebene einsetzen und überprüfen, ob die Gleichung stimmt! 6.Überprüfen, ob Vektoren linear abhängig sind? Schauen, ob sie ein Vielfaches voneinander sind! 7.Überprüfen ob Vektoren senkrecht zueinander stehen? Das Skalarprodukt der Vektoren müsste 0 ergeben! 8.Einen Vektor bestimmen, der zu 2 Vektoren gleichzeitig senkrecht steht: Vektorprodukt der beiden Vektoren bilden Lösung ist senkrechter Vektor! 9.Winkel zwischen Vektoren berechnen: 10.Länge eines Vektors berechnen: 11.Gleichungssystem mit maximal 3 Gleichungen lösen: Unbekannte so auflösen, dass alle 3 Gleichungen wahr sind 12. Umformung von Parameterform Koordinatenform bei den Ebenen

3 1.Gerade Gerade A parallel identisch Lage zueinander von: Echt parallel B nicht parallel schneiden sich windschief 2.Gerade Ebene A parallel Gerade in Ebene Echt parallel B nicht parallel schneiden sich 3.Ebene Ebene A parallel identisch Echt parallel B nicht parallel schneiden sich Falls wir uns im Schnittfall befinden, können wir bei: 1. den Schnittpunkt und Schnittwinkel berechnen 2. den Schnittpunkt und Schnittwinkel berechnen 3. die Schnittgerade und den Schnittwinkel berechnen Vorgehensweise: -Wir überprüfen in beiden Fällen zuerst ob wir uns in A oder B befinden -Dann überprüfen wir(falls notwendig) welcher der beiden übrigen Fälle vorliegt -Sollten wir uns im Schnittfall befinden, können nun noch Schnittpunkt/Schnittgerade und den Schnittwinkel berechnet werden

4 1. Gerade Gerade A oder B: Wir überprüfen, ob die beiden Richtungsvektoren der Geraden linear abhängig sind. Wenn ja A Wenn nein B Fall A(parallel): Wir überprüfen ob der Startpunkt der einen Geraden auf der anderen Geraden liegt. Wenn ja identisch Wenn nein Echt parallel Fall B(nicht parallel): Wir setzen die Geraden gleich und erhalten ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 2 Unbekannten. Wir überprüfen nun, ob dieses Gleichungssystem für ein bestimmtes Lambda und ein Mü lösbar ist. Wenn ja schneiden sich Wenn nein windschief Beispiel: Richtungsvektoren sind linear unabhängig Fall B Gleichsetzen Gleichungen sind für und lösbar schneiden sich

5 2. Gerade Ebene A oder B: Wir überprüfen, ob der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor senkrecht zueinander stehen. Wenn ja Fall A Wenn nein Fall B Fall A(parallel): Wir überprüfen nun, ob der Startpunkt der Gerade in der Ebene liegt. Wenn ja Gerade liegt in der Ebene Wenn nein Echt parallel Fall B(nicht parallel): Fertig, da sich Gerade und Ebene schneiden müssen. Beispiel: a) b)

6 3. Ebene Ebene A oder B: Wir überprüfen, ob die beiden Normalenvektoren der Ebenen linear abhängig sind. Wenn ja Fall A Wenn nein Fall B Fall A(parallel): Wir überprüfen nun, ob ein beliebiger Punkt der Ebene(1) in der Ebene(2) liegt. Wenn ja identisch Wenn nein Echt parallel Fall B(nicht parallel): Fertig, da sich die Ebenen schneiden müssen. Beispiel: E1: E2: A oder B: Normalenvektoren sind linear unabhängig Fall B Ebenen schneiden sich

7 Schnittpunkte/Schnittgeraden bestimmen 1.Gerade Gerade Wenn man weiß, dass es einen Schnittpunkt gibt, hat man ja bereits ein Lambda und Mü gefunden, wofür sich die Geraden schneiden(siehe oben). Man muss diesen Parameter (egal welchen der beiden) nur noch in die entsprechende Geradengleichung einsetzen und man erhält direkt den Schnittpunkt. Beispiel: (zur Aufgabe oben bei Lage Gerade Gerade) Wir hatten herausgefunden, dass sich die Geraden für Lambda =3 schneiden 2.Gerade Ebene Man setzt die gesamte Geradengleichung in die Ebene ein (mit Lambda ). Dann löst man die entstehende Gleichung nach Lambda auf und setzt diesen Wert wiederum in der Geradengleichung ein. Nun erhält man direkt den Schnittpunkt. Beispiel: (r ist hier Lambda ) Setze nun r=2 in die Gerade ein: S(5/4/-3)

8 3. Ebene Ebene Man muss eine der Ebenen in der Parameterform, die andere in der Koordinatenform gegeben haben(falls nicht, muss man zuerst eine umformen). Dann setzt man die gesamte Ebene aus der Parameterform in die andere Ebene ein (mit Lambda und Mü ). Man erhält eine Gleichung mit 2 Parametern und löst diese nach einem der Beiden auf. Nun setzt man den entstandenen Wert wieder in die Ebene der Parameterform ein und erhält sofort die Schnittgerade. Diese kann man noch schön zusammenfassen. Beispiel:

9 Schnittwinkel bestimmen 1.Gerade Gerade Man setzt nur die beiden Richtungsvektoren der Geraden in die Winkelformel ein (siehe Grundwissen). Der entstehende Winkel ist sofort der Schnittwinkel. 2.Gerade Ebene Man setzt den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene in die Winkelformel ein. Der entstehende Winkel muss dann noch von 90 abgezogen werden und man erhält den Schnittwinkel. 3.Ebene Ebene Man setzt die beiden Normalenvektoren der Ebenen in die Winkelformel ein. Der entstehende Winkel ist sofort der Schnittwinkel. Man muss also nur beim 2.Fall etwas aufpassen, da hier mit der Formel ja der Winkel zwischen Richtung der Geraden und Normalenvektor berechnet wird. Da der Normalenvektor senkrecht zur Ebene steht, muss man diesen Winkel noch von 90 abziehen.

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