x 3 Genau dann liegt ein Punkt X mit dem Ortsvektor x auf g, wenn es ein λ R gib,t so dass

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1 V. Geradengleichungen in Parameterform 5. Definition x 3 v a x x x Definition und Satz : Gegeben seien eine Gerade g und ein Punkt A g mit dem Ortsvektor a und ein Rich- tungsvektor v o, der die Orientierung der Gerade im Raum oder in der Ebene festlegt. Genau dann liegt ein Punkt X mit dem Ortsvektor x auf g, wenn es ein λ R gib,t so dass x a + λ v heißt Geradengleichung der Geraden g in Parameterform mit dem Parameter λ. A heißt Aufpunkt der Geraden g. Bemerkungen : a) Als Aufpunkt kann jeder Punkt auf der Geraden gewählt werden. b) Der Richtungsvektor einer Geraden ist nicht eindeutig bestimmt. Ist v ein Richtungsvek- tor einer Geraden, dann ist dies auch k v mit k R und k.

2 Beispiel : 3 6 Die Gleichungen x + λ und x + λ stellen also die gleiche Gerade dar Beispiel : 3 Gegeben. g : x + λ, P 3, Q68 Jedes λ R ergibt den Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden z. B. λ ergibt x 3 + ( ) X g Der Punkt P liegt auf g, denn P in g eingesetzt ergibt : () 3 + λ λ () + λ λ (3) λ 3 λ D.h., P ist der zu λ gehörende Punkt der Geraden g. Der Punkt Q liegt nicht auf g, denn Q in g eingesetzt ergibt () 3 + λ 6 λ 3 () + λ 8 λ 3 (3) λ λ Zur zeichnerischen Darstellung berechnet man die Koordinaten der Schnittpunkte (Spurpunkte) mit den Koordinatenebenen und zeichnet ein Schrägbild :

3 x x Ebene : x x 3 Ebene : x x 3 Ebene : x 3 x x λ λ S x x (4 4 ) + λ λ S x x 3 ( ) 3 + λ λ 3 S x x 3 ( 4 4) x 3 g x x Spezialfälle : Gleichungen der Koordinatenachsen x Achse : x λ Geraden parallel zur x Achse : x λ x 3 Achse : x λ x x Ebene : x x x 3 Ebene : x x x 3 Ebene : x a a a 3 a a a 3 a a a 3 v + λv v + λ v 3 + λv v 3

4 5.. Zweipunkteform Eine Gerade ist durch Angabe von zwei verschiedenen Punkten eindeutig bestimmt. Gegeben : A35 und B 43 x 3 v b a g Eine Gleichung der Geraden AB ist dann gegeben durch AB : x a + λ b a : a b x x λ λ 7 x Satz : Eine Gleichung der Geraden AB durch zwei Punkte A und B mit den Ortsvektoren b lautet a und AB : x a + λ b a ( Zwei-Punkte-Form) Beispiel : Gegeben sind die Punkte A., B 33 und C 45 7 Zeigen Sie, dass A, B und C auf einer Geraden liegen, und geben Sie an, wie die Punkte zueinander liegen. Lösung : 3 Es ist AB : x + τ 4. 5

5 C eingesetzt ergibt τ, d.h. A liegt zwischen B und C. Beachte : Liegt ein Punkt auf einer Geraden AB, dann lässt sich sein Parameterwert aus der Dar-stellung die Lage relativ zu A und B entnehmen. c a + λ C b a Zum Beispiel liegt C nur dann zwischen A und B, d.h. im Innern der Strecke AB, wenn < λ C < ist.

6 5.3 Gegenseitige Lagebeziehung von Gerade a) Parallele und identische Geraden Gegeben : 6 g : x λ 6 h : x µ 3 9 v w x 3 h g x Ansatz : k 3 9 k 3 ghh x A344 in g : () 6 + 4λ 3 λ,5 () 5 + λ 4 λ,5 (3) - 6λ 4 λ 3 g h Satz : Für zwei Geraden g und h mit g : x a + λ v bzw. h : x b + µ w gilt g h h v, w linear abhängig v k w, k R g h b a + λ v oder a b + µ w

7 b) Sich schneidende und windschiefe Geraden Gegeben : g x 3 f : x 4 + λ 4 5 g : x 4 + µ 4 s S f h und h : x τ x x f h : () () (3) 4λ 3τ + 4λ + τ λ 3 + τ () + () 3 τ τ in () λ,5 in (3) (w) f und h schneiden sich Ortsvektor und Koordinaten des Schnittpunkts : s 4 +, S 43

8 g h : () () (3) 5 4µ 3τ + 4µ + τ + µ 3 + τ () + () 4 τ τ in () µ,5 in (3) (f) g und h sind windschief Satz : Für zwei Geraden g und h mit g : x a + λ v Schnittpunktsbedingung : bzw. h : x b + µ w gilt die a + λ v b + µ w Hat das sich ergebende Gleichungssystem a) eine b) keine c) unendlich viele Lösungen, dann sind g und h a) sich schneidende b) parallele und nichtidentische oder zueinander windschiefe c) identische Geraden.

9 Satz : Zwei Geraden g und h mit g : x a + λ v windschief, bzw. h : x b + µ w sind genau dann wenn v, w und b a linear unabhängig sind, d.h. v, w, b a. Beweis : x 3 v g b a w h x x Zwei Geraden schneiden sich oder sind parallel, wenn sie in einer Ebene liegen. Genau dann sind aber die obigen drei Vektoren linear abhängig

10 Beispiel : Gegeben sind die windschiefen Geraden g : x + λ und h : x + µ und der Punkt. A( ) Wie lautet die Gleichung der Geraden durch A, die g und h schneidet? Lösung : Die Verbindungsgerade von A mit einem Punkt auf g hat die Form x + σ + λ + σ + λ Genau dann existiert ein Schnittpunkt dieser Geraden mit h, wenn + λ λ + λ λ 6 + 4λ λ,5 Die gesuchte Gerade hat also die Gleichung x + σ, Beispiel : Für jedes ist die Gleichung einer Geraden. k R x k + µ k k g k Man spricht von einer einparametrigen Geradenschar. a) Zeigen Sie, dass alle Geraden der Schar in einer Ebene liegen und sich schneiden. b) Die Schnittpunkte der Schargeraden mit der liegen auf einer Halbgeraden. x x Ebene Weisen Sie dies nach und beschreiben Sie diese Halbgerade.

11 Lösung : a) Offensichtlich sind keine zwei Geraden der Schar parallel. Wegen k k k k k k schneiden sich zwei verschiedene Geraden der Schar in einem Punkt. b) Die Bedingung x 3 ergibt µ k und damit S x x k + k. Setzt man k σ, σ, dann gilt s x x + σ d.h. alle Schnittpunkte liegen auf einer Halbgeraden.

12 5.4 Geradenbüschel x 3 h g A x x Ist A ein Punkt und h : x b + µ v eine Gerade mit A h, dann bildet die Menge der Verbindungsgeraden von A mit den Punkten der Geraden h ein sog. Geradenbüschel mit dem Büschelpunkt A. Da alle Büschelgeraden in der durch A und h bestimmten Ebene E(A; h) liegen, spricht man von einem ebenen Büschel. Eine Gerade des Büschels hat dann die Gleichung g u : x a + λ b + µ v a ) Wählt man µ als Parameter und setzt µ k, dann sind alle Geraden des Büschels gegeben durch g k : x a + λ b a + k v a + λ w + k v ( mit w b a ) d. h. ein Geradenbüschel ist der Spezialfall einer sog. einparametrigen Geradenschar. Beachte : Die in E liegende und durch A gehende Gerade g : x a + σ v

13 gehört nicht dem Büschel an, da ghh ist. Satz : Jede einparametrige Geradenschar der Form g k : x a + λ (w + k v ) stellt ein Geradenbüschel mit dem zum Ortsvektor punkt dar. a gehörenden Punkt A als Büschel- Die Gerade g : x a + σ v ist die einzige Gerade durch A, die in der durch das Büschel festgelegten Ebene liegt, aber nicht dem Büschel angehört Beispiel : 4 k Gegeben ist das Geradenbüschel g k : x 4 + λ mit dem Büschelpunkt A44. k a) Zeigen Sie, dass alle Geraden der Schar in einer Ebene E liegen. Welche Gerade in E durch A gehört nicht der Schar g k an? b) Bestimmen Sie die Büschelgerade, welche die x 3 Achse schneidet. c) Ermitteln Sie die Schnittpunkte S x x 3 der Büschelgeraden mit der x x Ebene in Abhän- gigkeit von k. Zeigen Sie, dass alle diese Schnittpunkte auf einer Geraden s liegen und geben Sie die Gleichung dieser Geraden an. Durch welchen Punkt von s x x 3 geht keine Büschelgerade? Lösung : a) Umformung : x 4 4 k + λ k kλ + λ

14 Also liegt in der Ebene E, durch die beiden Geraden h : x σ und k : x τ Die Gerade h gehört nicht der Schar an. b) Bedingung : () x 4 + λ(k ) und () x 4 + λ Aus () folgt λ 4 Einsetzen in () ergibt : k Damit ergibt sich : x 3 + λk + ( 4) 3 Die Gerade g schneidet die x 3 Achse im Punkt S x3 3 c) Die Bedingung x 3 + kλ ergibt : λ k, k Damit ist x 4 + λ(k ) 4 k (k ) + k und x 4 + λ 4 k Menge der Spurpunkte mit der x x Ebene : S x x + 4 k k Die Umformung s x x + /k 4 /k 4 + zeigt, dass die Spurpunkte auf der k Geraden s : x 4 + µ liegen. s ist die Spurgerade der Ebene E in der x x Ebene. Der Punkt P4 ist kein Spurpunkt einer Büschelgeraden. ( k ) P ist der Spurpunkt der Geraden h, die ja nicht der Schar angehört

15 x 3 h x x Ist ein h : x b + µ v eine Gerade und w o ein von v linear unabhängiger Vektor, dann ist x b + µ v + λ w eine Gerade mit dem Richtungsvektor w mit dem Aufpunkt auf h. Wählt man µ als Parameter und setzt µ k, dann erhält man ein Parallelenbüschel mit der Trägergeraden h und dem Richtungsvektor w. Da alle Geraden in der durch h und Damit ist gezeigt w bestimmten Ebene liegen, heißt das Büschel eben. Satz : Jede einparametrige Geradenschar der Form g k : x b + k v + λ w stellt ein Parallelenbüschel mit der Trägergeraden h : x a + µ v und dem Richtungsvektor w dar.