Abitur 2011 G9 Abitur Mathematik GK Geometrie VI

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1 Seite Seite Abitur G9 Abitur Mathematik GK Geometrie VI Auf dem Boden des Mittelmeeres wurde ein antiker Marmorkörper entdeckt, der ersten Unterwasseraufnahmen zufolge die Form eines Pyramidenstumpfs besitzen könnte. Mithilfe eines Peilungssystem konnte die Lage von sieben der acht Eckpunkte ermittelt und zur weiteren Analyse des Körpers in einem kartesischen Koordinatensystem modellhaft dargestellt werden: A( ), B( ) und C( ) sind Eckpunkte der Grundfläche, A ( ), B ( ), C ( ) und D ( ) die Eckpunkte der Deckfläche (vgl. Abbildung). Teilaufgabe d ( BE) Berechnen Sie die Höhe h dieser Pyramide. [Ergebnis: h = ] Teilaufgabe e (5 BE) Bestimmen Sie das Volumen des Pyramidenstumpfs. Teilaufgabe f ( BE) Auf besonderes Interesse stößt die Seitenfläche des Marmorkörpers, die im Modell mit B C C B bezeichnet wurde. Zeigen Sie, dass die Geraden B C und B C den Abstand 5 besitzen und berechnen Sie den Inhalt dieser Seitenfläche im Modell. Teilaufgabe g (5 BE) Um Informationen über den inneren Aufbau des Marmorkörpers zu erhalten, wird er geradlinig durchbohrt - im Modell betrachtet parallel zur x -Achse, ausgehend vom Mittelpunkt der Kante [B B ]. Berechnen Sie im Modell die Koordinaten des Punkts, in dem die Bohrung aus der Grundfläche austritt. Teilaufgabe a (5 BE) Zeigen Sie, dass die Deckfläche A B C D ein Rechteck ist und den Inhalt 7 besitzt. Teilaufgabe b ( BE) Weisen Sie nach, dass das Dreieck A B C bei B rechtwinklig ist, und bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts D, der gemeinsam mit A, B und C die Eckpunkte eines Rechtecks bildet. Exakte Messungen am Marmorkörper zeigen, dass der Punkt D im Modell die Lage des vierten Eckpunkts der Grundfläche beschreibt. Teilaufgabe c ( BE) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E, die die Grundfläche A B C D enthält, in Normalenform. Weisen Sie nach, dass die Deckfläche parallel zur Grundfläche ist und von dieser den Abstand hat. [mögliches Teilergebnis: E : x + x + x = ] Durch Berechnungen wird bestätigt, dass der Marmorkörper die Form eines Pyramidenstumpfs hat. Im Modell wird für weitere Überlegungen auch die zum Stumpf gehörige Pyramide mit Grundfläche A B C D betrachtet. Abitur Bayern GK Geometrie VI

2 Seite Seite Lösung C ( ) D ( ) Teilaufgabe a (5 BE) Auf dem Boden des Mittelmeeres wurde ein antiker Marmorkörper entdeckt, der ersten Unterwasseraufnahmen zufolge die Form eines Pyramidenstumpfs besitzen könnte. Mithilfe eines Peilungssystem konnte die Lage von sieben der acht Eckpunkte ermittelt und zur weiteren Analyse des Körpers in einem kartesischen Koordinatensystem modellhaft dargestellt werden: A( ), B( ) und C( ) sind Eckpunkte der Grundfläche, A ( ), B ( ), C ( ) und D ( ) die Eckpunkte der Deckfläche (vgl. Abbildung). Vektoren A B und B C bestimmen: A B = B A = B C = C B = = = = = Skalarprodukt bilden: A B B C = A B = B C = ( + ( ) ( ) + () = }{{} Zeigen Sie, dass die Deckfläche A B C D ein Rechteck ist und den Inhalt 7 besitzt. Lösung zu Teilaufgabe a Lagebeziehung von Vektoren Erläuterung: Skalarprodukt Das Skalarprodukt zweier Vektoren, die senkrecht aufeinander stehen, ist gleich. A B B C Die Vektoren A B und B C sind zueinander senkrecht. A ( ) B ( ) Vektor D C bestimmen: D C = C D = D C = A B = Die Deckfläche A B C D ist ein Rechteck. Abitur Bayern GK Geometrie VI

3 Seite 5 Seite Länge eines Vektors Länge der Vektoren A B und B C bestimmen: A B = A B = = Weisen Sie nach, dass das Dreieck A B C bei B rechtwinklig ist, und bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts D, der gemeinsam mit A, B und C die Eckpunkte eines Rechtecks bildet. Lösung zu Teilaufgabe b Lagebeziehung von Vektoren Erläuterung: Betrag eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrag) a eines Vektors a a = a ist gegeben durch: a a = a a a = a + a + a A B = A B = B C = B C = B C = B C = = () + ( ) + = 9 = = + ( ) + () = 9 Inhalt des Rechtecks A B C D bestimmen: A A B C D = A B B C = = 7 A( ) B( ) C( ) Vektoren A B und B C bestimmen: A B = B A = B C = C B = Skalarprodukt bilden: A B B C = A B = = = = = 7 B C = 7 ( + ( ) ( ) + () = }{{} Teilaufgabe b ( BE) Abitur Bayern GK Geometrie VI

4 Seite 7 Seite Erläuterung: Skalarprodukt Das Skalarprodukt zweier Vektoren, die senkrecht aufeinander stehen, ist gleich. A B B C Die Vektoren A B und B C sind zueinander senkrecht. [mögliches Teilergebnis: E : x + x + x = ] Lösung zu Teilaufgabe c Ebenengleichung in Normalenform Das Dreieck A B C hat bei B einen rechten Winkel. Lage eines Punktes Punkt D bestimmen: D = A + B C D = + D( ) = Teilaufgabe c ( BE) Exakte Messungen am Marmorkörper zeigen, dass der Punkt D im Modell die Lage des vierten Eckpunkts der Grundfläche beschreibt. (in Teilaufgabe b berechnet) sind Richtungs- A = A B = und B C = vektoren der Ebene E. ist Ortsvektor (des Aufpunkts) der Ebene E. Richtungsvektoren vereinfachen: Erläuterung: Vereinfachen Die Länge eines Richtungsvektors ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung. Der Richtungsvektors muss nur die Richtung angeben. Vereinfachungen durch Ausklammern eines gemeinsamen Faktors bzw. Teilen durch einen Faktor sind erlaubt. Hier werden die Richtungsvektoren durch bzw. durch geteilt. Das erleichtert das Weiterrechnen wesentlich. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E, die die Grundfläche A B C D enthält, in Normalenform. Weisen Sie nach, dass die Deckfläche parallel zur Grundfläche ist und von dieser den Abstand hat. Abitur Bayern GK Geometrie VI

5 Seite 9 = B C = = A B = Seite Erläuterung: Vereinfachen Die Länge eines Normalenvektors ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung. Der Normalenvektor muss nur senkrecht zur Ebene stehen. Vereinfachungen durch Ausklammern eines gemeinsamen Faktors bzw. Teilen durch einen Faktor sind erlaubt. Normalenvektor n E der Ebene E aus den beiden (vereinfachten) Richtungsvektoren bestimmen: A B B C = Erläuterung: Vektorprodukt Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) a b zweier Vektoren a und b ist ein Vektor n, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht. Für die komponentenweise Berechnung gilt: a a b = a = a In diesem Fall ist: = A B B C = Normalenvektor vereinfachen: b b b a b a b a b a b a b a b ( ) () ( ) () () = () ( ) ( ) Hier wird der Normalenvektor durch geteilt. Das erleichtert das Weiterrechnen wesentlich. n E = = Normalenform E N der Ebene E : Erläuterung: Normalenform einer Ebene Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt. [ X E N ] : P n E = Hier (A ist Aufpunkt): E N : X = Kann auch geschrieben werden: X = E N : X = E N : x + x + x = Lagebeziehung von Ebenen Abitur Bayern GK Geometrie VI

6 Seite Seite Die Ebene mit Aufpunkt A und Richtungsvektoren A B = und B C = enthält die Deckenfläche A B C D. Erläuterung: Hesse-Normalenform der Ebene Die Hesse-Normalenform E H N F einer Ebene E entsteht durch Teilung der Normalenform E N der Ebene E mit dem Betrag des Normalenvektors. Vereinfachen der Richtungsvektoren ergibt: A B = = = A B B C = = = B C und dem Ortsvektor des Auf- E N : X n E d = X E H N F ne d : = n E d ist das Ergebnis des Skalarprodukts aus n E punkts von E. Die (vereinfachten) Richtungsvektoren der Ebene A B C D entsprechen den Richtungsvektoren der Ebene A B C D. Die aus den Richtungsvektoren resultierenden Normalenvektoren sind gleich. Somit sind Grundfläche und Deckfläche des Marmorkörpers parallel. E H N F : (x + x + x ) = Abstand der Ebene A B C D von der Ebene E bestimmen: Abstand paralleler Ebenen Betrag des Normalenvektors n E bestimmen: Erläuterung: Abstand paralleler Ebenen Der Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen entspricht dem Abstand eines beliebigen Punkts der einen Ebene zur anderen Ebene. Erläuterung: Betrag eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrag) a eines Vektors a a = a ist gegeben durch: a a = a a a = a + a + a n E = = + + = 9 = Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes S in die Hesse-Normalenform E H N F der Ebene E (zwischen Betragsstriche), bestimmt man den Abstand des Punktes zur Ebene. X E H N F ne d : = n E S ne d d(s, E) = n E d ist das Ergebnis des Skalarprodukts aus n E und dem Ortsvektor des Aufpunkts von E. Hesse-Normalenform E H N F der Ebene E aufstellen: d(a, E) = ( + ) = Teilaufgabe d ( BE) Abitur Bayern GK Geometrie VI

7 Seite Seite Durch Berechnungen wird bestätigt, dass der Marmorkörper die Form eines Pyramidenstumpfs hat. Im Modell wird für weitere Überlegungen auch die zum Stumpf gehörige Pyramide mit Grundfläche A B C D betrachtet. Berechnen Sie die Höhe h dieser Pyramide. [Ergebnis: h = ] Erläuterung: Geradengleichung Eine Gerade g ist durch einen Ortsvektor P und einen Richtungsvektor v eindeutig bestimmt: g : X = P + µ v, µ R Lösung zu Teilaufgabe d Wenn B als Aufpunkt genommen wird, dann ist Aufpunkts) der Geraden g. B der Ortsvektor (des Geradengleichung aufstellen g : X = + λ Gerade k durch C und C bestimmen: C( ), C ( ) Richtungsvektor der Geraden k : C C = C C = = Gerade g durch B und B bestimmen: B( ), B ( ) Richtungsvektor der Geraden g : B B = B B = = Gleichung der Geraden k : k : X = + µ Schnitt zweier Geraden Geraden g und k schneiden: g k Gleichung der Geraden g : Gleichsetzen der beiden Geraden: + λ = + µ Abitur Bayern GK Geometrie VI

8 Seite 5 + λ + λ = µ (I) = µ (II) = µ (I) = µ µ = µ = Seite h = d(s, E) = ( + ) = Alternative Lösung Parameter µ = X = in die Geradengleichung k einsetzen: = + S( ) ist Schnittpunkt der Geraden g und k S( ) ist die Spitze der Pyramide. Abstand Punkt - Ebene Die Höhe h der Pyramide entspricht dem Abstand der Spitze S von der Ebene E, die die Grundfläche A B C D der Pyramide enthält. Aus Teilaufgabe c ist die Hesse-Normalenform E H N F E H N F : (x + x + x ) = Höhe h bestimmen: Erläuterung: Abstand Punkt - Ebene der Ebene E bekannt: Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes P in die Hesse-Normalenform E HNF der Ebene E (zwischen Betragsstriche), bestimmt man den Abstand d(p, E) des Punktes zur Ebene. Beispiel: E HNF : (x + x + x ) = P ( ) d(p, E) = ( + + ( ) ) = 9 = A B = = A B = h = Betrachtet werden die zwei ähnliche Dreiecke, die die Spitze der Pyramide mit den Seiten [B C] und [A D] und [B C ] und [A D ] bilden, wenn diese senkrecht zur Grundfläche geschnitten wird. Das größere Dreieck entsteht aus dem kleinerem Dreieck durch zentrische Streckung, wenn die Spitze der Pyramide als Streckenzentrum angesehen wird. Für die ähnlichen Strecken gilt somit: = h h h h = h h = Teilaufgabe e (5 BE) Bestimmen Sie das Volumen des Pyramidenstumpfs. Abitur Bayern GK Geometrie VI

9 Seite 7 Seite Lösung zu Teilaufgabe e Volumen einer Pyramide A A B C D = A B B C = = (Grundfläche der Pyramide A B C D S ) Volumen der Pyramide A B C D S bestimmen: Erläuterung: Volumen einer Pyramide Aus den vorherigen Teilaufgaben ist bekannt: A B =, B C = A A B C D = 7 (Grundfläche der Pyramide A B C D S ) h = (Höhe der Pyramide A B C D S ) Eine Pyramide mit Grundfläche G und Höhe h hat ein Volumen von: d = (Höhe des Pyramidenstumpfs) V = G h Nebenrechnung: V A B C D S = A A B C D h = = Erläuterung: Betrag eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrag) a eines Vektors a a = a ist gegeben durch: a a = a a a = a + a + a Volumen der Pyramide A B C D S bestimmen: Erläuterung: Die Höhe der Pyramide A B C D ist gleich der Höhe h der Pyramide A B C D S minus die Höhe des Pyramidenstumpfs. A B = = B C = = = = = () + ( ) + = = + ( ) + () = V A B C D S = A A B C D (h ) = 7 = Volumen des Pyramidenstumpfs bestimmen: V Stumpf = V A B C D S V A B C D S = = 7 Abitur Bayern GK Geometrie VI

10 Seite 9 Seite Alternative Lösung Berechnung von V Stumpf mit der Formel für das Volumen eines Pyramidenstumpfs: V Stumpf = d (A A B C D + A A B C D + ) A A B C D A A B C D V Stumpf = ( ) = 7 Erläuterung: Geradengleichung Eine Gerade l ist durch einen Ortsvektor P und einen Richtungsvektor v eindeutig bestimmt: l : X = P + λ v, λ R Wenn B als Aufpunkt genommen wird, dann ist Aufpunkts) der Geraden B C. B der Ortsvektor (des Teilaufgabe f ( BE) Auf besonderes Interesse stößt die Seitenfläche des Marmorkörpers, die im Modell mit B C C B bezeichnet wurde. Zeigen Sie, dass die Geraden B C und B C den Abstand 5 besitzen und berechnen Sie den Inhalt dieser Seitenfläche im Modell. Lösung zu Teilaufgabe f Geradengleichung aufstellen B C : X = + λ Abstand paralleler Geraden Der Abstand zwischen den Geraden B C und B C B ( ) von der Geraden B C. d(b C, B C ) = d(b, B C) entspricht dem Abstand des Punktes hat und senkrecht zu B C ver- Ebene H in Normalenform aufstellen, die als Aufpunkt B läuft. Aus den vorherigen Teilaufgaben sind gegeben: B( ), B C = Gerade B C durch B und C bestimmen: B C = ist Richtungsvektor der Geraden. Erläuterung: Ebenengleichung Eine Ebene H ist durch einen Punkt P und einen Normalenvektor n H eindeutig bestimmt. Die Ebenengleichung (in Normalenform) lautet: [ X H N ] : P n H = Hier ist der Normalenvektor gleich dem Richtungsvektor der Geraden B C, da die Ebene senkrecht zu ihr stehen soll: n H = B C H : X = H : x x x = Abitur Bayern GK Geometrie VI

11 Seite Seite Schnittpunkt F von B C mit H ermitteln: B C H B C in H einsetzen: Erläuterung: Einsetzen Schneidet eine Gerade g : X = P + λ v eine Ebene E in einem Punkt F, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von λ (von g ) die Normalenform der Ebene E. Man setzt g in E N ein und löst nach λ auf. ( + λ) ( λ) ( λ) = + λ + + λ + λ = Erläuterung: Betrag eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrag) a eines Vektors a a = a ist gegeben durch: a a = a a a d(b, B C) = = a + a + a Flächeninhalt eines Trapezes = + + = = 5 9λ = λ = λ = in B C einsetzen, um F zu erhalten: F = + = F B berechnen: d(b, B C) = F B = B F = = Aus vorherigen Teilaufgaben ist bekannt: B C = B C = Flächeninhalt des Trapezes B C C B bestimmen: Abitur Bayern GK Geometrie VI

12 Seite Seite Erläuterung: Fläche eines Trapezes Geradengleichung aufstellen Sei b die Bohrgerade, die durch den Punkt M und parallel zur x -Achse verläuft. Erläuterung: ist der Richtungsvektor der x -Achse. Sind a und c die Grundseiten und h die Höhe, dann ist der Flächeninhalt des Trapezes gegeben durch: A = (a + c) h ist Richtungsvektor der Geraden b. Erläuterung: Geradengleichung A B C C B = (B C + B C ) F B = ( + ) 5 = 5 Eine Gerade g ist durch einen Ortsvektor P und einen Richtungsvektor v eindeutig bestimmt: g : X = P + λ v, λ R Teilaufgabe g (5 BE) Wenn M als Aufpunkt genommen wird, dann ist Aufpunkts) der Geraden b. M der Ortsvektor (des Um Informationen über den inneren Aufbau des Marmorkörpers zu erhalten, wird er geradlinig durchbohrt - im Modell betrachtet parallel zur x -Achse, ausgehend vom Mittelpunkt der Kante [B B ]. Berechnen Sie im Modell die Koordinaten des Punkts, in dem die Bohrung aus der Grundfläche austritt. Lösung zu Teilaufgabe g Lage eines Punktes B( ), B ( ) b : X = + λ Schnitt Ebene und Gerade Aus Teilaufgabe c): E : x + x + x = (Die Grundfläche der Pyramide liegt in E ) Mittelpunkt der Kante [B B ] bestimmen: M = ( B + B ) M = + = Schnittpunkt F von b mit E ermitteln: b E M( ) Abitur Bayern GK Geometrie VI

13 Seite 5 Erläuterung: Schnitt Ebene und Gerade Schneidet eine Gerade g : X = P + λ v eine Ebene E in einem Punkt P, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von λ (von g ) die Normalenform der Ebene E. Man setzt g in E N ein und löst nach λ auf. b in E einsetzen: ( + λ) + ( λ) + ( + λ) = + + λ = λ = λ = 9 λ = 9 in b einsetzen, um F zu erhalten: F = 9 = F ( ) Die Bohrung tritt im Punkt F ( ) aus der Grundfläche aus. Abitur Bayern GK Geometrie VI